المتطابقات المثلثية
كل متطابقة مثلثية معيارية في مرجع واحد منظَّم — مع دائرة وحدة تفاعلية تعرض sin θ و cos θ و tan θ مباشرةً أثناء سحب الزاوية، حتى تصبح الصيغ مفهومة فعلاً.
اسحب شريط التمرير لتغيير الزاوية وشاهد sin و cos و tan تتحدث في الوقت الفعلي على دائرة الوحدة.
What are the trigonometric identities?
This page carries the 28 standard identities in 10 groups: three Pythagorean, three reciprocal, two quotient, three even-odd, three cofunction, three sum-and-difference, three double-angle, three half-angle, three product-to-sum, and the two triangle laws (sines and cosines).
If you memorise only two, memorise sin²θ + cos²θ = 1 and sin(α ± β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ. Together with the definitions of tan, sec, csc and cot, every other identity on this page follows from those two — each group below says in one line how.
جميع المتطابقات المثلثية
الفيثاغورية
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
Why it holds — The point (cosθ, sinθ) sits on the unit circle, so x² + y² = 1 is Pythagoras' theorem. Divide that by cos²θ or by sin²θ to get the other two.
المقلوبة
- cscθ = 1 / sinθ
- secθ = 1 / cosθ
- cotθ = 1 / tanθ
Why it holds — These are definitions rather than theorems: cosecant, secant and cotangent are named for being the reciprocals of sine, cosine and tangent.
القسمة
- tanθ = sinθ / cosθ
- cotθ = cosθ / sinθ
Why it holds — On the unit circle tanθ is the slope of the radius, rise over run — that is y/x, which is sinθ over cosθ.
الزوجية والفردية
- sin(−θ) = −sinθ
- cos(−θ) = cosθ
- tan(−θ) = −tanθ
Why it holds — Reflecting the unit circle in the x-axis keeps x and flips the sign of y, so cosine is even and sine is odd; tangent, being their quotient, is odd.
الدوال المتكاملة
- sin(90° − θ) = cosθ
- cos(90° − θ) = sinθ
- tan(90° − θ) = cotθ
Why it holds — The two acute angles of a right triangle add up to 90°, so the opposite side for one is the adjacent side for the other — which is exactly what "co-" means.
المجموع والفرق
- sin(α ± β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ
- cos(α ± β) = cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ
- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα·tanβ)
Why it holds — Compose two rotations: turning by α and then by β must equal turning by α + β. Writing that out in coordinates gives the addition formulas, and every group below this one comes from them.
ضعف الزاوية
- sin2θ = 2·sinθ·cosθ
- cos2θ = cos²θ − sin²θ = 1 − 2sin²θ = 2cos²θ − 1
- tan2θ = 2tanθ / (1 − tan²θ)
Why it holds — Put β = α in the sum formulas; the three forms of cos 2θ then differ only by substituting sin²θ + cos²θ = 1.
نصف الزاوية
- sin(θ/2) = ±√((1 − cosθ) / 2)
- cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)
- tan(θ/2) = (1 − cosθ) / sinθ
Why it holds — Solve the cos 2θ forms for sin²θ and cos²θ, then take the square root. The ± is not ambiguity — the sign is fixed by which quadrant θ/2 lands in.
تحويل الضرب إلى مجموع
- sinα·cosβ = ½[sin(α + β) + sin(α − β)]
- cosα·cosβ = ½[cos(α − β) + cos(α + β)]
- sinα·sinβ = ½[cos(α − β) − cos(α + β)]
Why it holds — Add the sum and difference formulas and the cross terms cancel; subtract them and the other pair cancels. Reading the results backwards gives the sum-to-product forms.
قانون الجيب وقانون جيب التمام
- a / sinA = b / sinB = c / sinC
- c² = a² + b² − 2ab·cosC
Why it holds — Drop an altitude in a general triangle: writing its length two ways gives the law of sines, and applying Pythagoras to the two pieces gives the law of cosines — which collapses to a² + b² = c² when the angle is 90°.
المصادر
- List of trigonometric identities — Wikipedia
- Trigonometric Addition Formulas — Wolfram MathWorld
حول مرجع المتطابقات المثلثية
المتطابقات المثلثية هي معادلات تصحّ لكل قيمة من قيم الزاوية، وهي العمود الفقري لحساب المثلثات وما قبل التفاضل والتفاضل والتكامل. يجمع هذا المرجع كل ما يحتاجه الطلاب فعلاً، مرتَّباً بالطريقة التي يقدّمها بها المعلمون: المتطابقات الفيثاغورية (sin²θ + cos²θ = 1 وشقيقتاها)، ومتطابقات المقلوب والقسمة التي تعرّف csc و sec و cot و tan، ومتطابقات الزوجية-الفردية التي تصف التماثل، ومتطابقات الدوال المتكاملة التي تربط الجيب بجيب التمام، وصيغ مجموع الزوايا وفرقها، وصيغ ضعف الزاوية ونصف الزاوية، وصيغ تحويل الضرب إلى مجموع، وقانون الجيب وقانون جيب التمام لحل أي مثلث. ما يميّز هذه الصفحة عن جدول مسطّح هو دائرة الوحدة التفاعلية في الأعلى: اسحب الزاوية وشاهد النقطة تتحرك بينما تتحدث sin θ و cos θ و tan θ مباشرةً، فترى مثلاً لماذا يقتصر sin و cos على 1 ولماذا ينطلق tan نحو اللانهاية قرب 90°. كل صيغة مكتوبة بترميز يونيكود واضح — بلا صور، فتُنسخ بنظافة ويسهل على التقنيات المساعدة والذكاء الاصطناعي قراءتها. استخدمها كورقة مراجعة للواجبات، أو قائمة مراجعة للامتحان، أو بحثاً سريعاً عند تبسيط تعبير أو إثبات متطابقة.
كيفية استخدام هذا المرجع
- 1 اسحب شريط الزاوية (أو فعّل الالتقاط للزوايا الخاصة) وشاهد النقطة تتحرك على دائرة الوحدة.
- 2 اقرأ قيم sin θ و cos θ و tan θ المباشرة لتكوين حدس عن سلوك الدوال حول الدائرة.
- 3 مرّر بطاقات المتطابقات أدناه — المجمَّعة حسب النوع — لتجد الصيغة التي تحتاجها وانسخها إلى عملك.
كيف ترتبط المتطابقات بدائرة الوحدة
على دائرة وحدة نصف قطرها 1، تكون إحداثيات نقطة عند الزاوية θ المقيسة عكس عقارب الساعة من المحور x الموجب هي (cos θ, sin θ). تشرح هذه الصورة الواحدة معظم المتطابقات: • لأن النقطة تقع على دائرة نصف قطرها 1، فإن x² + y² = 1 يعطي المتطابقة الفيثاغورية الأساسية sin²θ + cos²θ = 1؛ وقسمتها على cos²θ أو sin²θ تنتج 1 + tan²θ = sec²θ و 1 + cot²θ = csc²θ. • tan θ = sin θ / cos θ هو ميل نصف القطر، ولهذا ينمو بلا حد عندما يقترب cos θ من 0 قرب 90° و 270° (يُعرض كـ "غير معرّف"). • انعكاس النقطة عبر المحور x يحوّل θ إلى −θ ويقلب إشارة y دون x، فينتج متطابقتا الزوجية-الفردية sin(−θ) = −sin θ و cos(−θ) = cos θ. • تبديل x و y (انعكاس عبر الخط y = x) يربط θ بـ 90° − θ، وهذه علاقة الدوال المتكاملة sin(90° − θ) = cos θ. ثم تُشتق صيغ المجموع والفرق وضعف الزاوية ونصف الزاوية وتحويل الضرب إلى مجموع جبرياً من هذه، ويوسّع قانونا الجيب وجيب التمام نفس علم المثلثات إلى المثلثات غير القائمة الزاوية.
الأسئلة الشائعة
ما هي المتطابقات المثلثية الأساسية؟
أكثرها أساسيةً هي المتطابقات الفيثاغورية — sin²θ + cos²θ = 1 و 1 + tan²θ = sec²θ و 1 + cot²θ = csc²θ — إلى جانب متطابقات المقلوب (csc θ = 1/sin θ، sec θ = 1/cos θ، cot θ = 1/tan θ) ومتطابقات القسمة (tan θ = sin θ/cos θ، cot θ = cos θ/sin θ). يمكن اشتقاق كل متطابقة أخرى تقريباً من هذه، ولذلك تُحفظ عادةً أولاً.
ما هي المتطابقة الفيثاغورية؟
المتطابقة الفيثاغورية هي sin²θ + cos²θ = 1، وتصحّ لكل زاوية θ. تأتي مباشرةً من دائرة الوحدة: نقطة عند الزاوية θ لها إحداثيات (cos θ, sin θ)، ولأن نصف قطر الدائرة 1، تعطي نظرية فيثاغورس cos²θ + sin²θ = 1. قسمة الطرفين على cos²θ تعطي 1 + tan²θ = sec²θ، والقسمة على sin²θ تعطي 1 + cot²θ = csc²θ.
ما هي صيغ ضعف الزاوية؟
تعبّر صيغ ضعف الزاوية عن الدوال المثلثية لـ 2θ بدلالة θ: sin 2θ = 2·sin θ·cos θ؛ cos 2θ = cos²θ − sin²θ، ويمكن كتابتها أيضاً 1 − 2sin²θ أو 2cos²θ − 1؛ و tan 2θ = 2tan θ / (1 − tan²θ). وهي حالات خاصة من صيغ المجموع عند α = β = θ، وتُستخدم باستمرار في تبسيط التعابير وحل المعادلات المثلثية.
متى أستخدم قانون الجيب مقابل قانون جيب التمام؟
استخدم قانون الجيب، a/sin A = b/sin B = c/sin C، عندما تعرف زاويتين وضلعاً، أو ضلعين وزاوية غير محصورة. استخدم قانون جيب التمام، c² = a² + b² − 2ab·cos C، عندما تعرف ضلعين والزاوية بينهما (لإيجاد الضلع الثالث) أو الأضلاع الثلاثة (لإيجاد زاوية). كلاهما يتيح حل المثلثات غير القائمة الزاوية، حيث لا تكفي نسب sin/cos/tan الأساسية وحدها.
أدوات ذات صلة
واصل استكشاف حساب المثلثات على UnitConv: اسحب دائرة الوحدة التفاعلية الكاملة لرؤية الدوال المثلثية الست بقيم مضبوطة، وارسم موجات الجيب وجيب التمام بآلة الرسم البياني، ونظّم الأعداد الكبيرة أو الصغيرة بمحوّل الترميز العلمي.