Identités trigonométriques
Toutes les identités trigonométriques standard dans une référence organisée — plus un cercle trigonométrique interactif qui affiche sin θ, cos θ et tan θ en direct quand vous faites glisser l'angle, pour que les formules prennent vraiment sens.
Faites glisser le curseur pour modifier l'angle et observez sin, cos et tan se mettre à jour en temps réel sur le cercle trigonométrique.
What are the trigonometric identities?
This page carries the 28 standard identities in 10 groups: three Pythagorean, three reciprocal, two quotient, three even-odd, three cofunction, three sum-and-difference, three double-angle, three half-angle, three product-to-sum, and the two triangle laws (sines and cosines).
If you memorise only two, memorise sin²θ + cos²θ = 1 and sin(α ± β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ. Together with the definitions of tan, sec, csc and cot, every other identity on this page follows from those two — each group below says in one line how.
Toutes les identités trigonométriques
Pythagoriciennes
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
Why it holds — The point (cosθ, sinθ) sits on the unit circle, so x² + y² = 1 is Pythagoras' theorem. Divide that by cos²θ or by sin²θ to get the other two.
Réciproques
- cscθ = 1 / sinθ
- secθ = 1 / cosθ
- cotθ = 1 / tanθ
Why it holds — These are definitions rather than theorems: cosecant, secant and cotangent are named for being the reciprocals of sine, cosine and tangent.
De quotient
- tanθ = sinθ / cosθ
- cotθ = cosθ / sinθ
Why it holds — On the unit circle tanθ is the slope of the radius, rise over run — that is y/x, which is sinθ over cosθ.
Paire-impaire
- sin(−θ) = −sinθ
- cos(−θ) = cosθ
- tan(−θ) = −tanθ
Why it holds — Reflecting the unit circle in the x-axis keeps x and flips the sign of y, so cosine is even and sine is odd; tangent, being their quotient, is odd.
De cofonction
- sin(90° − θ) = cosθ
- cos(90° − θ) = sinθ
- tan(90° − θ) = cotθ
Why it holds — The two acute angles of a right triangle add up to 90°, so the opposite side for one is the adjacent side for the other — which is exactly what "co-" means.
Addition et différence
- sin(α ± β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ
- cos(α ± β) = cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ
- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα·tanβ)
Why it holds — Compose two rotations: turning by α and then by β must equal turning by α + β. Writing that out in coordinates gives the addition formulas, and every group below this one comes from them.
Angle double
- sin2θ = 2·sinθ·cosθ
- cos2θ = cos²θ − sin²θ = 1 − 2sin²θ = 2cos²θ − 1
- tan2θ = 2tanθ / (1 − tan²θ)
Why it holds — Put β = α in the sum formulas; the three forms of cos 2θ then differ only by substituting sin²θ + cos²θ = 1.
Angle moitié
- sin(θ/2) = ±√((1 − cosθ) / 2)
- cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)
- tan(θ/2) = (1 − cosθ) / sinθ
Why it holds — Solve the cos 2θ forms for sin²θ and cos²θ, then take the square root. The ± is not ambiguity — the sign is fixed by which quadrant θ/2 lands in.
Produit en somme
- sinα·cosβ = ½[sin(α + β) + sin(α − β)]
- cosα·cosβ = ½[cos(α − β) + cos(α + β)]
- sinα·sinβ = ½[cos(α − β) − cos(α + β)]
Why it holds — Add the sum and difference formulas and the cross terms cancel; subtract them and the other pair cancels. Reading the results backwards gives the sum-to-product forms.
Lois des sinus et des cosinus
- a / sinA = b / sinB = c / sinC
- c² = a² + b² − 2ab·cosC
Why it holds — Drop an altitude in a general triangle: writing its length two ways gives the law of sines, and applying Pythagoras to the two pieces gives the law of cosines — which collapses to a² + b² = c² when the angle is 90°.
Sources
- List of trigonometric identities — Wikipedia
- Trigonometric Addition Formulas — Wolfram MathWorld
À propos de la référence des identités trigonométriques
Les identités trigonométriques sont des égalités vraies pour toute valeur de l'angle, et elles constituent l'épine dorsale de la trigonométrie, de l'analyse préparatoire et de l'analyse. Cette référence rassemble toutes celles dont les élèves ont réellement besoin, regroupées comme les enseignants les présentent : les identités pythagoriciennes (sin²θ + cos²θ = 1 et ses deux sœurs), les identités réciproques et de quotient qui définissent csc, sec, cot et tan, les identités paire-impaire qui décrivent la symétrie, les identités de cofonction qui relient le sinus au cosinus, les formules d'addition et de différence, les formules de l'angle double et de l'angle moitié, les formules de produit en somme, et la loi des sinus et la loi des cosinus pour résoudre n'importe quel triangle. Ce qui distingue cette page d'un simple tableau, c'est le cercle trigonométrique interactif en haut : faites glisser l'angle et regardez le point se déplacer pendant que sin θ, cos θ et tan θ se mettent à jour en direct, afin de voir par exemple pourquoi sin et cos sont bornés par 1 et pourquoi tan explose vers l'infini près de 90°. Chaque formule est écrite en notation Unicode claire — sans images, elle se copie proprement et est facile à lire pour les technologies d'assistance et l'IA. Utilisez-la comme antisèche de devoirs, comme liste de révision d'examen, ou comme recherche rapide lorsque vous simplifiez une expression ou démontrez une identité.
Comment utiliser cette référence
- 1 Faites glisser le curseur d'angle (ou activez l'alignement sur les angles particuliers) et regardez le point se déplacer sur le cercle trigonométrique.
- 2 Lisez les valeurs en direct de sin θ, cos θ et tan θ pour développer une intuition de la façon dont les fonctions se comportent autour du cercle.
- 3 Faites défiler les cartes d'identités ci-dessous — regroupées par type — pour trouver la formule dont vous avez besoin et la copier dans votre travail.
Comment les identités sont liées au cercle trigonométrique
Sur un cercle trigonométrique de rayon 1, un point à l'angle θ mesuré dans le sens antihoraire depuis l'axe des x positif a pour coordonnées (cos θ, sin θ). Cette seule image explique la plupart des identités : • Comme le point est sur un cercle de rayon 1, x² + y² = 1 donne l'identité pythagoricienne fondamentale sin²θ + cos²θ = 1 ; en la divisant par cos²θ ou sin²θ on obtient 1 + tan²θ = sec²θ et 1 + cot²θ = csc²θ. • tan θ = sin θ / cos θ est la pente du rayon, c'est pourquoi elle croît sans borne lorsque cos θ approche 0 près de 90° et 270° (affiché comme "indéfini"). • Réfléchir le point par rapport à l'axe des x envoie θ sur −θ et inverse le signe de y mais pas de x, ce qui donne les identités paire-impaire sin(−θ) = −sin θ et cos(−θ) = cos θ. • Échanger x et y (une réflexion par rapport à la droite y = x) envoie θ sur 90° − θ, ce qui est la relation de cofonction sin(90° − θ) = cos θ. Les formules d'addition, de différence, de l'angle double, de l'angle moitié et de produit en somme se déduisent ensuite algébriquement de celles-ci, et les lois des sinus et des cosinus étendent la même trigonométrie aux triangles non rectangles.
Questions fréquentes
Quelles sont les identités trigonométriques de base ?
Les plus fondamentales sont les identités pythagoriciennes — sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ et 1 + cot²θ = csc²θ — ainsi que les identités réciproques (csc θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ) et les identités de quotient (tan θ = sin θ/cos θ, cot θ = cos θ/sin θ). Presque toutes les autres identités peuvent en être déduites, c'est pourquoi ce sont généralement les premières mémorisées.
Qu'est-ce que l'identité pythagoricienne ?
L'identité pythagoricienne est sin²θ + cos²θ = 1, vraie pour tout angle θ. Elle découle directement du cercle trigonométrique : un point à l'angle θ a pour coordonnées (cos θ, sin θ), et comme le cercle a un rayon 1, le théorème de Pythagore donne cos²θ + sin²θ = 1. En divisant les deux membres par cos²θ on obtient 1 + tan²θ = sec²θ, et en divisant par sin²θ on obtient 1 + cot²θ = csc²θ.
Quelles sont les formules de l'angle double ?
Les formules de l'angle double expriment les fonctions trigonométriques de 2θ en fonction de θ : sin 2θ = 2·sin θ·cos θ ; cos 2θ = cos²θ − sin²θ, qui peut aussi s'écrire 1 − 2sin²θ ou 2cos²θ − 1 ; et tan 2θ = 2tan θ / (1 − tan²θ). Ce sont des cas particuliers des formules d'addition avec α = β = θ, et elles sont constamment utilisées pour simplifier des expressions et résoudre des équations trigonométriques.
Quand utiliser la loi des sinus plutôt que la loi des cosinus ?
Utilisez la loi des sinus, a/sin A = b/sin B = c/sin C, lorsque vous connaissez deux angles et un côté, ou deux côtés et un angle non compris. Utilisez la loi des cosinus, c² = a² + b² − 2ab·cos C, lorsque vous connaissez deux côtés et l'angle entre eux (pour trouver le troisième côté) ou les trois côtés (pour trouver un angle). Toutes deux permettent de résoudre des triangles non rectangles, où les rapports de base sin/cos/tan seuls ne suffisent pas.
Outils associés
Continuez à explorer la trigonométrie sur UnitConv : faites glisser le cercle trigonométrique interactif complet pour voir les six fonctions trigonométriques avec leurs valeurs exactes, tracez les ondes sinus et cosinus avec la calculatrice graphique, et mettez de l'ordre dans les grands ou petits nombres avec le convertisseur de notation scientifique.