幾何公式集
必要な幾何の公式をひとつの整理された表に集約 — 正方形・長方形・三角形・多角形の面積と周の長さ、円と楕円の公式、立方体・球・円柱・円錐・角錐の体積と表面積、三平方の定理と特別な直角三角形、座標幾何 — インタラクティブな3D立体ビジュアライザーと単位円へのワンタップリンク付きで、すぐに図形を確かめられます。
平面図形 — 面積と周の長さ
- Square Area=s²
- Square Perimeter=4s
- Rectangle Area=l·w
- Rectangle Perimeter=2(l + w)
- Triangle Area=½·b·h
- Triangle Area (Heron)=√(s(s−a)(s−b)(s−c)), s = (a+b+c)/2
- Parallelogram Area=b·h
- Trapezoid Area=½(a + b)·h
- Rhombus Area=½·d₁·d₂
- Regular polygon (n sides) Area=½·n·s·a = ½·P·a (a = apothem, P = perimeter)
円と楕円
- Circle Circumference=2πr = πd
- Circle Area=πr²
- Arc length=rθ (θ in radians) = 2πr·(θ°/360)
- Sector area=½r²θ = πr²·(θ°/360)
- Ellipse Area=π·a·b (a, b = semi-axes)
立体図形 — 体積と表面積
- Cube Volume=s³
- Cube Surface area=6s²
- Rectangular prism Volume=l·w·h
- Rectangular prism Surface area=2(lw + lh + wh)
- Sphere Volume=(4/3)πr³
- Sphere Surface area=4πr²
- Cylinder Volume=πr²h
- Cylinder Surface area=2πr(r + h)
- Cone Volume=(1/3)πr²h
- Cone Surface area=πr(r + l), slant l = √(r² + h²)
- Square pyramid Volume=(1/3)·b²·h
- Square pyramid Surface area=b² + 2b·l
- Triangular prism Volume=(½·b·h)·L (L = length)
直角三角形と三平方の定理
- Pythagorean theorem=a² + b² = c²
- Common triples=3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25
- 45-45-90 triangle sides=1 : 1 : √2
- 30-60-90 triangle sides=1 : √3 : 2
- Trig ratios (SOH-CAH-TOA)=sin θ = opp/hyp, cos θ = adj/hyp, tan θ = opp/adj
座標幾何
- Distance d=√((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- Midpoint=((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
- Slope m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- Line (slope-intercept)=y = mx + b
- Line (point-slope)=y − y₁ = m(x − x₁)
これらは標準的な幾何の公式です。すべての等式は許容される値すべてで成り立つので、数を代入して確かめられます — 例えば半径3の球の体積は (4/3)π·3³ = 36π ≈ 113.097 になります。✓
平面図形 — 面積と周の長さ
- Square Area = s²
- Square Perimeter = 4s
- Rectangle Area = l·w
- Rectangle Perimeter = 2(l + w)
- Triangle Area = ½·b·h
- Triangle Area (Heron) = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), s = (a+b+c)/2
- Parallelogram Area = b·h
- Trapezoid Area = ½(a + b)·h
- Rhombus Area = ½·d₁·d₂
- Regular polygon (n sides) Area = ½·n·s·a = ½·P·a (a = apothem, P = perimeter)
円と楕円
- Circle Circumference = 2πr = πd
- Circle Area = πr²
- Arc length = rθ (θ in radians) = 2πr·(θ°/360)
- Sector area = ½r²θ = πr²·(θ°/360)
- Ellipse Area = π·a·b (a, b = semi-axes)
立体図形 — 体積と表面積
- Cube Volume = s³
- Cube Surface area = 6s²
- Rectangular prism Volume = l·w·h
- Rectangular prism Surface area = 2(lw + lh + wh)
- Sphere Volume = (4/3)πr³
- Sphere Surface area = 4πr²
- Cylinder Volume = πr²h
- Cylinder Surface area = 2πr(r + h)
- Cone Volume = (1/3)πr²h
- Cone Surface area = πr(r + l), slant l = √(r² + h²)
- Square pyramid Volume = (1/3)·b²·h
- Square pyramid Surface area = b² + 2b·l
- Triangular prism Volume = (½·b·h)·L (L = length)
直角三角形と三平方の定理
- Pythagorean theorem = a² + b² = c²
- Common triples = 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25
- 45-45-90 triangle sides = 1 : 1 : √2
- 30-60-90 triangle sides = 1 : √3 : 2
- Trig ratios (SOH-CAH-TOA) = sin θ = opp/hyp, cos θ = adj/hyp, tan θ = opp/adj
座標幾何
- Distance d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- Midpoint = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
- Slope m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- Line (slope-intercept) = y = mx + b
- Line (point-slope) = y − y₁ = m(x − x₁)
幾何公式集について
これは学生が最も頼りにする幾何のチートシートです。正方形・長方形・三角形・平行四辺形・台形・ひし形・正多角形の面積と周の長さ。円の円周・面積・弧の長さ・扇形の面積、そして楕円の面積。立方体・直方体・球・円柱・円錐・四角錐・三角柱の体積と表面積。よくある整数の組を含む三平方の定理と、45-45-90・30-60-90の特別な直角三角形。距離・中点・傾き・直線の方程式を含む座標幾何を、授業で教わるとおりの並びで整理しました。カードをトピックごとに眺めてください。すべての公式は画像ではなく見やすいUnicode表記で書かれているので、ノートにきれいにコピーでき、支援技術やAIも読み取りやすくなっています。このページが静的なPDFと違うのは、UnitConvのインタラクティブなツールとつながっている点です。「3D立体の体積・表面積を可視化」をタップすれば、寸法を変えるたびに立体が形を変える様子を見られ、「単位円」や「三角関数の公式」をタップすればピタゴラスの比を三角関数と結び付けられます。あるいは面積や体積の単位をそのまま実際の問題向けに変換できます。これらの公式の出典には Paul's Online Math Notes、Mathwords、Wolfram MathWorld が含まれます。宿題のリファレンス、試験前の復習リスト、幾何の問題を解いている途中のちょっとした確認に使ってください。
このリファレンスの使い方
- 1 必要なトピックをグループ化されたカードから探します — 平面図形、円、立体図形、直角三角形、座標幾何。
- 2 見やすいUnicode表記の公式をそのまま自分の作業にコピーするか、自分の答えを照合します。
- 3 「3D立体の体積・表面積を可視化」や「単位円」をタップしてインタラクティブなツールを開き、公式が実際に働く様子を見ます。
これらの幾何公式のつながり
幾何の公式は次元によって3つのグループに分かれ、単位をはっきり区別しておくと役立ちます。周の長さと円周は長さ(m)、面積は長さの2乗(m²)、体積は長さの3乗(m³)です。2次元の面積公式はどれも何らかの形で「底辺かける高さ」に帰着します。長方形は l·w、平行四辺形は b·h、三角形はその半分の ½·b·h です。三角形は同じ底辺と高さを持つ平行四辺形のちょうど半分だからです。ヘロンの公式、面積 = √(s(s−a)(s−b)(s−c))(s = (a+b+c)/2)は、高さを求めなくても3辺の長さだけから同じ三角形の面積を与えます。3-4-5の直角三角形では √(6·3·2·1) = 6 となり、½·3·4 = 6 とぴったり一致します。円の公式(円周 2πr、面積 πr²)は、辺の数が限りなく増えていく正多角形の極限にあたります。だからこそ弧の長さ rθ や扇形の面積 ½r²θ も、円の公式を全周に対する割合でスケールしたものにすぎません。3次元では、体積の公式は一般に底面積に高さを掛けたものです(円柱は πr²·h、角柱は底面積かける長さ)。一方、円錐や角錐は頂点に向かって先細りになるため ⅓ の係数が付きます。三平方の定理 a²+b² = c² は、特別な直角三角形(45-45-90 は辺の比が 1:1:√2 になります。1²+1²=2=(√2)² だからです)と、座標上の2点間の水平・垂直方向の差にこの定理を当てはめただけの距離の公式の両方の土台になっています。
よくある質問
円の面積はどう求めますか?
円の面積は πr² です。r は半径です。半径2の円なら、面積は π·2² = 4π ≈ 12.566 平方単位になります。直径 d が与えられている場合は、まず r = d/2 を計算します。円周(円の周りの長さ)は別の公式で、2πr(または πd)です。
球の体積の公式は何ですか?
球の体積は (4/3)πr³ です。r は半径です。半径3の球なら、体積は (4/3)π·3³ = 36π ≈ 113.097 立方単位になります。同じ球の表面積は関連はしていますが別の公式 4πr² を使います。r = 3 のとき 4π·3² = 36π ≈ 113.097 平方単位となり、ここでは数値が一致していますが、それは r = 3 のときにたまたま両方の公式が数値的に一致するだけで、一般には異なります。
三平方の定理とは何ですか?
三平方の定理(ピタゴラスの定理)は、直角三角形において a² + b² = c² が成り立つというものです。a と b は直角を挟む2辺、c は斜辺(直角の対辺)です。この式を使えば、2辺が分かればもう1辺を求められます: c = √(a²+b²)、または a = √(c²−b²)。よく使われる整数の組はピタゴラス数と呼ばれ、3-4-5、5-12-13、8-15-17、7-24-25 などがあります。これらの倍数、たとえば 6-8-10 も同様に成り立ちます。
円柱の表面積はどう求めますか?
円柱の表面積は 2πr(r + h) です。r は半径、h は高さです。これは2つの円形の底面(それぞれ πr²、合わせて 2πr²)と、展開すると面積 2πr·h の長方形になる側面の曲面を足し合わせたものです。r = 1、h = 1 の円柱なら、表面積は 2π·1·(1+1) = 4π ≈ 12.566 平方単位になります。
関連ツール
これらの公式のどれでも、UnitConv でインタラクティブに確かめられます。立体図形の計算機で立方体・球・円柱・円錐・角錐の体積と表面積がどう変化するかを可視化し、単位円でピタゴラスの比がサインとコサインをどう決めるかを見て、角度と直角三角形を結び付ける三角関数の公式を復習し、計算した面積や体積をそのまま必要な単位に変換できます。