几何公式
你需要的所有几何公式，汇集于一张有条理的表格中 — 正方形、矩形、三角形和多边形的面积与周长，圆和椭圆的公式，正方体、球体、圆柱体、圆锥体和棱锥体的体积与表面积，勾股定理与特殊直角三角形，以及坐标几何 — 并配有一键链接，直达我们的交互式 3D 立体可视化工具和单位圆，让你立刻探索这个图形。
2D 图形 — 面积与周长
- Square Area=s²
- Square Perimeter=4s
- Rectangle Area=l·w
- Rectangle Perimeter=2(l + w)
- Triangle Area=½·b·h
- Triangle Area (Heron)=√(s(s−a)(s−b)(s−c)), s = (a+b+c)/2
- Parallelogram Area=b·h
- Trapezoid Area=½(a + b)·h
- Rhombus Area=½·d₁·d₂
- Regular polygon (n sides) Area=½·n·s·a = ½·P·a (a = apothem, P = perimeter)
圆与椭圆
- Circle Circumference=2πr = πd
- Circle Area=πr²
- Arc length=rθ (θ in radians) = 2πr·(θ°/360)
- Sector area=½r²θ = πr²·(θ°/360)
- Ellipse Area=π·a·b (a, b = semi-axes)
3D 立体 — 体积与表面积
- Cube Volume=s³
- Cube Surface area=6s²
- Rectangular prism Volume=l·w·h
- Rectangular prism Surface area=2(lw + lh + wh)
- Sphere Volume=(4/3)πr³
- Sphere Surface area=4πr²
- Cylinder Volume=πr²h
- Cylinder Surface area=2πr(r + h)
- Cone Volume=(1/3)πr²h
- Cone Surface area=πr(r + l), slant l = √(r² + h²)
- Square pyramid Volume=(1/3)·b²·h
- Square pyramid Surface area=b² + 2b·l
- Triangular prism Volume=(½·b·h)·L (L = length)
直角三角形与勾股定理
- Pythagorean theorem=a² + b² = c²
- Common triples=3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25
- 45-45-90 triangle sides=1 : 1 : √2
- 30-60-90 triangle sides=1 : √3 : 2
- Trig ratios (SOH-CAH-TOA)=sin θ = opp/hyp, cos θ = adj/hyp, tan θ = opp/adj
坐标几何
- Distance d=√((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- Midpoint=((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
- Slope m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- Line (slope-intercept)=y = mx + b
- Line (point-slope)=y − y₁ = m(x − x₁)
这些是标准的几何公式。每一条对所有可取的值都成立，因此你可以通过代入数字来验证 — 例如半径为 3 的球体积为 (4/3)π·3³ = 36π ≈ 113.097。✓
2D 图形 — 面积与周长
- Square Area = s²
- Square Perimeter = 4s
- Rectangle Area = l·w
- Rectangle Perimeter = 2(l + w)
- Triangle Area = ½·b·h
- Triangle Area (Heron) = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), s = (a+b+c)/2
- Parallelogram Area = b·h
- Trapezoid Area = ½(a + b)·h
- Rhombus Area = ½·d₁·d₂
- Regular polygon (n sides) Area = ½·n·s·a = ½·P·a (a = apothem, P = perimeter)
圆与椭圆
- Circle Circumference = 2πr = πd
- Circle Area = πr²
- Arc length = rθ (θ in radians) = 2πr·(θ°/360)
- Sector area = ½r²θ = πr²·(θ°/360)
- Ellipse Area = π·a·b (a, b = semi-axes)
3D 立体 — 体积与表面积
- Cube Volume = s³
- Cube Surface area = 6s²
- Rectangular prism Volume = l·w·h
- Rectangular prism Surface area = 2(lw + lh + wh)
- Sphere Volume = (4/3)πr³
- Sphere Surface area = 4πr²
- Cylinder Volume = πr²h
- Cylinder Surface area = 2πr(r + h)
- Cone Volume = (1/3)πr²h
- Cone Surface area = πr(r + l), slant l = √(r² + h²)
- Square pyramid Volume = (1/3)·b²·h
- Square pyramid Surface area = b² + 2b·l
- Triangular prism Volume = (½·b·h)·L (L = length)
直角三角形与勾股定理
- Pythagorean theorem = a² + b² = c²
- Common triples = 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25
- 45-45-90 triangle sides = 1 : 1 : √2
- 30-60-90 triangle sides = 1 : √3 : 2
- Trig ratios (SOH-CAH-TOA) = sin θ = opp/hyp, cos θ = adj/hyp, tan θ = opp/adj
坐标几何
- Distance d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- Midpoint = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
- Slope m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- Line (slope-intercept) = y = mx + b
- Line (point-slope) = y − y₁ = m(x − x₁)
关于几何公式
这是学生最常用的几何速查表：正方形、矩形、三角形、平行四边形、梯形、菱形和正多边形的面积与周长；圆的周长、面积、弧长和扇形面积，以及椭圆的面积；正方体、长方体、球体、圆柱体、圆锥体、四棱锥和三棱柱的体积与表面积；勾股定理及常见的整数勾股数，以及 45-45-90 和 30-60-90 特殊直角三角形；还有坐标几何 — 距离、中点、斜率和直线方程。每个公式都用清晰的 Unicode 记法书写 — 没有图片 — 因此能干净地复制到你的笔记中，也便于辅助技术和 AI 读取。这个页面与静态 PDF 的区别在于它与 UnitConv 的交互式工具相连：点按「以 3D 可视化体积与表面积」，即可看到立体图形随你调整尺寸而改变形状；点按「单位圆」或「三角恒等式」，即可将勾股比率与三角函数联系起来；也可以直接把计算出的面积或体积换算成实际问题所需的单位。这些公式的来源包括 Paul's Online Math Notes、Mathwords 和 Wolfram MathWorld。可将其用作作业参考、考前复习清单，或在做几何练习时快速查阅。
如何使用本参考
- 1 在分组卡片中找到你需要的主题 — 2D 图形、圆、3D 立体、直角三角形或坐标几何。
- 2 将清晰 Unicode 记法的公式直接复制到你的作业中，或用它核对你自己的结果。
- 3 点按「以 3D 可视化体积与表面积」或「单位圆」，打开交互式工具，看看公式的实际效果。
这些几何公式如何相互关联
几何公式按维度可分为三类，理清单位很有帮助：周长是长度(m)，面积是长度的平方(m²)，体积是长度的立方(m³)。每个 2D 面积公式都可以归结为某种形式的「底乘以高」——矩形是 l·w，平行四边形是 b·h，而三角形是它的一半，即 ½·b·h，因为三角形正好是与它同底同高的平行四边形的一半。海伦公式，面积 = √(s(s−a)(s−b)(s−c))，其中 s = (a+b+c)/2，仅凭三边的长度、无需知道高就能得到同一个三角形的面积——对于 3-4-5 的直角三角形，它给出 √(6·3·2·1) = 6，恰好与 ½·3·4 = 6 相符。圆的公式(周长 2πr，面积 πr²)是正多边形边数无限增多时的极限情形，这也是为什么弧长 rθ 和扇形面积 ½r²θ 不过是圆的公式按整圈的比例缩放而来。在 3D 中，体积公式通常是底面积乘以高(圆柱体是 πr²·h，棱柱是底面积乘以长度)，而圆锥体和棱锥体因为向一点收缩，会多出一个 ⅓ 的系数。勾股定理 a²+b² = c² 既是特殊直角三角形的基础(45-45-90 得到边长比 1:1:√2，因为 1²+1²=2=(√2)²)，也是坐标距离公式的基础——后者不过是把勾股定理应用到两点间的水平与垂直差上。
常见问题
圆的面积是多少？
圆的面积是 πr²，其中 r 是半径。对于半径为 2 的圆，面积是 π·2² = 4π ≈ 12.566 平方单位。如果给出的是直径 d，先用 r = d/2 求出半径。周长，即圆一周的长度，遵循另一个不同的公式：2πr(或 πd)。
球体体积的公式是什么？
球体的体积是 (4/3)πr³，其中 r 是半径。对于半径为 3 的球，体积是 (4/3)π·3³ = 36π ≈ 113.097 立方单位。同一个球的表面积用的是一个相关但不同的公式，4πr² —— 当 r = 3 时，这给出 4π·3² = 36π ≈ 113.097 平方单位(这里数字相同只是因为 r = 3 恰好让两个公式在数值上重合；一般情况下它们是不同的)。
什么是勾股定理？
勾股定理指出，在直角三角形中，a² + b² = c²，其中 a 和 b 是两条直角边，c 是斜边(直角所对的边)。已知其中两边就能求出第三边：c = √(a²+b²)，或 a = √(c²−b²)。常见的整数解称为勾股数，包括 3-4-5、5-12-13、8-15-17 和 7-24-25 —— 它们的任意倍数也同样成立，比如 6-8-10。
如何求圆柱体的表面积？
圆柱体的表面积是 2πr(r + h)，其中 r 是半径，h 是高。它由两个圆形底面(各为 πr²，合计 2πr²)加上侧面的曲面展开后得到的矩形面积 2πr·h 组成。对于 r = 1、h = 1 的圆柱体，表面积是 2π·1·(1+1) = 4π ≈ 12.566 平方单位。
相关工具
在 UnitConv 上把这些公式中的任意一条变成一次互动探索：用立体几何工具观察正方体、球体、圆柱体、圆锥体和棱锥体的体积与表面积如何变化，看看勾股比率如何在单位圆上决定正弦和余弦，复习把角度和直角三角形联系起来的三角恒等式，或者把算出的面积或体积直接换算成你需要的单位。