Identidades trigonométricas
Todas as identidades trigonométricas padrão em uma referência organizada — além de um círculo unitário interativo que mostra sin θ, cos θ e tan θ ao vivo enquanto você arrasta o ângulo, para que as fórmulas façam sentido de verdade.
Arraste o controle deslizante para mudar o ângulo e observe sin, cos e tan se atualizarem em tempo real no círculo unitário.
Todas as identidades trigonométricas
Pitagóricas
- sin²θ + cos²θ=1
- 1 + tan²θ=sec²θ
- 1 + cot²θ=csc²θ
Recíprocas
- cscθ=1 / sinθ
- secθ=1 / cosθ
- cotθ=1 / tanθ
De quociente
- tanθ=sinθ / cosθ
- cotθ=cosθ / sinθ
Par-ímpar
- sin(−θ)=−sinθ
- cos(−θ)=cosθ
- tan(−θ)=−tanθ
De cofunção
- sin(90° − θ)=cosθ
- cos(90° − θ)=sinθ
- tan(90° − θ)=cotθ
Soma e diferença
- sin(α ± β)=sinα·cosβ ± cosα·sinβ
- cos(α ± β)=cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ
- tan(α ± β)=(tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα·tanβ)
Arco duplo
- sin2θ=2·sinθ·cosθ
- cos2θ=cos²θ − sin²θ = 1 − 2sin²θ = 2cos²θ − 1
- tan2θ=2tanθ / (1 − tan²θ)
Arco metade
- sin(θ/2)=±√((1 − cosθ) / 2)
- cos(θ/2)=±√((1 + cosθ) / 2)
- tan(θ/2)=(1 − cosθ) / sinθ
Produto em soma
- sinα·cosβ=½[sin(α + β) + sin(α − β)]
- cosα·cosβ=½[cos(α − β) + cos(α + β)]
- sinα·sinβ=½[cos(α − β) − cos(α + β)]
Leis dos senos e dos cossenos
- a / sinA = b / sinB=c / sinC
- c²=a² + b² − 2ab·cosC
Todas as identidades trigonométricas
Pitagóricas
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
Recíprocas
- cscθ = 1 / sinθ
- secθ = 1 / cosθ
- cotθ = 1 / tanθ
De quociente
- tanθ = sinθ / cosθ
- cotθ = cosθ / sinθ
Par-ímpar
- sin(−θ) = −sinθ
- cos(−θ) = cosθ
- tan(−θ) = −tanθ
De cofunção
- sin(90° − θ) = cosθ
- cos(90° − θ) = sinθ
- tan(90° − θ) = cotθ
Soma e diferença
- sin(α ± β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ
- cos(α ± β) = cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ
- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα·tanβ)
Arco duplo
- sin2θ = 2·sinθ·cosθ
- cos2θ = cos²θ − sin²θ = 1 − 2sin²θ = 2cos²θ − 1
- tan2θ = 2tanθ / (1 − tan²θ)
Arco metade
- sin(θ/2) = ±√((1 − cosθ) / 2)
- cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)
- tan(θ/2) = (1 − cosθ) / sinθ
Produto em soma
- sinα·cosβ = ½[sin(α + β) + sin(α − β)]
- cosα·cosβ = ½[cos(α − β) + cos(α + β)]
- sinα·sinβ = ½[cos(α − β) − cos(α + β)]
Leis dos senos e dos cossenos
- a / sinA = b / sinB = c / sinC
- c² = a² + b² − 2ab·cosC
Sobre a referência de Identidades Trigonométricas
Identidades trigonométricas são equações verdadeiras para todo valor do ângulo, e são a espinha dorsal da trigonometria, do pré-cálculo e do cálculo. Esta referência reúne todas as que os estudantes realmente precisam, agrupadas como os professores as apresentam: as identidades pitagóricas (sin²θ + cos²θ = 1 e suas duas irmãs), as identidades recíprocas e de quociente que definem csc, sec, cot e tan, as identidades par-ímpar que descrevem a simetria, as identidades de cofunção que ligam o seno ao cosseno, as fórmulas de soma e diferença, as fórmulas do arco duplo e do arco metade, as fórmulas de produto em soma, e a lei dos senos e a lei dos cossenos para resolver qualquer triângulo. O que distingue esta página de uma tabela plana é o círculo unitário interativo no topo: arraste o ângulo e veja o ponto se mover enquanto sin θ, cos θ e tan θ se atualizam ao vivo, para que você possa ver, por exemplo, por que sin e cos são limitados por 1 e por que tan dispara ao infinito perto de 90°. Cada fórmula está escrita em notação Unicode clara — sem imagens, então copia de forma limpa e é fácil de ler para tecnologias assistivas e para a IA. Use-a como cola de dever de casa, lista de revisão para provas, ou consulta rápida quando estiver simplificando uma expressão ou provando uma identidade.
Como usar esta referência
- 1 Arraste o controle deslizante do ângulo (ou ative o ajuste a ângulos especiais) e veja o ponto se mover no círculo unitário.
- 2 Leia os valores ao vivo de sin θ, cos θ e tan θ para desenvolver intuição sobre como as funções se comportam ao redor do círculo.
- 3 Role os cartões de identidades abaixo — agrupados por tipo — para encontrar a fórmula de que precisa e copiá-la para o seu trabalho.
Como as identidades se relacionam com o círculo unitário
Em um círculo unitário de raio 1, um ponto no ângulo θ medido no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo tem coordenadas (cos θ, sin θ). Essa única imagem explica a maioria das identidades: • Como o ponto está em um círculo de raio 1, x² + y² = 1 dá a identidade pitagórica fundamental sin²θ + cos²θ = 1; dividindo-a por cos²θ ou sin²θ obtém-se 1 + tan²θ = sec²θ e 1 + cot²θ = csc²θ. • tan θ = sin θ / cos θ é a inclinação do raio, por isso cresce sem limite quando cos θ se aproxima de 0 perto de 90° e 270° (mostrado como "indefinido"). • Refletir o ponto pelo eixo x leva θ a −θ e inverte o sinal de y mas não o de x, dando as identidades par-ímpar sin(−θ) = −sin θ e cos(−θ) = cos θ. • Trocar x e y (uma reflexão pela reta y = x) mapeia θ para 90° − θ, que é a relação de cofunção sin(90° − θ) = cos θ. As fórmulas de soma, diferença, arco duplo, arco metade e produto em soma são então deduzidas algebricamente destas, e as leis dos senos e dos cossenos estendem a mesma trigonometria a triângulos que não são retângulos.
Perguntas frequentes
Quais são as identidades trigonométricas básicas?
As mais fundamentais são as identidades pitagóricas — sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ e 1 + cot²θ = csc²θ — junto com as identidades recíprocas (csc θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ) e as identidades de quociente (tan θ = sin θ/cos θ, cot θ = cos θ/sin θ). Quase todas as outras identidades podem ser deduzidas destas, por isso costumam ser as primeiras a serem memorizadas.
O que é a identidade pitagórica?
A identidade pitagórica é sin²θ + cos²θ = 1, verdadeira para todo ângulo θ. Vem direto do círculo unitário: um ponto no ângulo θ tem coordenadas (cos θ, sin θ), e como o círculo tem raio 1, o teorema de Pitágoras dá cos²θ + sin²θ = 1. Dividindo ambos os lados por cos²θ obtém-se 1 + tan²θ = sec²θ, e dividindo por sin²θ obtém-se 1 + cot²θ = csc²θ.
Quais são as fórmulas do arco duplo?
As fórmulas do arco duplo expressam as funções trigonométricas de 2θ em termos de θ: sin 2θ = 2·sin θ·cos θ; cos 2θ = cos²θ − sin²θ, que também pode ser escrita 1 − 2sin²θ ou 2cos²θ − 1; e tan 2θ = 2tan θ / (1 − tan²θ). São casos especiais das fórmulas de soma com α = β = θ, e são usadas constantemente ao simplificar expressões e resolver equações trigonométricas.
Quando uso a lei dos senos versus a lei dos cossenos?
Use a lei dos senos, a/sin A = b/sin B = c/sin C, quando conhece dois ângulos e um lado, ou dois lados e um ângulo não compreendido. Use a lei dos cossenos, c² = a² + b² − 2ab·cos C, quando conhece dois lados e o ângulo entre eles (para achar o terceiro lado) ou os três lados (para achar um ângulo). Ambas permitem resolver triângulos que não são retângulos, onde as razões básicas sin/cos/tan sozinhas não bastam.
Ferramentas relacionadas
Continue explorando a trigonometria no UnitConv: arraste o círculo unitário interativo completo para ver as seis funções trigonométricas com valores exatos, trace ondas de seno e cosseno com a calculadora gráfica, e organize números grandes ou pequenos com o conversor de notação científica.