Calculadora del círculo unitario
Arrastra el punto alrededor del círculo y observa cómo el ángulo, las seis funciones trigonométricas y las ondas de seno y coseno se actualizan en vivo, con valores exactos en cada ángulo notable.
Arrastra el punto alrededor del círculo, usa el deslizador o elige un ángulo común.
- Radianes
- π/4 0.7854 rad
- Gradianes
- 50 gon
- Cuadrante
- Cuadrante I
Funciones trigonométricas
| Exacto | Decimal | |
|---|---|---|
| sin | √2/2 | 0.7071 |
| cos | √2/2 | 0.7071 |
| tan | 1 | 1 |
| csc | √2 | 1.4142 |
| sec | √2 | 1.4142 |
| cot | 1 | 1 |
El punto sobre el círculo es (cos θ, sin θ): cos θ es su posición horizontal y sin θ su altura.
Ángulos comunes
Ondas de seno y coseno
La altura del punto es sin θ; su posición horizontal es cos θ. A medida que θ va de 0° a 360°, la altura traza la onda del seno y la posición horizontal traza la onda del coseno.
Acerca de la calculadora del círculo unitario
El círculo unitario es el círculo de radio 1 centrado en el origen, y es la imagen más útil de toda la trigonometría. Cualquier punto sobre él puede escribirse como (cos θ, sin θ), donde θ es el ángulo medido en sentido antihorario desde el eje x positivo. Por eso el coseno es simplemente la posición horizontal del punto y el seno es su altura, sin necesidad de memorizar nada. Esta herramienta interactiva te permite arrastrar el punto (o usar el deslizador y los botones de ángulos predefinidos) y leer al instante el ángulo en grados, radianes y gradianes, ver en qué cuadrante estás y obtener las seis funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente y sus recíprocas cosecante, secante y cotangente. En los ángulos notables (0°, 30°, 45°, 60°, 90° y sus reflexiones) también obtienes los valores exactos como √3/2 y √2/2, no solo los decimales. Un triángulo rectángulo de referencia y una franja en vivo de la onda de seno/coseno conectan la imagen con las fórmulas. Todo funciona en tu navegador con trigonometría exacta, por lo que es el complemento visual de cualquier libro de trigonometría.
Cómo usar el círculo unitario
- 1 Fija el ángulo: arrastra el punto alrededor del círculo, mueve el deslizador del ángulo o pulsa un botón de ángulo común (0°, 30°, 45°, 60°, …).
- 2 Activa «Ajustar a 15°» si quieres que el ángulo salte a valores limpios, o déjalo desactivado para explorar libremente.
- 3 Lee el ángulo en grados, radianes (con el valor exacto como π/3 en los ángulos notables) y gradianes, y comprueba en qué cuadrante está el punto.
- 4 Lee las seis funciones trigonométricas: cada fila muestra el valor exacto en los ángulos notables (como √3/2 o indefinido) junto a la aproximación con 4 decimales. Observa cómo las ondas de seno y coseno siguen la altura y la posición horizontal del punto.
Las matemáticas detrás
En un círculo de radio 1, un punto en el ángulo θ tiene coordenadas (cos θ, sin θ). Las otras cuatro funciones se definen a partir de estas: tan θ = sin θ ⁄ cos θ — la pendiente de la línea del radio. csc θ = 1 ⁄ sin θ, sec θ = 1 ⁄ cos θ, cot θ = cos θ ⁄ sin θ — las recíprocas. Los ángulos pueden medirse en grados, en radianes (donde π rad = 180°, así que un radián es el ángulo cuya longitud de arco es igual al radio) o en gradianes (400 gon = una vuelta completa). Los valores exactos a 30°, 45° y 60° provienen de dos triángulos rectángulos especiales: el triángulo 45-45-90 da sin 45° = cos 45° = √2⁄2, y el triángulo 30-60-90 da sin 30° = 1⁄2, sin 60° = √3⁄2. Una función es indefinida dondequiera que se divida por cero: tan θ y sec θ son indefinidas cuando cos θ = 0 (a 90° y 270°), y csc θ y cot θ son indefinidas cuando sin θ = 0 (a 0° y 180°).
Preguntas frecuentes
¿Qué es el círculo unitario?
El círculo unitario es el círculo de radio 1 centrado en el origen. Un punto sobre él en el ángulo θ (medido en sentido antihorario desde el eje x positivo) tiene coordenadas (cos θ, sin θ). Esto convierte al círculo unitario en la forma más sencilla de definir y visualizar las funciones trigonométricas para cualquier ángulo, no solo los ángulos dentro de un triángulo rectángulo.
¿Cómo se relacionan los grados y los radianes?
Una vuelta completa es 360° o 2π radianes, así que π radianes = 180° y 1 radián ≈ 57,2958°. Un radián es el ángulo cuya longitud de arco es igual al radio. Para convertir, multiplica los grados por π⁄180 para obtener radianes, o multiplica los radianes por 180⁄π para obtener grados. Esta herramienta muestra ambos, además de gradianes (400 gon = una vuelta completa).
¿Por qué tan 90° es indefinida?
La tangente se define como tan θ = sin θ ⁄ cos θ. A 90° (y 270°) el coseno es 0, así que la fórmula divide por cero y el valor es indefinido: la línea del radio es vertical y no tiene pendiente finita. Por la misma razón la secante (1⁄cos θ) es indefinida ahí, mientras que la cosecante y la cotangente son indefinidas a 0° y 180°, donde el seno es 0.
¿Cuáles son los valores exactos a 30°, 45° y 60°?
sin 30° = 1⁄2, cos 30° = √3⁄2, tan 30° = √3⁄3. sin 45° = cos 45° = √2⁄2, tan 45° = 1. sin 60° = √3⁄2, cos 60° = 1⁄2, tan 60° = √3. Provienen de los triángulos especiales 45-45-90 y 30-60-90, y la herramienta muestra el valor exacto junto al decimal en cada ángulo notable.
Herramientas relacionadas
Sigue explorando matemáticas en UnitConv. Usa el resolutor de triángulos para triángulos rectángulos y oblicuos, representa seno y coseno con el graficador de funciones, convierte entre grados, radianes y gradianes en la categoría de ángulo del conversor de unidades y consulta la biblioteca de fórmulas para ver el conjunto completo de identidades trigonométricas y valores de ángulos notables.