单位圆计算器
沿圆拖动点，观看角度、六个三角函数以及正弦波和余弦波实时更新——并在每个特殊角处给出精确值。
沿圆拖动点、使用滑块，或选择一个常用角度。
- 弧度
- π/4 0.7854 rad
- 百分度
- 50 gon
- 象限
- 第一象限
三角函数
| 精确值 | 小数 | |
|---|---|---|
| sin | √2/2 | 0.7071 |
| cos | √2/2 | 0.7071 |
| tan | 1 | 1 |
| csc | √2 | 1.4142 |
| sec | √2 | 1.4142 |
| cot | 1 | 1 |
圆上的点为 (cos θ, sin θ)：cos θ 是它的水平位置，sin θ 是它的高度。
常用角度
正弦波与余弦波
点的高度是 sin θ；它的水平位置是 cos θ。当 θ 从 0° 变到 360° 时，高度描出正弦波，水平位置描出余弦波。
关于单位圆计算器
单位圆是以原点为圆心、半径为 1 的圆，它是全部三角函数中最有用的一幅图。圆上任意一点都可以写成 (cos θ, sin θ)，其中 θ 是从正 x 轴逆时针量度的角度。正因如此，余弦就是该点的水平位置，正弦就是它的高度——无需死记硬背。这个交互工具让你拖动点（或使用滑块和预设按钮），即时读出以度、弧度和百分度表示的角度，看出自己处于哪个象限，并得到全部六个三角函数：正弦、余弦、正切，以及它们的倒数余割、正割和余切。在特殊角（0°、30°、45°、60°、90° 及其对称角）处，你不仅得到小数，还能得到诸如 √3/2 和 √2/2 这样的精确值。一个参考直角三角形和一条实时的正弦/余弦波带把图像与公式联系起来。一切都在你的浏览器中以精确三角运算运行，因此它是任何三角函数教科书的可视化好搭档。
如何使用单位圆
- 1 设置角度：沿圆拖动点、滑动角度滑块，或点按一个常用角度按钮（0°、30°、45°、60°……）。
- 2 如果你希望角度跳到整洁的数值，请打开“对齐到 15°”；若想自由探索，则保持关闭。
- 3 读出以度、弧度（在特殊角处带有诸如 π/3 的精确值）和百分度表示的角度，并查看点位于哪个象限。
- 4 读出六个三角函数：每一行都在 4 位小数近似值旁显示特殊角处的精确值（例如 √3/2 或无定义）。观察正弦波和余弦波如何跟随点的高度和水平位置。
背后的数学
在半径为 1 的圆上，角度 θ 处的点坐标为 (cos θ, sin θ)。其余四个函数由这两者定义： tan θ = sin θ ⁄ cos θ ——半径直线的斜率。 csc θ = 1 ⁄ sin θ，sec θ = 1 ⁄ cos θ，cot θ = cos θ ⁄ sin θ ——它们的倒数。 角度可以用度、弧度（其中 π rad = 180°，即弧度是弧长等于半径的角）或百分度（400 gon = 一整圈）来量度。 30°、45° 和 60° 处的精确值来自两个特殊直角三角形：45-45-90 三角形给出 sin 45° = cos 45° = √2⁄2，30-60-90 三角形给出 sin 30° = 1⁄2，sin 60° = √3⁄2。 凡是会出现除以零的地方，函数就无定义：当 cos θ = 0 时（在 90° 和 270°）tan θ 和 sec θ 无定义，当 sin θ = 0 时（在 0° 和 180°）csc θ 和 cot θ 无定义。
常见问题
什么是单位圆？
单位圆是以原点为圆心、半径为 1 的圆。圆上角度 θ（从正 x 轴逆时针量度）处的点坐标为 (cos θ, sin θ)。这使得单位圆成为为任意角度（而不仅仅是直角三角形内部的角度）定义并可视化三角函数的最简便方式。
度和弧度有什么关系？
一整圈是 360° 或 2π 弧度，所以 π 弧度 = 180°，1 弧度 ≈ 57.2958°。弧度是弧长等于半径的角。换算时，把度乘以 π⁄180 即得弧度，或把弧度乘以 180⁄π 即得度。本工具同时显示两者，外加百分度（400 gon = 一整圈）。
为什么 tan 90° 无定义？
正切定义为 tan θ = sin θ ⁄ cos θ。在 90°（以及 270°）处余弦为 0，于是公式除以零，其值无定义——半径直线是竖直的，没有有限的斜率。出于同样的原因，正割（1⁄cos θ）在那里也无定义；而余割和余切在正弦为 0 的 0° 和 180° 处无定义。
30°、45° 和 60° 处的精确值是什么？
sin 30° = 1⁄2，cos 30° = √3⁄2，tan 30° = √3⁄3。sin 45° = cos 45° = √2⁄2，tan 45° = 1。sin 60° = √3⁄2，cos 60° = 1⁄2，tan 60° = √3。它们来自 45-45-90 和 30-60-90 两个特殊三角形，本工具在每个特殊角处都会在小数旁显示精确值。
相关工具
在 UnitConv 上继续探索数学。用三角形求解器处理直角和斜三角形，用图像/函数绘图器绘制正弦和余弦，在单位换算器的角度类别中在度、弧度和百分度之间转换，并浏览公式库以获取全套三角恒等式和特殊角数值。