المتطابقات المثلثية
كل متطابقة مثلثية معيارية في مرجع واحد منظَّم — مع دائرة وحدة تفاعلية تعرض sin θ و cos θ و tan θ مباشرةً أثناء سحب الزاوية، حتى تصبح الصيغ مفهومة فعلاً.
اسحب شريط التمرير لتغيير الزاوية وشاهد sin و cos و tan تتحدث في الوقت الفعلي على دائرة الوحدة.
جميع المتطابقات المثلثية
الفيثاغورية
- sin²θ + cos²θ=1
- 1 + tan²θ=sec²θ
- 1 + cot²θ=csc²θ
المقلوبة
- cscθ=1 / sinθ
- secθ=1 / cosθ
- cotθ=1 / tanθ
القسمة
- tanθ=sinθ / cosθ
- cotθ=cosθ / sinθ
الزوجية والفردية
- sin(−θ)=−sinθ
- cos(−θ)=cosθ
- tan(−θ)=−tanθ
الدوال المتكاملة
- sin(90° − θ)=cosθ
- cos(90° − θ)=sinθ
- tan(90° − θ)=cotθ
المجموع والفرق
- sin(α ± β)=sinα·cosβ ± cosα·sinβ
- cos(α ± β)=cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ
- tan(α ± β)=(tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα·tanβ)
ضعف الزاوية
- sin2θ=2·sinθ·cosθ
- cos2θ=cos²θ − sin²θ = 1 − 2sin²θ = 2cos²θ − 1
- tan2θ=2tanθ / (1 − tan²θ)
نصف الزاوية
- sin(θ/2)=±√((1 − cosθ) / 2)
- cos(θ/2)=±√((1 + cosθ) / 2)
- tan(θ/2)=(1 − cosθ) / sinθ
تحويل الضرب إلى مجموع
- sinα·cosβ=½[sin(α + β) + sin(α − β)]
- cosα·cosβ=½[cos(α − β) + cos(α + β)]
- sinα·sinβ=½[cos(α − β) − cos(α + β)]
قانون الجيب وقانون جيب التمام
- a / sinA = b / sinB=c / sinC
- c²=a² + b² − 2ab·cosC
جميع المتطابقات المثلثية
الفيثاغورية
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
المقلوبة
- cscθ = 1 / sinθ
- secθ = 1 / cosθ
- cotθ = 1 / tanθ
القسمة
- tanθ = sinθ / cosθ
- cotθ = cosθ / sinθ
الزوجية والفردية
- sin(−θ) = −sinθ
- cos(−θ) = cosθ
- tan(−θ) = −tanθ
الدوال المتكاملة
- sin(90° − θ) = cosθ
- cos(90° − θ) = sinθ
- tan(90° − θ) = cotθ
المجموع والفرق
- sin(α ± β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ
- cos(α ± β) = cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ
- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα·tanβ)
ضعف الزاوية
- sin2θ = 2·sinθ·cosθ
- cos2θ = cos²θ − sin²θ = 1 − 2sin²θ = 2cos²θ − 1
- tan2θ = 2tanθ / (1 − tan²θ)
نصف الزاوية
- sin(θ/2) = ±√((1 − cosθ) / 2)
- cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)
- tan(θ/2) = (1 − cosθ) / sinθ
تحويل الضرب إلى مجموع
- sinα·cosβ = ½[sin(α + β) + sin(α − β)]
- cosα·cosβ = ½[cos(α − β) + cos(α + β)]
- sinα·sinβ = ½[cos(α − β) − cos(α + β)]
قانون الجيب وقانون جيب التمام
- a / sinA = b / sinB = c / sinC
- c² = a² + b² − 2ab·cosC
حول مرجع المتطابقات المثلثية
المتطابقات المثلثية هي معادلات تصحّ لكل قيمة من قيم الزاوية، وهي العمود الفقري لحساب المثلثات وما قبل التفاضل والتفاضل والتكامل. يجمع هذا المرجع كل ما يحتاجه الطلاب فعلاً، مرتَّباً بالطريقة التي يقدّمها بها المعلمون: المتطابقات الفيثاغورية (sin²θ + cos²θ = 1 وشقيقتاها)، ومتطابقات المقلوب والقسمة التي تعرّف csc و sec و cot و tan، ومتطابقات الزوجية-الفردية التي تصف التماثل، ومتطابقات الدوال المتكاملة التي تربط الجيب بجيب التمام، وصيغ مجموع الزوايا وفرقها، وصيغ ضعف الزاوية ونصف الزاوية، وصيغ تحويل الضرب إلى مجموع، وقانون الجيب وقانون جيب التمام لحل أي مثلث. ما يميّز هذه الصفحة عن جدول مسطّح هو دائرة الوحدة التفاعلية في الأعلى: اسحب الزاوية وشاهد النقطة تتحرك بينما تتحدث sin θ و cos θ و tan θ مباشرةً، فترى مثلاً لماذا يقتصر sin و cos على 1 ولماذا ينطلق tan نحو اللانهاية قرب 90°. كل صيغة مكتوبة بترميز يونيكود واضح — بلا صور، فتُنسخ بنظافة ويسهل على التقنيات المساعدة والذكاء الاصطناعي قراءتها. استخدمها كورقة مراجعة للواجبات، أو قائمة مراجعة للامتحان، أو بحثاً سريعاً عند تبسيط تعبير أو إثبات متطابقة.
كيفية استخدام هذا المرجع
- 1 اسحب شريط الزاوية (أو فعّل الالتقاط للزوايا الخاصة) وشاهد النقطة تتحرك على دائرة الوحدة.
- 2 اقرأ قيم sin θ و cos θ و tan θ المباشرة لتكوين حدس عن سلوك الدوال حول الدائرة.
- 3 مرّر بطاقات المتطابقات أدناه — المجمَّعة حسب النوع — لتجد الصيغة التي تحتاجها وانسخها إلى عملك.
كيف ترتبط المتطابقات بدائرة الوحدة
على دائرة وحدة نصف قطرها 1، تكون إحداثيات نقطة عند الزاوية θ المقيسة عكس عقارب الساعة من المحور x الموجب هي (cos θ, sin θ). تشرح هذه الصورة الواحدة معظم المتطابقات: • لأن النقطة تقع على دائرة نصف قطرها 1، فإن x² + y² = 1 يعطي المتطابقة الفيثاغورية الأساسية sin²θ + cos²θ = 1؛ وقسمتها على cos²θ أو sin²θ تنتج 1 + tan²θ = sec²θ و 1 + cot²θ = csc²θ. • tan θ = sin θ / cos θ هو ميل نصف القطر، ولهذا ينمو بلا حد عندما يقترب cos θ من 0 قرب 90° و 270° (يُعرض كـ "غير معرّف"). • انعكاس النقطة عبر المحور x يحوّل θ إلى −θ ويقلب إشارة y دون x، فينتج متطابقتا الزوجية-الفردية sin(−θ) = −sin θ و cos(−θ) = cos θ. • تبديل x و y (انعكاس عبر الخط y = x) يربط θ بـ 90° − θ، وهذه علاقة الدوال المتكاملة sin(90° − θ) = cos θ. ثم تُشتق صيغ المجموع والفرق وضعف الزاوية ونصف الزاوية وتحويل الضرب إلى مجموع جبرياً من هذه، ويوسّع قانونا الجيب وجيب التمام نفس علم المثلثات إلى المثلثات غير القائمة الزاوية.
الأسئلة الشائعة
ما هي المتطابقات المثلثية الأساسية؟
أكثرها أساسيةً هي المتطابقات الفيثاغورية — sin²θ + cos²θ = 1 و 1 + tan²θ = sec²θ و 1 + cot²θ = csc²θ — إلى جانب متطابقات المقلوب (csc θ = 1/sin θ، sec θ = 1/cos θ، cot θ = 1/tan θ) ومتطابقات القسمة (tan θ = sin θ/cos θ، cot θ = cos θ/sin θ). يمكن اشتقاق كل متطابقة أخرى تقريباً من هذه، ولذلك تُحفظ عادةً أولاً.
ما هي المتطابقة الفيثاغورية؟
المتطابقة الفيثاغورية هي sin²θ + cos²θ = 1، وتصحّ لكل زاوية θ. تأتي مباشرةً من دائرة الوحدة: نقطة عند الزاوية θ لها إحداثيات (cos θ, sin θ)، ولأن نصف قطر الدائرة 1، تعطي نظرية فيثاغورس cos²θ + sin²θ = 1. قسمة الطرفين على cos²θ تعطي 1 + tan²θ = sec²θ، والقسمة على sin²θ تعطي 1 + cot²θ = csc²θ.
ما هي صيغ ضعف الزاوية؟
تعبّر صيغ ضعف الزاوية عن الدوال المثلثية لـ 2θ بدلالة θ: sin 2θ = 2·sin θ·cos θ؛ cos 2θ = cos²θ − sin²θ، ويمكن كتابتها أيضاً 1 − 2sin²θ أو 2cos²θ − 1؛ و tan 2θ = 2tan θ / (1 − tan²θ). وهي حالات خاصة من صيغ المجموع عند α = β = θ، وتُستخدم باستمرار في تبسيط التعابير وحل المعادلات المثلثية.
متى أستخدم قانون الجيب مقابل قانون جيب التمام؟
استخدم قانون الجيب، a/sin A = b/sin B = c/sin C، عندما تعرف زاويتين وضلعاً، أو ضلعين وزاوية غير محصورة. استخدم قانون جيب التمام، c² = a² + b² − 2ab·cos C، عندما تعرف ضلعين والزاوية بينهما (لإيجاد الضلع الثالث) أو الأضلاع الثلاثة (لإيجاد زاوية). كلاهما يتيح حل المثلثات غير القائمة الزاوية، حيث لا تكفي نسب sin/cos/tan الأساسية وحدها.
أدوات ذات صلة
واصل استكشاف حساب المثلثات على UnitConv: اسحب دائرة الوحدة التفاعلية الكاملة لرؤية الدوال المثلثية الست بقيم مضبوطة، وارسم موجات الجيب وجيب التمام بآلة الرسم البياني، ونظّم الأعداد الكبيرة أو الصغيرة بمحوّل الترميز العلمي.