삼각함수 항등식
모든 표준 삼각함수 항등식을 하나의 정리된 참고자료로 — 그리고 각을 드래그하면 sin θ, cos θ, tan θ를 실시간으로 보여주는 인터랙티브 단위원으로 공식이 실제로 이해됩니다.
슬라이더를 드래그해 각을 바꾸고 단위원 위에서 sin, cos, tan이 실시간으로 갱신되는 것을 확인하세요.
모든 삼각함수 항등식
피타고라스
- sin²θ + cos²θ=1
- 1 + tan²θ=sec²θ
- 1 + cot²θ=csc²θ
역수
- cscθ=1 / sinθ
- secθ=1 / cosθ
- cotθ=1 / tanθ
몫
- tanθ=sinθ / cosθ
- cotθ=cosθ / sinθ
우함수-기함수
- sin(−θ)=−sinθ
- cos(−θ)=cosθ
- tan(−θ)=−tanθ
여함수
- sin(90° − θ)=cosθ
- cos(90° − θ)=sinθ
- tan(90° − θ)=cotθ
합과 차
- sin(α ± β)=sinα·cosβ ± cosα·sinβ
- cos(α ± β)=cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ
- tan(α ± β)=(tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα·tanβ)
배각
- sin2θ=2·sinθ·cosθ
- cos2θ=cos²θ − sin²θ = 1 − 2sin²θ = 2cos²θ − 1
- tan2θ=2tanθ / (1 − tan²θ)
반각
- sin(θ/2)=±√((1 − cosθ) / 2)
- cos(θ/2)=±√((1 + cosθ) / 2)
- tan(θ/2)=(1 − cosθ) / sinθ
곱을 합으로
- sinα·cosβ=½[sin(α + β) + sin(α − β)]
- cosα·cosβ=½[cos(α − β) + cos(α + β)]
- sinα·sinβ=½[cos(α − β) − cos(α + β)]
사인 법칙과 코사인 법칙
- a / sinA = b / sinB=c / sinC
- c²=a² + b² − 2ab·cosC
모든 삼각함수 항등식
피타고라스
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
역수
- cscθ = 1 / sinθ
- secθ = 1 / cosθ
- cotθ = 1 / tanθ
몫
- tanθ = sinθ / cosθ
- cotθ = cosθ / sinθ
우함수-기함수
- sin(−θ) = −sinθ
- cos(−θ) = cosθ
- tan(−θ) = −tanθ
여함수
- sin(90° − θ) = cosθ
- cos(90° − θ) = sinθ
- tan(90° − θ) = cotθ
합과 차
- sin(α ± β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ
- cos(α ± β) = cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ
- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα·tanβ)
배각
- sin2θ = 2·sinθ·cosθ
- cos2θ = cos²θ − sin²θ = 1 − 2sin²θ = 2cos²θ − 1
- tan2θ = 2tanθ / (1 − tan²θ)
반각
- sin(θ/2) = ±√((1 − cosθ) / 2)
- cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)
- tan(θ/2) = (1 − cosθ) / sinθ
곱을 합으로
- sinα·cosβ = ½[sin(α + β) + sin(α − β)]
- cosα·cosβ = ½[cos(α − β) + cos(α + β)]
- sinα·sinβ = ½[cos(α − β) − cos(α + β)]
사인 법칙과 코사인 법칙
- a / sinA = b / sinB = c / sinC
- c² = a² + b² − 2ab·cosC
삼각함수 항등식 참고자료 소개
삼각함수 항등식은 각의 모든 값에 대해 성립하는 등식으로, 삼각법, 미적분 준비 과정, 미적분의 근간입니다. 이 참고자료는 학생들이 실제로 필요로 하는 모든 항등식을 교사가 소개하는 방식대로 묶어 모았습니다: 피타고라스 항등식(sin²θ + cos²θ = 1과 그 두 형제), csc, sec, cot, tan을 정의하는 역수 및 몫 항등식, 대칭을 설명하는 우함수-기함수 항등식, 사인을 코사인과 연결하는 여함수 항등식, 합과 차 공식, 배각 및 반각 공식, 곱을 합으로 바꾸는 공식, 그리고 임의의 삼각형을 푸는 사인 법칙과 코사인 법칙. 이 페이지가 단순한 표와 다른 점은 상단의 인터랙티브 단위원입니다: 각을 드래그하면 점이 움직이고 sin θ, cos θ, tan θ가 실시간으로 갱신되어, 예를 들어 sin과 cos가 1로 제한되는 이유와 tan이 90° 근처에서 무한대로 치솟는 이유를 볼 수 있습니다. 모든 공식은 깔끔한 유니코드 표기로 작성되어 — 이미지가 없으므로 깔끔하게 복사되고 보조 기술과 AI가 읽기 쉽습니다. 숙제 치트 시트, 시험 복습 목록, 또는 식을 간단히 하거나 항등식을 증명할 때 빠른 검색으로 활용하세요.
이 참고자료 사용법
- 1 각 슬라이더를 드래그하거나 특수각 맞추기를 켜고 단위원 위에서 점이 움직이는 것을 보세요.
- 2 실시간 sin θ, cos θ, tan θ 값을 읽어 함수가 원 둘레에서 어떻게 변하는지 직관을 키우세요.
- 3 아래의 유형별로 묶인 항등식 카드를 스크롤해 필요한 공식을 찾아 작업에 복사하세요.
항등식이 단위원과 어떻게 연결되는가
반지름 1인 단위원에서 양의 x축으로부터 반시계 방향으로 측정한 각 θ의 점은 좌표 (cos θ, sin θ)를 가집니다. 이 한 장의 그림이 대부분의 항등식을 설명합니다: • 점이 반지름 1인 원 위에 있으므로 x² + y² = 1은 기본 피타고라스 항등식 sin²θ + cos²θ = 1을 줍니다; 이를 cos²θ 또는 sin²θ로 나누면 1 + tan²θ = sec²θ와 1 + cot²θ = csc²θ가 됩니다. • tan θ = sin θ / cos θ는 반지름의 기울기이므로, cos θ가 90°와 270° 근처에서 0에 가까워질 때 한없이 커집니다("정의되지 않음"으로 표시). • 점을 x축에 대해 반사하면 θ가 −θ가 되고 y의 부호는 바뀌지만 x는 그대로여서, 우함수-기함수 항등식 sin(−θ) = −sin θ와 cos(−θ) = cos θ가 됩니다. • x와 y를 바꾸는 것(직선 y = x에 대한 반사)은 θ를 90° − θ로 보내며, 이것이 여함수 관계 sin(90° − θ) = cos θ입니다. 그런 다음 합, 차, 배각, 반각, 곱을 합으로 바꾸는 공식이 이로부터 대수적으로 유도되며, 사인 법칙과 코사인 법칙은 같은 삼각법을 직각이 아닌 삼각형으로 확장합니다.
자주 묻는 질문
기본 삼각함수 항등식은 무엇인가요?
가장 기본적인 것은 피타고라스 항등식 — sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ, 1 + cot²θ = csc²θ — 과 역수 항등식(csc θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ), 몫 항등식(tan θ = sin θ/cos θ, cot θ = cos θ/sin θ)입니다. 거의 모든 다른 항등식이 이로부터 유도될 수 있어 보통 가장 먼저 외웁니다.
피타고라스 항등식이란 무엇인가요?
피타고라스 항등식은 sin²θ + cos²θ = 1로, 모든 각 θ에 대해 성립합니다. 단위원에서 바로 나옵니다: 각 θ의 점은 좌표 (cos θ, sin θ)를 가지며, 원의 반지름이 1이므로 피타고라스 정리가 cos²θ + sin²θ = 1을 줍니다. 양변을 cos²θ로 나누면 1 + tan²θ = sec²θ, sin²θ로 나누면 1 + cot²θ = csc²θ가 됩니다.
배각 공식은 무엇인가요?
배각 공식은 2θ의 삼각함수를 θ로 나타냅니다: sin 2θ = 2·sin θ·cos θ; cos 2θ = cos²θ − sin²θ, 이는 1 − 2sin²θ 또는 2cos²θ − 1로도 쓸 수 있습니다; 그리고 tan 2θ = 2tan θ / (1 − tan²θ). 이들은 α = β = θ인 합 공식의 특수한 경우로, 식을 간단히 하고 삼각방정식을 풀 때 끊임없이 사용됩니다.
사인 법칙과 코사인 법칙은 언제 쓰나요?
두 각과 한 변, 또는 두 변과 끼인각이 아닌 각을 알 때는 사인 법칙 a/sin A = b/sin B = c/sin C를 사용하세요. 두 변과 그 사이의 끼인각을 알 때(세 번째 변을 구하려고) 또는 세 변을 모두 알 때(한 각을 구하려고)는 코사인 법칙 c² = a² + b² − 2ab·cos C를 사용하세요. 둘 다 기본 sin/cos/tan 비만으로는 부족한, 직각이 아닌 삼각형을 풀 수 있게 해줍니다.
관련 도구
UnitConv에서 삼각법을 계속 탐구하세요: 완전한 인터랙티브 단위원을 드래그해 여섯 삼각함수를 정확한 값과 함께 보고, 그래프 계산기로 사인과 코사인 파동을 그리고, 과학적 표기법 변환기로 크거나 작은 수를 정리하세요.