Trigonometrische Identitäten
Jede gängige trigonometrische Identität in einer übersichtlichen Referenz — plus ein interaktiver Einheitskreis, der sin θ, cos θ und tan θ live zeigt, während Sie den Winkel ziehen, damit die Formeln wirklich Sinn ergeben.
Ziehen Sie den Schieberegler, um den Winkel zu ändern, und beobachten Sie, wie sich sin, cos und tan in Echtzeit auf dem Einheitskreis aktualisieren.
What are the trigonometric identities?
This page carries the 28 standard identities in 10 groups: three Pythagorean, three reciprocal, two quotient, three even-odd, three cofunction, three sum-and-difference, three double-angle, three half-angle, three product-to-sum, and the two triangle laws (sines and cosines).
If you memorise only two, memorise sin²θ + cos²θ = 1 and sin(α ± β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ. Together with the definitions of tan, sec, csc and cot, every other identity on this page follows from those two — each group below says in one line how.
Alle trigonometrischen Identitäten
Pythagoräisch
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
Why it holds — The point (cosθ, sinθ) sits on the unit circle, so x² + y² = 1 is Pythagoras' theorem. Divide that by cos²θ or by sin²θ to get the other two.
Kehrwert
- cscθ = 1 / sinθ
- secθ = 1 / cosθ
- cotθ = 1 / tanθ
Why it holds — These are definitions rather than theorems: cosecant, secant and cotangent are named for being the reciprocals of sine, cosine and tangent.
Quotient
- tanθ = sinθ / cosθ
- cotθ = cosθ / sinθ
Why it holds — On the unit circle tanθ is the slope of the radius, rise over run — that is y/x, which is sinθ over cosθ.
Gerade-Ungerade
- sin(−θ) = −sinθ
- cos(−θ) = cosθ
- tan(−θ) = −tanθ
Why it holds — Reflecting the unit circle in the x-axis keeps x and flips the sign of y, so cosine is even and sine is odd; tangent, being their quotient, is odd.
Kofunktion
- sin(90° − θ) = cosθ
- cos(90° − θ) = sinθ
- tan(90° − θ) = cotθ
Why it holds — The two acute angles of a right triangle add up to 90°, so the opposite side for one is the adjacent side for the other — which is exactly what "co-" means.
Additionstheoreme
- sin(α ± β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ
- cos(α ± β) = cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ
- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα·tanβ)
Why it holds — Compose two rotations: turning by α and then by β must equal turning by α + β. Writing that out in coordinates gives the addition formulas, and every group below this one comes from them.
Doppelwinkel
- sin2θ = 2·sinθ·cosθ
- cos2θ = cos²θ − sin²θ = 1 − 2sin²θ = 2cos²θ − 1
- tan2θ = 2tanθ / (1 − tan²θ)
Why it holds — Put β = α in the sum formulas; the three forms of cos 2θ then differ only by substituting sin²θ + cos²θ = 1.
Halbwinkel
- sin(θ/2) = ±√((1 − cosθ) / 2)
- cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)
- tan(θ/2) = (1 − cosθ) / sinθ
Why it holds — Solve the cos 2θ forms for sin²θ and cos²θ, then take the square root. The ± is not ambiguity — the sign is fixed by which quadrant θ/2 lands in.
Produkt-zu-Summe
- sinα·cosβ = ½[sin(α + β) + sin(α − β)]
- cosα·cosβ = ½[cos(α − β) + cos(α + β)]
- sinα·sinβ = ½[cos(α − β) − cos(α + β)]
Why it holds — Add the sum and difference formulas and the cross terms cancel; subtract them and the other pair cancels. Reading the results backwards gives the sum-to-product forms.
Sinus- und Kosinussatz
- a / sinA = b / sinB = c / sinC
- c² = a² + b² − 2ab·cosC
Why it holds — Drop an altitude in a general triangle: writing its length two ways gives the law of sines, and applying Pythagoras to the two pieces gives the law of cosines — which collapses to a² + b² = c² when the angle is 90°.
Quellen
- List of trigonometric identities — Wikipedia
- Trigonometric Addition Formulas — Wolfram MathWorld
Über die Referenz zu trigonometrischen Identitäten
Trigonometrische Identitäten sind Gleichungen, die für jeden Wert des Winkels gelten, und sie bilden das Rückgrat der Trigonometrie, der Analysis-Vorbereitung und der Analysis. Diese Referenz fasst alle zusammen, die Schüler wirklich brauchen, geordnet so, wie Lehrkräfte sie einführen: die pythagoräischen Identitäten (sin²θ + cos²θ = 1 und ihre beiden Geschwister), die Kehrwert- und Quotientenidentitäten, die csc, sec, cot und tan definieren, die gerade-ungerade-Identitäten, die Symmetrie beschreiben, die Kofunktionsidentitäten, die Sinus mit Kosinus verbinden, die Additionstheoreme, die Doppelwinkel- und Halbwinkelformeln, die Produkt-zu-Summe-Formeln sowie den Sinussatz und den Kosinussatz zum Lösen beliebiger Dreiecke. Was diese Seite von einer flachen Tabelle abhebt, ist der interaktive Einheitskreis oben: Ziehen Sie den Winkel und beobachten Sie, wie sich der Punkt bewegt, während sin θ, cos θ und tan θ live aktualisiert werden, sodass Sie sehen, warum etwa sin und cos durch 1 begrenzt sind und warum tan nahe 90° gegen unendlich strebt. Jede Formel ist in klarer Unicode-Notation geschrieben — keine Bilder, sodass sie sich sauber kopieren lässt und für Hilfstechnologien und KI leicht lesbar ist. Nutzen Sie sie als Spickzettel für Hausaufgaben, als Prüfungs-Wiederholungsliste oder zum schnellen Nachschlagen beim Vereinfachen eines Ausdrucks oder Beweisen einer Identität.
So nutzen Sie diese Referenz
- 1 Ziehen Sie den Winkelschieber (oder aktivieren Sie das Einrasten auf besondere Winkel) und beobachten Sie, wie sich der Punkt auf dem Einheitskreis bewegt.
- 2 Lesen Sie die Live-Werte sin θ, cos θ und tan θ ab, um ein Gefühl dafür zu entwickeln, wie sich die Funktionen rund um den Kreis verhalten.
- 3 Scrollen Sie durch die Identitätskarten unten — nach Typ gruppiert —, um die benötigte Formel zu finden und in Ihre Arbeit zu kopieren.
Wie die Identitäten mit dem Einheitskreis zusammenhängen
Auf einem Einheitskreis mit Radius 1 hat ein Punkt beim Winkel θ, gemessen gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse, die Koordinaten (cos θ, sin θ). Dieses eine Bild erklärt die meisten Identitäten: • Da der Punkt auf einem Kreis mit Radius 1 liegt, ergibt x² + y² = 1 die grundlegende pythagoräische Identität sin²θ + cos²θ = 1; teilt man sie durch cos²θ oder sin²θ, erhält man 1 + tan²θ = sec²θ und 1 + cot²θ = csc²θ. • tan θ = sin θ / cos θ ist die Steigung des Radius, weshalb es unbeschränkt wächst, wenn cos θ nahe 90° und 270° gegen 0 geht (angezeigt als "undefiniert"). • Spiegelt man den Punkt an der x-Achse, geht θ in −θ über und das Vorzeichen von y kehrt sich um, nicht aber das von x, was die gerade-ungerade-Identitäten sin(−θ) = −sin θ und cos(−θ) = cos θ ergibt. • Vertauscht man x und y (Spiegelung an der Geraden y = x), wird θ auf 90° − θ abgebildet, was die Kofunktionsbeziehung sin(90° − θ) = cos θ ist. Die Additions-, Doppelwinkel-, Halbwinkel- und Produkt-zu-Summe-Formeln werden dann algebraisch daraus hergeleitet, und der Sinus- und Kosinussatz erweitern dieselbe Trigonometrie auf nicht rechtwinklige Dreiecke.
Häufig gestellte Fragen
Was sind die grundlegenden trigonometrischen Identitäten?
Die grundlegendsten sind die pythagoräischen Identitäten — sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ und 1 + cot²θ = csc²θ — zusammen mit den Kehrwertidentitäten (csc θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ) und den Quotientenidentitäten (tan θ = sin θ/cos θ, cot θ = cos θ/sin θ). Fast jede andere Identität lässt sich aus diesen herleiten, weshalb sie meist als erste auswendig gelernt werden.
Was ist die pythagoräische Identität?
Die pythagoräische Identität ist sin²θ + cos²θ = 1 und gilt für jeden Winkel θ. Sie folgt direkt aus dem Einheitskreis: Ein Punkt beim Winkel θ hat die Koordinaten (cos θ, sin θ), und da der Kreis den Radius 1 hat, liefert der Satz des Pythagoras cos²θ + sin²θ = 1. Teilt man beide Seiten durch cos²θ, ergibt sich 1 + tan²θ = sec²θ, und teilt man durch sin²θ, ergibt sich 1 + cot²θ = csc²θ.
Was sind die Doppelwinkelformeln?
Die Doppelwinkelformeln drücken trigonometrische Funktionen von 2θ durch θ aus: sin 2θ = 2·sin θ·cos θ; cos 2θ = cos²θ − sin²θ, was sich auch als 1 − 2sin²θ oder 2cos²θ − 1 schreiben lässt; und tan 2θ = 2tan θ / (1 − tan²θ). Sie sind Sonderfälle der Additionstheoreme mit α = β = θ und werden ständig beim Vereinfachen von Ausdrücken und Lösen trigonometrischer Gleichungen verwendet.
Wann verwende ich den Sinussatz und wann den Kosinussatz?
Verwenden Sie den Sinussatz, a/sin A = b/sin B = c/sin C, wenn Sie zwei Winkel und eine Seite oder zwei Seiten und einen nicht eingeschlossenen Winkel kennen. Verwenden Sie den Kosinussatz, c² = a² + b² − 2ab·cos C, wenn Sie zwei Seiten und den Winkel dazwischen kennen (um die dritte Seite zu finden) oder alle drei Seiten (um einen Winkel zu finden). Beide lösen nicht rechtwinklige Dreiecke, bei denen die grundlegenden sin/cos/tan-Verhältnisse allein nicht ausreichen.
Verwandte Werkzeuge
Erkunden Sie die Trigonometrie weiter auf UnitConv: Ziehen Sie den vollständigen interaktiven Einheitskreis, um alle sechs trigonometrischen Funktionen mit exakten Werten zu sehen, zeichnen Sie Sinus- und Kosinuswellen mit dem Funktionsplotter und bringen Sie große oder kleine Zahlen mit dem Umrechner für wissenschaftliche Notation in Ordnung.