الهندسة (صيغ)
كل صيغة هندسة تحتاجها في جدول واحد منظّم — مساحة ومحيط المربع والمستطيل والمثلث والمضلعات، وصيغ الدائرة والقطع الناقص، وحجم ومساحة سطح المكعب والكرة والأسطوانة والمخروط والهرم، ونظرية فيثاغورس والمثلثات القائمة الخاصة، وهندسة الإحداثيات — مع روابط بلمسة واحدة إلى أداة تصور المجسمات ثلاثية الأبعاد التفاعلية ودائرة الوحدة لاستكشاف الشكل فورًا.
الأشكال ثنائية الأبعاد — المساحة والمحيط
- Square Area=s²
- Square Perimeter=4s
- Rectangle Area=l·w
- Rectangle Perimeter=2(l + w)
- Triangle Area=½·b·h
- Triangle Area (Heron)=√(s(s−a)(s−b)(s−c)), s = (a+b+c)/2
- Parallelogram Area=b·h
- Trapezoid Area=½(a + b)·h
- Rhombus Area=½·d₁·d₂
- Regular polygon (n sides) Area=½·n·s·a = ½·P·a (a = apothem, P = perimeter)
الدوائر والقطوع الناقصة
- Circle Circumference=2πr = πd
- Circle Area=πr²
- Arc length=rθ (θ in radians) = 2πr·(θ°/360)
- Sector area=½r²θ = πr²·(θ°/360)
- Ellipse Area=π·a·b (a, b = semi-axes)
المجسمات ثلاثية الأبعاد — الحجم ومساحة السطح
- Cube Volume=s³
- Cube Surface area=6s²
- Rectangular prism Volume=l·w·h
- Rectangular prism Surface area=2(lw + lh + wh)
- Sphere Volume=(4/3)πr³
- Sphere Surface area=4πr²
- Cylinder Volume=πr²h
- Cylinder Surface area=2πr(r + h)
- Cone Volume=(1/3)πr²h
- Cone Surface area=πr(r + l), slant l = √(r² + h²)
- Square pyramid Volume=(1/3)·b²·h
- Square pyramid Surface area=b² + 2b·l
- Triangular prism Volume=(½·b·h)·L (L = length)
المثلثات القائمة ونظرية فيثاغورس
- Pythagorean theorem=a² + b² = c²
- Common triples=3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25
- 45-45-90 triangle sides=1 : 1 : √2
- 30-60-90 triangle sides=1 : √3 : 2
- Trig ratios (SOH-CAH-TOA)=sin θ = opp/hyp, cos θ = adj/hyp, tan θ = opp/adj
هندسة الإحداثيات
- Distance d=√((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- Midpoint=((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
- Slope m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- Line (slope-intercept)=y = mx + b
- Line (point-slope)=y − y₁ = m(x − x₁)
هذه هي صيغ الهندسة القياسية. كل واحدة منها تصحّ لجميع القيم المسموح بها، لذا يمكنك التحقق منها بالتعويض بأرقام — مثلًا كرة نصف قطرها 3 حجمها (4/3)π·3³ = 36π ≈ 113.097. ✓
الأشكال ثنائية الأبعاد — المساحة والمحيط
- Square Area = s²
- Square Perimeter = 4s
- Rectangle Area = l·w
- Rectangle Perimeter = 2(l + w)
- Triangle Area = ½·b·h
- Triangle Area (Heron) = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), s = (a+b+c)/2
- Parallelogram Area = b·h
- Trapezoid Area = ½(a + b)·h
- Rhombus Area = ½·d₁·d₂
- Regular polygon (n sides) Area = ½·n·s·a = ½·P·a (a = apothem, P = perimeter)
الدوائر والقطوع الناقصة
- Circle Circumference = 2πr = πd
- Circle Area = πr²
- Arc length = rθ (θ in radians) = 2πr·(θ°/360)
- Sector area = ½r²θ = πr²·(θ°/360)
- Ellipse Area = π·a·b (a, b = semi-axes)
المجسمات ثلاثية الأبعاد — الحجم ومساحة السطح
- Cube Volume = s³
- Cube Surface area = 6s²
- Rectangular prism Volume = l·w·h
- Rectangular prism Surface area = 2(lw + lh + wh)
- Sphere Volume = (4/3)πr³
- Sphere Surface area = 4πr²
- Cylinder Volume = πr²h
- Cylinder Surface area = 2πr(r + h)
- Cone Volume = (1/3)πr²h
- Cone Surface area = πr(r + l), slant l = √(r² + h²)
- Square pyramid Volume = (1/3)·b²·h
- Square pyramid Surface area = b² + 2b·l
- Triangular prism Volume = (½·b·h)·L (L = length)
المثلثات القائمة ونظرية فيثاغورس
- Pythagorean theorem = a² + b² = c²
- Common triples = 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25
- 45-45-90 triangle sides = 1 : 1 : √2
- 30-60-90 triangle sides = 1 : √3 : 2
- Trig ratios (SOH-CAH-TOA) = sin θ = opp/hyp, cos θ = adj/hyp, tan θ = opp/adj
هندسة الإحداثيات
- Distance d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- Midpoint = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
- Slope m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- Line (slope-intercept) = y = mx + b
- Line (point-slope) = y − y₁ = m(x − x₁)
حول مرجع الهندسة
هذه هي ورقة مراجعة الهندسة التي يلجأ إليها الطلاب أكثر من غيرها: مساحة ومحيط المربع والمستطيل والمثلث ومتوازي الأضلاع وشبه المنحرف والمعين والمضلع المنتظم؛ محيط الدائرة ومساحتها وطول القوس ومساحة القطاع، إضافة إلى مساحة القطع الناقص؛ حجم ومساحة سطح المكعب ومتوازي المستطيلات والكرة والأسطوانة والمخروط والهرم الرباعي والمنشور الثلاثي؛ نظرية فيثاغورس مع الثلاثيات الصحيحة الشائعة والمثلثات القائمة الخاصة 45-45-90 و30-60-90؛ وهندسة الإحداثيات — المسافة ونقطة المنتصف والميل ومعادلات المستقيم. كل صيغة مكتوبة بترميز يونيكود واضح — بلا صور — لتُنسخ بنظافة إلى ملاحظاتك ويسهل على التقنيات المساعدة والذكاء الاصطناعي قراءتها. ما يميّز هذه الصفحة عن ملف PDF ثابت هو أنها موصولة بأدوات UnitConv التفاعلية: انقر على «تصور الحجم ومساحة السطح في الأبعاد الثلاثة» لترى مجسمًا يغيّر شكله وأنت تعدّل أبعاده، أو على «دائرة الوحدة» أو «المتطابقات المثلثية» لربط النسب الفيثاغورسية بعلم المثلثات، أو حوّل مباشرة إلى وحدات المساحة أو الحجم لمسألة واقعية. من مصادر هذه الصيغ: Paul's Online Math Notes وMathwords وWolfram MathWorld. استخدمها مرجعًا للواجبات، أو قائمة مراجعة للامتحانات، أو بحثًا سريعًا وأنت تحلّ مجموعة تمارين هندسة.
كيفية استخدام هذا المرجع
- 1 ابحث عن الموضوع الذي تحتاجه في البطاقات المجمّعة — الأشكال ثنائية الأبعاد، أو الدوائر، أو المجسمات ثلاثية الأبعاد، أو المثلثات القائمة، أو هندسة الإحداثيات.
- 2 انسخ الصيغة بترميز يونيكود الواضح مباشرة إلى عملك، أو تحقّق من نتيجتك الخاصة بمقارنتها بها.
- 3 انقر على «تصور الحجم ومساحة السطح في الأبعاد الثلاثة» أو «دائرة الوحدة» لفتح أداة تفاعلية ورؤية الصيغة أثناء عملها.
كيف ترتبط صيغ الهندسة هذه
تنقسم صيغ الهندسة إلى ثلاث عائلات حسب البُعد، ومن المفيد التمييز بوضوح بين الوحدات: المحيط طول (m)، والمساحة طول تربيعي (m²)، والحجم طول تكعيبي (m³). كل صيغة مساحة ثنائية الأبعاد تختزل بشكل ما إلى «القاعدة في الارتفاع» — المستطيل هو l·w، ومتوازي الأضلاع هو b·h، والمثلث نصف ذلك، ½·b·h، لأن المثلث هو بالضبط نصف متوازي أضلاع يشاركه القاعدة والارتفاع نفسيهما. صيغة هيرون، المساحة = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) حيث s = (a+b+c)/2، تعطي مساحة المثلث نفسها من أطوال الأضلاع الثلاثة وحدها دون الحاجة إلى ارتفاع — لمثلث قائم أضلاعه 3-4-5 تعطي √(6·3·2·1) = 6، وهو ما يطابق تمامًا ½·3·4 = 6. صيغتا الدائرة (المحيط 2πr، والمساحة πr²) هما الحالة الحدّية لمضلع منتظم يزداد عدد أضلاعه بلا حدود، وهو ما يفسّر أيضًا لماذا طول القوس rθ ومساحة القطاع ½r²θ ليسا سوى صيغتي الدائرة مُقاسَتين بنسبة الدورة الكاملة. في الأبعاد الثلاثة، تضرب صيغ الحجم عمومًا مساحة القاعدة في الارتفاع (الأسطوانة πr²·h، والمنشور مساحة القاعدة في الطول)، بينما تحصل المخاريط والأهرامات على عامل ⅓ لأنها تتلاشى إلى نقطة. نظرية فيثاغورس a²+b² = c² هي أساس كل من المثلثات القائمة الخاصة (45-45-90 تعطي أضلاعًا بنسبة 1:1:√2، لأن 1²+1²=2=(√2)²) وصيغة المسافة الإحداثية، التي ما هي إلا نظرية فيثاغورس مطبّقة على الفروق الأفقية والرأسية بين نقطتين.
الأسئلة الشائعة
ما هي مساحة الدائرة؟
مساحة الدائرة هي πr²، حيث r نصف القطر. لدائرة نصف قطرها 2، المساحة هي π·2² = 4π ≈ 12.566 وحدة مربعة. إن أُعطي القطر d بدلًا من ذلك، استخدم أولًا r = d/2. المحيط، وهو المسافة حول الدائرة، يتبع صيغة مختلفة: 2πr (أو πd).
ما صيغة حجم الكرة؟
حجم الكرة هو (4/3)πr³، حيث r نصف القطر. لكرة نصف قطرها 3، الحجم هو (4/3)π·3³ = 36π ≈ 113.097 وحدة مكعبة. تستخدم مساحة سطح الكرة نفسها صيغة ذات صلة لكنها مختلفة، 4πr² — عند r = 3 يعطي ذلك 4π·3² = 36π ≈ 113.097 وحدة مربعة (الرقم نفسه هنا فقط لأن r = 3 تجعل الصيغتين تتطابقان عدديًا؛ وهما مختلفتان بوجه عام).
ما هي نظرية فيثاغورس؟
تنص نظرية فيثاغورس على أنه في المثلث القائم، a² + b² = c²، حيث a وb هما الضلعان القائمان وc هو الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة). تتيح لك إيجاد أي ضلع إذا عرفت الضلعين الآخرين: c = √(a²+b²)، أو a = √(c²−b²). من الحلول الصحيحة الشائعة، المسماة ثلاثيات فيثاغورس، 3-4-5 و5-12-13 و8-15-17 و7-24-25 — وأي مضاعف لها يصحّ أيضًا، مثل 6-8-10.
كيف تجد مساحة سطح الأسطوانة؟
مساحة سطح الأسطوانة هي 2πr(r + h)، حيث r نصف القطر وh الارتفاع. تأتي من جمع القاعدتين الدائريتين، كل منهما πr² (معًا 2πr²)، إلى السطح الجانبي المنحني الذي ينبسط إلى مستطيل مساحته 2πr·h. لأسطوانة نصف قطرها r = 1 وارتفاعها h = 1، مساحة السطح هي 2π·1·(1+1) = 4π ≈ 12.566 وحدة مربعة.
أدوات ذات صلة
حوّل أيًّا من هذه الصيغ إلى استكشاف تفاعلي على UnitConv: تصوّر كيف يتغيّر الحجم ومساحة السطح للمكعب والكرة والأسطوانة والمخروط والهرم باستخدام أداة الهندسة الفراغية، وشاهد كيف تحدّد النسب الفيثاغورسية الجيب وجيب التمام على دائرة الوحدة، وراجع المتطابقات المثلثية التي تربط الزوايا بالمثلثات القائمة، أو حوّل مساحة أو حجمًا محسوبًا مباشرة إلى الوحدات التي تحتاجها.