Einheitskreis-Rechner
Ziehen Sie den Punkt um den Kreis und sehen Sie zu, wie sich Winkel, die sechs trigonometrischen Funktionen sowie Sinus- und Kosinuswelle live aktualisieren — mit exakten Werten bei jedem besonderen Winkel.
Ziehen Sie den Punkt um den Kreis, verwenden Sie den Schieberegler oder wählen Sie einen häufigen Winkel.
- Bogenmaß
- π/4 0.7854 rad
- Gon
- 50 gon
- Quadrant
- Quadrant I
Trigonometrische Funktionen
| Exakt | Dezimal | |
|---|---|---|
| sin | √2/2 | 0.7071 |
| cos | √2/2 | 0.7071 |
| tan | 1 | 1 |
| csc | √2 | 1.4142 |
| sec | √2 | 1.4142 |
| cot | 1 | 1 |
Der Punkt auf dem Kreis ist (cos θ, sin θ): cos θ ist seine waagerechte Position und sin θ seine Höhe.
Häufige Winkel
Sinus- und Kosinuswelle
Die Höhe des Punktes ist sin θ; seine waagerechte Position ist cos θ. Während θ von 0° bis 360° läuft, zeichnet die Höhe die Sinuswelle und die waagerechte Position die Kosinuswelle nach.
Über den Einheitskreis-Rechner
Der Einheitskreis ist der Kreis mit Radius 1 um den Ursprung, und er ist das nützlichste Bild in der gesamten Trigonometrie. Jeder Punkt auf ihm lässt sich als (cos θ, sin θ) schreiben, wobei θ der gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse gemessene Winkel ist. Deshalb ist der Kosinus einfach die waagerechte Position des Punktes und der Sinus seine Höhe — ohne Auswendiglernen. Mit diesem interaktiven Werkzeug ziehen Sie den Punkt (oder nutzen den Schieberegler und die Voreinstellungs-Schaltflächen) und lesen sofort den Winkel in Grad, Bogenmaß und Gon ab, sehen, in welchem Quadranten Sie sich befinden, und erhalten alle sechs trigonometrischen Funktionen: Sinus, Kosinus, Tangens und ihre Kehrwerte Kosekans, Sekans und Kotangens. Bei den besonderen Winkeln (0°, 30°, 45°, 60°, 90° und ihren Spiegelungen) erhalten Sie zudem die exakten Werte wie √3/2 und √2/2, nicht nur Dezimalzahlen. Ein rechtwinkliges Bezugsdreieck und ein Live-Streifen mit Sinus-/Kosinuswelle verbinden das Bild mit den Formeln. Alles läuft in Ihrem Browser mit exakter Trigonometrie und ist damit der visuelle Begleiter zu jedem Trigonometrie-Lehrbuch.
So verwenden Sie den Einheitskreis
- 1 Winkel einstellen: Ziehen Sie den Punkt um den Kreis, verschieben Sie den Winkel-Schieberegler oder tippen Sie auf eine Schaltfläche für einen häufigen Winkel (0°, 30°, 45°, 60° …).
- 2 Aktivieren Sie „An 15° einrasten“, wenn der Winkel auf glatte Werte springen soll, oder lassen Sie es aus, um frei zu erkunden.
- 3 Lesen Sie den Winkel in Grad, Bogenmaß (mit dem exakten Wert wie π/3 bei besonderen Winkeln) und Gon ab und prüfen Sie, in welchem Quadranten der Punkt liegt.
- 4 Lesen Sie die sechs trigonometrischen Funktionen: Jede Zeile zeigt den exakten Wert bei besonderen Winkeln (etwa √3/2 oder nicht definiert) neben der auf 4 Dezimalstellen genauen Näherung. Beobachten Sie, wie Sinus- und Kosinuswelle der Höhe und waagerechten Position des Punktes folgen.
Die Mathematik dahinter
Auf einem Kreis mit Radius 1 hat ein Punkt beim Winkel θ die Koordinaten (cos θ, sin θ). Die anderen vier Funktionen werden daraus definiert: tan θ = sin θ ⁄ cos θ — die Steigung der Radiuslinie. csc θ = 1 ⁄ sin θ, sec θ = 1 ⁄ cos θ, cot θ = cos θ ⁄ sin θ — die Kehrwerte. Winkel können in Grad, im Bogenmaß (wobei π rad = 180°, ein Radiant ist also der Winkel, dessen Bogenlänge dem Radius entspricht) oder in Gon (400 gon = eine volle Umdrehung) gemessen werden. Die exakten Werte bei 30°, 45° und 60° stammen aus zwei besonderen rechtwinkligen Dreiecken: das 45-45-90-Dreieck liefert sin 45° = cos 45° = √2⁄2, und das 30-60-90-Dreieck liefert sin 30° = 1⁄2, sin 60° = √3⁄2. Eine Funktion ist überall dort nicht definiert, wo durch null geteilt würde: tan θ und sec θ sind nicht definiert, wenn cos θ = 0 (bei 90° und 270°), und csc θ und cot θ sind nicht definiert, wenn sin θ = 0 (bei 0° und 180°).
Häufig gestellte Fragen
Was ist der Einheitskreis?
Der Einheitskreis ist der Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Ein Punkt auf ihm beim Winkel θ (gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse gemessen) hat die Koordinaten (cos θ, sin θ). Dadurch ist der Einheitskreis die einfachste Möglichkeit, die trigonometrischen Funktionen für jeden Winkel zu definieren und zu veranschaulichen, nicht nur für die Winkel innerhalb eines rechtwinkligen Dreiecks.
Wie hängen Grad und Bogenmaß zusammen?
Eine volle Umdrehung beträgt 360° oder 2π Radiant, also π Radiant = 180° und 1 Radiant ≈ 57,2958°. Ein Radiant ist der Winkel, dessen Bogenlänge dem Radius entspricht. Zum Umrechnen multiplizieren Sie Grad mit π⁄180, um Radiant zu erhalten, oder Radiant mit 180⁄π, um Grad zu erhalten. Dieses Werkzeug zeigt beides sowie Gon (400 gon = eine volle Umdrehung).
Warum ist tan 90° nicht definiert?
Der Tangens ist definiert als tan θ = sin θ ⁄ cos θ. Bei 90° (und 270°) ist der Kosinus 0, also teilt die Formel durch null und der Wert ist nicht definiert — die Radiuslinie ist senkrecht und hat keine endliche Steigung. Aus demselben Grund ist dort der Sekans (1⁄cos θ) nicht definiert, während Kosekans und Kotangens bei 0° und 180° nicht definiert sind, wo der Sinus 0 ist.
Was sind die exakten Werte bei 30°, 45° und 60°?
sin 30° = 1⁄2, cos 30° = √3⁄2, tan 30° = √3⁄3. sin 45° = cos 45° = √2⁄2, tan 45° = 1. sin 60° = √3⁄2, cos 60° = 1⁄2, tan 60° = √3. Diese stammen aus den besonderen Dreiecken 45-45-90 und 30-60-90, und das Werkzeug zeigt bei jedem besonderen Winkel den exakten Wert neben der Dezimalzahl.
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