त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ
हर मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका एक व्यवस्थित संदर्भ में — साथ ही एक इंटरैक्टिव इकाई वृत्त जो कोण खींचते ही sin θ, cos θ और tan θ को लाइव दिखाता है, ताकि सूत्र वास्तव में समझ में आएँ।
कोण बदलने के लिए स्लाइडर खींचें और देखें कि इकाई वृत्त पर sin, cos और tan वास्तविक समय में कैसे अपडेट होते हैं।
What are the trigonometric identities?
This page carries the 28 standard identities in 10 groups: three Pythagorean, three reciprocal, two quotient, three even-odd, three cofunction, three sum-and-difference, three double-angle, three half-angle, three product-to-sum, and the two triangle laws (sines and cosines).
If you memorise only two, memorise sin²θ + cos²θ = 1 and sin(α ± β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ. Together with the definitions of tan, sec, csc and cot, every other identity on this page follows from those two — each group below says in one line how.
सभी त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ
पाइथागोरियन
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
Why it holds — The point (cosθ, sinθ) sits on the unit circle, so x² + y² = 1 is Pythagoras' theorem. Divide that by cos²θ or by sin²θ to get the other two.
व्युत्क्रम
- cscθ = 1 / sinθ
- secθ = 1 / cosθ
- cotθ = 1 / tanθ
Why it holds — These are definitions rather than theorems: cosecant, secant and cotangent are named for being the reciprocals of sine, cosine and tangent.
भागफल
- tanθ = sinθ / cosθ
- cotθ = cosθ / sinθ
Why it holds — On the unit circle tanθ is the slope of the radius, rise over run — that is y/x, which is sinθ over cosθ.
सम-विषम
- sin(−θ) = −sinθ
- cos(−θ) = cosθ
- tan(−θ) = −tanθ
Why it holds — Reflecting the unit circle in the x-axis keeps x and flips the sign of y, so cosine is even and sine is odd; tangent, being their quotient, is odd.
सहफलन
- sin(90° − θ) = cosθ
- cos(90° − θ) = sinθ
- tan(90° − θ) = cotθ
Why it holds — The two acute angles of a right triangle add up to 90°, so the opposite side for one is the adjacent side for the other — which is exactly what "co-" means.
योग और अंतर
- sin(α ± β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ
- cos(α ± β) = cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ
- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα·tanβ)
Why it holds — Compose two rotations: turning by α and then by β must equal turning by α + β. Writing that out in coordinates gives the addition formulas, and every group below this one comes from them.
द्विकोण
- sin2θ = 2·sinθ·cosθ
- cos2θ = cos²θ − sin²θ = 1 − 2sin²θ = 2cos²θ − 1
- tan2θ = 2tanθ / (1 − tan²θ)
Why it holds — Put β = α in the sum formulas; the three forms of cos 2θ then differ only by substituting sin²θ + cos²θ = 1.
अर्धकोण
- sin(θ/2) = ±√((1 − cosθ) / 2)
- cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)
- tan(θ/2) = (1 − cosθ) / sinθ
Why it holds — Solve the cos 2θ forms for sin²θ and cos²θ, then take the square root. The ± is not ambiguity — the sign is fixed by which quadrant θ/2 lands in.
गुणनफल-से-योग
- sinα·cosβ = ½[sin(α + β) + sin(α − β)]
- cosα·cosβ = ½[cos(α − β) + cos(α + β)]
- sinα·sinβ = ½[cos(α − β) − cos(α + β)]
Why it holds — Add the sum and difference formulas and the cross terms cancel; subtract them and the other pair cancels. Reading the results backwards gives the sum-to-product forms.
ज्या नियम और कोज्या नियम
- a / sinA = b / sinB = c / sinC
- c² = a² + b² − 2ab·cosC
Why it holds — Drop an altitude in a general triangle: writing its length two ways gives the law of sines, and applying Pythagoras to the two pieces gives the law of cosines — which collapses to a² + b² = c² when the angle is 90°.
स्रोत
- List of trigonometric identities — Wikipedia
- Trigonometric Addition Formulas — Wolfram MathWorld
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका संदर्भ के बारे में
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ ऐसे समीकरण हैं जो कोण के हर मान के लिए सत्य होते हैं, और ये त्रिकोणमिति, प्री-कैलकुलस और कैलकुलस की रीढ़ हैं। यह संदर्भ उन सभी को इकट्ठा करता है जिनकी छात्रों को वास्तव में ज़रूरत होती है, उसी क्रम में समूहीकृत जैसे शिक्षक उन्हें पढ़ाते हैं: पाइथागोरियन सर्वसमिकाएँ (sin²θ + cos²θ = 1 और इसकी दो सहोदर), व्युत्क्रम और भागफल सर्वसमिकाएँ जो csc, sec, cot और tan को परिभाषित करती हैं, सम-विषम सर्वसमिकाएँ जो सममिति का वर्णन करती हैं, सहफलन सर्वसमिकाएँ जो ज्या को कोज्या से जोड़ती हैं, योग और अंतर सूत्र, द्विकोण और अर्धकोण सूत्र, गुणनफल-से-योग सूत्र, और किसी भी त्रिभुज को हल करने के लिए ज्या नियम तथा कोज्या नियम। यह पृष्ठ सपाट तालिका से इसलिए अलग है क्योंकि ऊपर एक इंटरैक्टिव इकाई वृत्त है: कोण खींचें और बिंदु को चलते देखें जबकि sin θ, cos θ और tan θ लाइव अपडेट होते हैं, ताकि आप देख सकें कि उदाहरण के लिए sin और cos 1 से सीमित क्यों हैं और tan 90° के पास अनंत तक क्यों उछल जाता है। हर सूत्र साफ़ यूनिकोड संकेतन में लिखा है — कोई छवि नहीं, इसलिए यह साफ़-सुथरा कॉपी होता है और सहायक तकनीक तथा AI के लिए पढ़ना आसान है। इसे होमवर्क चीट शीट, परीक्षा रिवीज़न सूची, या किसी व्यंजक को सरल करते समय या सर्वसमिका सिद्ध करते समय त्वरित खोज के रूप में उपयोग करें।
इस संदर्भ का उपयोग कैसे करें
- 1 कोण स्लाइडर खींचें (या विशेष कोणों पर स्नैप चालू करें) और इकाई वृत्त पर बिंदु को चलते देखें।
- 2 लाइव sin θ, cos θ और tan θ मान पढ़ें ताकि वृत्त के चारों ओर फलनों के व्यवहार की अंतर्दृष्टि बने।
- 3 नीचे की सर्वसमिका कार्ड्स को स्क्रॉल करें — प्रकार के अनुसार समूहीकृत — अपनी ज़रूरत का सूत्र खोजें और उसे अपने काम में कॉपी करें।
सर्वसमिकाएँ इकाई वृत्त से कैसे संबंधित हैं
त्रिज्या 1 के इकाई वृत्त पर, धनात्मक x-अक्ष से वामावर्त मापे गए कोण θ पर स्थित बिंदु के निर्देशांक (cos θ, sin θ) होते हैं। यह एक चित्र अधिकांश सर्वसमिकाओं की व्याख्या करता है: • चूँकि बिंदु त्रिज्या 1 के वृत्त पर है, x² + y² = 1 मौलिक पाइथागोरियन सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 देता है; इसे cos²θ या sin²θ से भाग देने पर 1 + tan²θ = sec²θ और 1 + cot²θ = csc²θ मिलता है। • tan θ = sin θ / cos θ त्रिज्या की ढाल है, इसीलिए जब cos θ 90° और 270° के पास 0 के निकट पहुँचता है तो यह बिना सीमा के बढ़ता है ("अपरिभाषित" के रूप में दिखाया गया)। • बिंदु को x-अक्ष पर परावर्तित करने से θ −θ बन जाता है और y का चिह्न बदलता है पर x का नहीं, जिससे सम-विषम सर्वसमिकाएँ sin(−θ) = −sin θ और cos(−θ) = cos θ मिलती हैं। • x और y की अदला-बदली (रेखा y = x पर परावर्तन) θ को 90° − θ पर मैप करती है, जो सहफलन संबंध sin(90° − θ) = cos θ है। फिर योग, अंतर, द्विकोण, अर्धकोण और गुणनफल-से-योग सूत्र इन्हीं से बीजगणितीय रूप से व्युत्पन्न होते हैं, और ज्या तथा कोज्या नियम उसी त्रिकोणमिति को उन त्रिभुजों तक विस्तारित करते हैं जो समकोण नहीं हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ क्या हैं?
सबसे मौलिक हैं पाइथागोरियन सर्वसमिकाएँ — sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ, और 1 + cot²θ = csc²θ — साथ ही व्युत्क्रम सर्वसमिकाएँ (csc θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ) और भागफल सर्वसमिकाएँ (tan θ = sin θ/cos θ, cot θ = cos θ/sin θ)। लगभग हर अन्य सर्वसमिका इन्हीं से व्युत्पन्न की जा सकती है, इसीलिए आमतौर पर इन्हें सबसे पहले याद किया जाता है।
पाइथागोरियन सर्वसमिका क्या है?
पाइथागोरियन सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 है, जो हर कोण θ के लिए सत्य है। यह सीधे इकाई वृत्त से आती है: कोण θ पर स्थित बिंदु के निर्देशांक (cos θ, sin θ) होते हैं, और चूँकि वृत्त की त्रिज्या 1 है, पाइथागोरस प्रमेय cos²θ + sin²θ = 1 देता है। दोनों पक्षों को cos²θ से भाग देने पर 1 + tan²θ = sec²θ मिलता है, और sin²θ से भाग देने पर 1 + cot²θ = csc²θ मिलता है।
द्विकोण सूत्र क्या हैं?
द्विकोण सूत्र 2θ के त्रिकोणमितीय फलनों को θ के पदों में व्यक्त करते हैं: sin 2θ = 2·sin θ·cos θ; cos 2θ = cos²θ − sin²θ, जिसे 1 − 2sin²θ या 2cos²θ − 1 के रूप में भी लिखा जा सकता है; और tan 2θ = 2tan θ / (1 − tan²θ)। ये α = β = θ के साथ योग सूत्रों के विशेष मामले हैं, और व्यंजकों को सरल करने तथा त्रिकोणमितीय समीकरण हल करने में लगातार उपयोग होते हैं।
मैं ज्या नियम बनाम कोज्या नियम कब उपयोग करूँ?
ज्या नियम, a/sin A = b/sin B = c/sin C, का उपयोग तब करें जब आप दो कोण और एक भुजा जानते हों, या दो भुजाएँ और एक अंतर्गत न होने वाला कोण। कोज्या नियम, c² = a² + b² − 2ab·cos C, का उपयोग तब करें जब आप दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण जानते हों (तीसरी भुजा निकालने के लिए) या तीनों भुजाएँ (कोण निकालने के लिए)। दोनों आपको ऐसे त्रिभुज हल करने देते हैं जो समकोण नहीं हैं, जहाँ अकेले मूल sin/cos/tan अनुपात पर्याप्त नहीं हैं।
संबंधित उपकरण
UnitConv पर त्रिकोणमिति की खोज जारी रखें: सभी छह त्रिकोणमितीय फलनों को सटीक मानों के साथ देखने के लिए पूर्ण इंटरैक्टिव इकाई वृत्त खींचें, ग्राफ़िंग कैलकुलेटर से ज्या और कोज्या तरंगें आलेखित करें, और वैज्ञानिक संकेतन परिवर्तक से बड़ी या छोटी संख्याओं को व्यवस्थित करें।