Geometrie-Formeln
Alle Geometrie-Formeln, die du brauchst, in einer übersichtlichen Tabelle — Fläche und Umfang von Quadrat, Rechteck, Dreieck und Vieleck, Kreis- und Ellipsenformeln, Volumen und Oberfläche von Würfeln, Kugeln, Zylindern, Kegeln und Pyramiden, der Satz des Pythagoras und spezielle rechtwinklige Dreiecke sowie Koordinatengeometrie — mit Ein-Tipp-Links zu unserem interaktiven 3D-Körper-Visualisierer und dem Einheitskreis, damit du die Form sofort erkunden kannst.
2D-Formen — Fläche & Umfang
- Square Area=s²
- Square Perimeter=4s
- Rectangle Area=l·w
- Rectangle Perimeter=2(l + w)
- Triangle Area=½·b·h
- Triangle Area (Heron)=√(s(s−a)(s−b)(s−c)), s = (a+b+c)/2
- Parallelogram Area=b·h
- Trapezoid Area=½(a + b)·h
- Rhombus Area=½·d₁·d₂
- Regular polygon (n sides) Area=½·n·s·a = ½·P·a (a = apothem, P = perimeter)
Kreise & Ellipsen
- Circle Circumference=2πr = πd
- Circle Area=πr²
- Arc length=rθ (θ in radians) = 2πr·(θ°/360)
- Sector area=½r²θ = πr²·(θ°/360)
- Ellipse Area=π·a·b (a, b = semi-axes)
3D-Körper — Volumen & Oberfläche
- Cube Volume=s³
- Cube Surface area=6s²
- Rectangular prism Volume=l·w·h
- Rectangular prism Surface area=2(lw + lh + wh)
- Sphere Volume=(4/3)πr³
- Sphere Surface area=4πr²
- Cylinder Volume=πr²h
- Cylinder Surface area=2πr(r + h)
- Cone Volume=(1/3)πr²h
- Cone Surface area=πr(r + l), slant l = √(r² + h²)
- Square pyramid Volume=(1/3)·b²·h
- Square pyramid Surface area=b² + 2b·l
- Triangular prism Volume=(½·b·h)·L (L = length)
Rechtwinklige Dreiecke & der Satz des Pythagoras
- Pythagorean theorem=a² + b² = c²
- Common triples=3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25
- 45-45-90 triangle sides=1 : 1 : √2
- 30-60-90 triangle sides=1 : √3 : 2
- Trig ratios (SOH-CAH-TOA)=sin θ = opp/hyp, cos θ = adj/hyp, tan θ = opp/adj
Koordinatengeometrie
- Distance d=√((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- Midpoint=((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
- Slope m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- Line (slope-intercept)=y = mx + b
- Line (point-slope)=y − y₁ = m(x − x₁)
Dies sind die üblichen Geometrieformeln. Jede gilt für alle zulässigen Werte, du kannst sie also durch Einsetzen von Zahlen prüfen — zum Beispiel hat eine Kugel mit Radius 3 das Volumen (4/3)π·3³ = 36π ≈ 113,097. ✓
2D-Formen — Fläche & Umfang
- Square Area = s²
- Square Perimeter = 4s
- Rectangle Area = l·w
- Rectangle Perimeter = 2(l + w)
- Triangle Area = ½·b·h
- Triangle Area (Heron) = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), s = (a+b+c)/2
- Parallelogram Area = b·h
- Trapezoid Area = ½(a + b)·h
- Rhombus Area = ½·d₁·d₂
- Regular polygon (n sides) Area = ½·n·s·a = ½·P·a (a = apothem, P = perimeter)
Kreise & Ellipsen
- Circle Circumference = 2πr = πd
- Circle Area = πr²
- Arc length = rθ (θ in radians) = 2πr·(θ°/360)
- Sector area = ½r²θ = πr²·(θ°/360)
- Ellipse Area = π·a·b (a, b = semi-axes)
3D-Körper — Volumen & Oberfläche
- Cube Volume = s³
- Cube Surface area = 6s²
- Rectangular prism Volume = l·w·h
- Rectangular prism Surface area = 2(lw + lh + wh)
- Sphere Volume = (4/3)πr³
- Sphere Surface area = 4πr²
- Cylinder Volume = πr²h
- Cylinder Surface area = 2πr(r + h)
- Cone Volume = (1/3)πr²h
- Cone Surface area = πr(r + l), slant l = √(r² + h²)
- Square pyramid Volume = (1/3)·b²·h
- Square pyramid Surface area = b² + 2b·l
- Triangular prism Volume = (½·b·h)·L (L = length)
Rechtwinklige Dreiecke & der Satz des Pythagoras
- Pythagorean theorem = a² + b² = c²
- Common triples = 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25
- 45-45-90 triangle sides = 1 : 1 : √2
- 30-60-90 triangle sides = 1 : √3 : 2
- Trig ratios (SOH-CAH-TOA) = sin θ = opp/hyp, cos θ = adj/hyp, tan θ = opp/adj
Koordinatengeometrie
- Distance d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- Midpoint = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
- Slope m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- Line (slope-intercept) = y = mx + b
- Line (point-slope) = y − y₁ = m(x − x₁)
Über die Geometrie-Referenz
Dies ist der Geometrie-Spickzettel, zu dem Schülerinnen und Schüler am häufigsten greifen: Fläche und Umfang für Quadrat, Rechteck, Dreieck, Parallelogramm, Trapez, Raute und regelmäßiges Vieleck; Umfang, Fläche, Bogenlänge und Kreissektorfläche für Kreise sowie die Ellipsenfläche; Volumen und Oberfläche für Würfel, Quader, Kugel, Zylinder, Kegel, quadratische Pyramide und dreiseitiges Prisma; der Satz des Pythagoras mit gängigen ganzzahligen Tripeln sowie die speziellen rechtwinkligen Dreiecke 45-45-90 und 30-60-90; und Koordinatengeometrie — Abstand, Mittelpunkt, Steigung und die Gleichungen einer Geraden. Jede Formel ist in sauberer Unicode-Notation geschrieben — keine Bilder — sodass sie sich sauber in deine Notizen kopieren lässt und für assistive Technik und KI leicht lesbar ist. Was diese Seite von einem statischen PDF unterscheidet, ist ihre Verbindung zu den interaktiven Werkzeugen von UnitConv: Tippe auf „Volumen & Oberfläche in 3D visualisieren“, um zu sehen, wie ein Körper seine Form ändert, während du seine Maße anpasst, auf „Einheitskreis“ oder „Trigonometrische Identitäten“, um die pythagoreischen Verhältnisse mit der Trigonometrie zu verbinden, oder rechne direkt in Flächen- oder Volumeneinheiten für ein reales Problem um. Zu den Quellen dieser Formeln zählen Paul's Online Math Notes, Mathwords und Wolfram MathWorld. Nutze sie als Hausaufgaben-Referenz, als Wiederholungsliste für Prüfungen oder zum schnellen Nachschlagen, während du eine Geometrieaufgabe bearbeitest.
So nutzt du diese Referenz
- 1 Finde das benötigte Thema in den gruppierten Karten — 2D-Formen, Kreise, 3D-Körper, rechtwinklige Dreiecke oder Koordinatengeometrie.
- 2 Kopiere die Formel in sauberer Unicode-Notation direkt in deine Arbeit oder prüfe dein eigenes Ergebnis daran.
- 3 Tippe auf „Volumen & Oberfläche in 3D visualisieren“ oder „Einheitskreis“, um ein interaktives Werkzeug zu öffnen und die Formel in Aktion zu sehen.
Wie diese Geometrieformeln zusammenhängen
Geometrieformeln lassen sich nach Dimension in drei Familien einteilen, und es hilft, die Einheiten klar zu unterscheiden: Umfang ist eine Länge (m), Fläche ist eine Länge zum Quadrat (m²) und Volumen ist eine Länge zur dritten Potenz (m³). Jede 2D-Flächenformel lässt sich in irgendeiner Form auf „Grundseite mal Höhe“ zurückführen — ein Rechteck ist l·b, ein Parallelogramm ist b·h, und ein Dreieck ist die Hälfte davon, ½·b·h, weil ein Dreieck genau die Hälfte eines Parallelogramms mit derselben Grundseite und Höhe ist. Die Formel von Heron, Fläche = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) mit s = (a+b+c)/2, liefert dieselbe Dreiecksfläche allein aus den drei Seitenlängen, ohne eine Höhe zu benötigen — für ein 3-4-5-rechtwinkliges Dreieck ergibt sie √(6·3·2·1) = 6, genau übereinstimmend mit ½·3·4 = 6. Die Kreisformeln (Umfang 2πr, Fläche πr²) sind der Grenzfall eines regelmäßigen Vielecks, dessen Seitenzahl unbegrenzt wächst, weshalb auch die Bogenlänge rθ und die Kreissektorfläche ½r²θ einfach die Kreisformeln sind, skaliert um den Anteil einer vollen Umdrehung. In 3D multiplizieren Volumenformeln im Allgemeinen eine Grundfläche mit einer Höhe (ein Zylinder ist πr²·h, ein Prisma ist Grundfläche mal Länge), während Kegel und Pyramiden einen Faktor von ⅓ erhalten, weil sie sich zu einer Spitze verjüngen. Der Satz des Pythagoras a²+b² = c² liegt sowohl den speziellen rechtwinkligen Dreiecken zugrunde (45-45-90 ergibt die Seiten 1:1:√2, da 1²+1²=2=(√2)²) als auch der Abstandsformel in Koordinaten, die einfach der Satz des Pythagoras ist, angewandt auf die horizontalen und vertikalen Differenzen zwischen zwei Punkten.
Häufig gestellte Fragen
Wie berechnet man die Fläche eines Kreises?
Die Fläche eines Kreises ist πr², wobei r der Radius ist. Für einen Kreis mit Radius 2 beträgt die Fläche π·2² = 4π ≈ 12,566 Quadrateinheiten. Ist stattdessen der Durchmesser d gegeben, verwende zunächst r = d/2. Der Umfang, die Strecke rund um den Kreis, folgt einer anderen Formel: 2πr (oder πd).
Wie lautet die Formel für das Volumen einer Kugel?
Das Volumen einer Kugel ist (4/3)πr³, wobei r der Radius ist. Für eine Kugel mit Radius 3 beträgt das Volumen (4/3)π·3³ = 36π ≈ 113,097 Kubikeinheiten. Die Oberfläche derselben Kugel verwendet eine verwandte, aber andere Formel, 4πr² — für r = 3 ergibt das 4π·3² = 36π ≈ 113,097 Quadrateinheiten (hier nur dieselbe Zahl, weil r = 3 die beiden Formeln zahlenmäßig zusammenfallen lässt; im Allgemeinen unterscheiden sie sich).
Was besagt der Satz des Pythagoras?
Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck a² + b² = c² gilt, wobei a und b die beiden Katheten und c die Hypotenuse (die Seite gegenüber dem rechten Winkel) sind. Damit kannst du jede Seite berechnen, wenn die anderen beiden bekannt sind: c = √(a²+b²) oder a = √(c²−b²). Gängige ganzzahlige Lösungen, sogenannte pythagoreische Tripel, sind 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 und 7-24-25 — jedes Vielfache davon funktioniert ebenfalls, etwa 6-8-10.
Wie berechnet man die Oberfläche eines Zylinders?
Die Oberfläche eines Zylinders ist 2πr(r + h), wobei r der Radius und h die Höhe ist. Sie ergibt sich aus der Summe der beiden Kreisflächen, je πr² (zusammen 2πr²), und der gekrümmten Mantelfläche, die sich zu einem Rechteck mit der Fläche 2πr·h abrollen lässt. Für einen Zylinder mit r = 1 und h = 1 beträgt die Oberfläche 2π·1·(1+1) = 4π ≈ 12,566 Quadrateinheiten.
Verwandte Werkzeuge
Verwandle jede dieser Formeln in eine interaktive Erkundung auf UnitConv: Visualisiere, wie sich Volumen und Oberfläche für Würfel, Kugeln, Zylinder, Kegel und Pyramiden mit dem Werkzeug für Körpergeometrie verändern, sieh, wie die pythagoreischen Verhältnisse Sinus und Kosinus am Einheitskreis antreiben, wiederhole die trigonometrischen Identitäten, die Winkel mit rechtwinkligen Dreiecken verbinden, oder rechne eine berechnete Fläche oder ein Volumen direkt in die benötigten Einheiten um.