Calculadora do círculo unitário
Arraste o ponto ao redor do círculo e veja o ângulo, as seis funções trigonométricas e as ondas de seno e cosseno se atualizarem ao vivo — com valores exatos em cada ângulo notável.
Arraste o ponto ao redor do círculo, use o controle deslizante ou escolha um ângulo comum.
- Radianos
- π/4 0.7854 rad
- Grados
- 50 gon
- Quadrante
- Quadrante I
Funções trigonométricas
| Exato | Decimal | |
|---|---|---|
| sin | √2/2 | 0.7071 |
| cos | √2/2 | 0.7071 |
| tan | 1 | 1 |
| csc | √2 | 1.4142 |
| sec | √2 | 1.4142 |
| cot | 1 | 1 |
O ponto sobre o círculo é (cos θ, sin θ): cos θ é a sua posição horizontal e sin θ é a sua altura.
Ângulos comuns
Ondas de seno e cosseno
A altura do ponto é sin θ; a sua posição horizontal é cos θ. À medida que θ vai de 0° a 360°, a altura traça a onda do seno e a posição horizontal traça a onda do cosseno.
Sobre a calculadora do círculo unitário
O círculo unitário é o círculo de raio 1 centrado na origem, e é a imagem mais útil de toda a trigonometria. Qualquer ponto sobre ele pode ser escrito como (cos θ, sin θ), em que θ é o ângulo medido no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo. É por isso que o cosseno é simplesmente a posição horizontal do ponto e o seno é a sua altura — sem nada para memorizar. Esta ferramenta interativa permite arrastar o ponto (ou usar o controle deslizante e os botões de ângulos predefinidos) e ler instantaneamente o ângulo em graus, radianos e grados, ver em que quadrante você está e obter as seis funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente e as suas recíprocas cossecante, secante e cotangente. Nos ângulos notáveis (0°, 30°, 45°, 60°, 90° e seus reflexos) você também obtém os valores exatos como √3/2 e √2/2, e não apenas os decimais. Um triângulo retângulo de referência e uma faixa ao vivo da onda de seno/cosseno conectam a imagem às fórmulas. Tudo funciona no seu navegador com trigonometria exata, sendo o companheiro visual de qualquer livro de trigonometria.
Como usar o círculo unitário
- 1 Defina o ângulo: arraste o ponto ao redor do círculo, deslize o controle de ângulo ou toque em um botão de ângulo comum (0°, 30°, 45°, 60°, …).
- 2 Ative "Ajustar a 15°" se quiser que o ângulo salte para valores redondos, ou deixe desativado para explorar livremente.
- 3 Leia o ângulo em graus, radianos (com o valor exato como π/3 nos ângulos notáveis) e grados, e verifique em que quadrante o ponto está.
- 4 Leia as seis funções trigonométricas: cada linha mostra o valor exato nos ângulos notáveis (como √3/2 ou indefinido) ao lado da aproximação com 4 casas decimais. Observe as ondas de seno e cosseno acompanharem a altura e a posição horizontal do ponto.
A matemática por trás
Em um círculo de raio 1, um ponto no ângulo θ tem coordenadas (cos θ, sin θ). As outras quatro funções são definidas a partir destas: tan θ = sin θ ⁄ cos θ — a inclinação da reta do raio. csc θ = 1 ⁄ sin θ, sec θ = 1 ⁄ cos θ, cot θ = cos θ ⁄ sin θ — as recíprocas. Os ângulos podem ser medidos em graus, em radianos (em que π rad = 180°, ou seja, um radiano é o ângulo cujo comprimento de arco é igual ao raio) ou em grados (400 gon = uma volta completa). Os valores exatos a 30°, 45° e 60° vêm de dois triângulos retângulos especiais: o triângulo 45-45-90 dá sin 45° = cos 45° = √2⁄2, e o triângulo 30-60-90 dá sin 30° = 1⁄2, sin 60° = √3⁄2. Uma função é indefinida sempre que haveria divisão por zero: tan θ e sec θ são indefinidas quando cos θ = 0 (a 90° e 270°), e csc θ e cot θ são indefinidas quando sin θ = 0 (a 0° e 180°).
Perguntas frequentes
O que é o círculo unitário?
O círculo unitário é o círculo de raio 1 centrado na origem. Um ponto sobre ele no ângulo θ (medido no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo) tem coordenadas (cos θ, sin θ). Isso torna o círculo unitário a maneira mais simples de definir e visualizar as funções trigonométricas para qualquer ângulo, e não apenas para os ângulos dentro de um triângulo retângulo.
Como graus e radianos se relacionam?
Uma volta completa é 360° ou 2π radianos, então π radianos = 180° e 1 radiano ≈ 57,2958°. Um radiano é o ângulo cujo comprimento de arco é igual ao raio. Para converter, multiplique os graus por π⁄180 para obter radianos, ou multiplique os radianos por 180⁄π para obter graus. Esta ferramenta mostra ambos, além de grados (400 gon = uma volta completa).
Por que tan 90° é indefinida?
A tangente é definida como tan θ = sin θ ⁄ cos θ. A 90° (e 270°) o cosseno é 0, então a fórmula divide por zero e o valor é indefinido — a reta do raio é vertical e não tem inclinação finita. Pela mesma razão a secante (1⁄cos θ) é indefinida ali, enquanto a cossecante e a cotangente são indefinidas a 0° e 180°, onde o seno é 0.
Quais são os valores exatos a 30°, 45° e 60°?
sin 30° = 1⁄2, cos 30° = √3⁄2, tan 30° = √3⁄3. sin 45° = cos 45° = √2⁄2, tan 45° = 1. sin 60° = √3⁄2, cos 60° = 1⁄2, tan 60° = √3. Eles vêm dos triângulos especiais 45-45-90 e 30-60-90, e a ferramenta mostra o valor exato ao lado do decimal em cada ângulo notável.
Ferramentas relacionadas
Continue explorando matemática no UnitConv. Use o resolvedor de triângulos para triângulos retângulos e oblíquos, trace seno e cosseno com o plotador de gráficos/funções, converta entre graus, radianos e grados na categoria de ângulo do conversor de unidades e navegue pela biblioteca de fórmulas para o conjunto completo de identidades trigonométricas e valores de ângulos notáveis.