حاسبة دائرة الوحدة
اسحب النقطة حول الدائرة وراقب الزاوية والدوال المثلثية الست وموجتي الجيب وجيب التمام تتحدّث مباشرة — مع القيم المضبوطة عند كل زاوية خاصة.
اسحب النقطة حول الدائرة، أو استخدم شريط التمرير، أو اختر زاوية شائعة.
- راديان
- π/4 0.7854 rad
- غراد
- 50 gon
- الربع
- الربع الأول
الدوال المثلثية
| مضبوطة | عشرية | |
|---|---|---|
| sin | √2/2 | 0.7071 |
| cos | √2/2 | 0.7071 |
| tan | 1 | 1 |
| csc | √2 | 1.4142 |
| sec | √2 | 1.4142 |
| cot | 1 | 1 |
النقطة على الدائرة هي (cos θ, sin θ): جيب التمام cos θ هو موضعها الأفقي والجيب sin θ هو ارتفاعها.
الزوايا الشائعة
موجتا الجيب وجيب التمام
ارتفاع النقطة هو sin θ؛ وموضعها الأفقي هو cos θ. عندما تتغير θ من 0° إلى 360°، يرسم الارتفاع موجة الجيب ويرسم الموضع الأفقي موجة جيب التمام.
حول حاسبة دائرة الوحدة
دائرة الوحدة هي الدائرة ذات نصف القطر 1 ومركزها نقطة الأصل، وهي أكثر الصور فائدة في حساب المثلثات على الإطلاق. يمكن كتابة أي نقطة عليها بالصيغة (cos θ, sin θ)، حيث θ هي الزاوية المقيسة عكس اتجاه عقارب الساعة من المحور السيني الموجب. لذلك فإن جيب التمام ليس سوى الموضع الأفقي للنقطة والجيب هو ارتفاعها — دون حاجة إلى حفظ. تتيح لك هذه الأداة التفاعلية سحب النقطة (أو استخدام شريط التمرير وأزرار الزوايا الجاهزة) وقراءة الزاوية فورًا بالدرجات والراديان والغراد، ومعرفة الربع الذي توجد فيه، والحصول على جميع الدوال المثلثية الست: الجيب وجيب التمام والظل ومقلوباتها قاطع التمام والقاطع وظل التمام. وعند الزوايا الخاصة (0° و30° و45° و60° و90° وانعكاساتها) تحصل أيضًا على القيم المضبوطة مثل √3/2 و√2/2، وليس فقط القيم العشرية. ويربط مثلث قائم مرجعي وشريط موجة جيب/جيب التمام مباشر بين الصورة والصيغ. كل شيء يعمل في متصفحك بحساب مثلثات مضبوط، فهي الرفيق البصري لأي كتاب في حساب المثلثات.
كيفية استخدام دائرة الوحدة
- 1 اضبط الزاوية: اسحب النقطة حول الدائرة، أو حرّك شريط الزاوية، أو اضغط على زر زاوية شائعة (0° و30° و45° و60° …).
- 2 فعّل "الالتقاط عند 15°" إذا أردت أن تقفز الزاوية إلى قيم نظيفة، أو اتركه مطفأً لاستكشاف حرّ.
- 3 اقرأ الزاوية بالدرجات وبالراديان (مع القيمة المضبوطة مثل π/3 عند الزوايا الخاصة) وبالغراد، وتحقق من الربع الذي توجد فيه النقطة.
- 4 اقرأ الدوال المثلثية الست: يعرض كل صف القيمة المضبوطة عند الزوايا الخاصة (مثل √3/2 أو غير معرّفة) إلى جانب التقريب بأربعة أرقام عشرية. راقب موجتي الجيب وجيب التمام تتبعان ارتفاع النقطة وموضعها الأفقي.
الرياضيات وراء الأداة
على دائرة نصف قطرها 1، تكون إحداثيات نقطة عند الزاوية θ هي (cos θ, sin θ). وتُعرَّف الدوال الأربع الأخرى من هاتين: tan θ = sin θ ⁄ cos θ — ميل خط نصف القطر. csc θ = 1 ⁄ sin θ، sec θ = 1 ⁄ cos θ، cot θ = cos θ ⁄ sin θ — المقلوبات. يمكن قياس الزوايا بالدرجات، أو بالراديان (حيث π راديان = 180°، فالراديان هو الزاوية التي يساوي طول قوسها نصف القطر)، أو بالغراد (400 غراد = دورة كاملة). تأتي القيم المضبوطة عند 30° و45° و60° من مثلثين قائمين خاصين: المثلث 45-45-90 يعطي sin 45° = cos 45° = √2⁄2، والمثلث 30-60-90 يعطي sin 30° = 1⁄2 وsin 60° = √3⁄2. تكون الدالة غير معرّفة حيثما يحدث قسمة على صفر: tan θ وsec θ غير معرّفتين عندما cos θ = 0 (عند 90° و270°)، وcsc θ وcot θ غير معرّفتين عندما sin θ = 0 (عند 0° و180°).
الأسئلة الشائعة
ما هي دائرة الوحدة؟
دائرة الوحدة هي الدائرة ذات نصف القطر 1 ومركزها نقطة الأصل. النقطة عليها عند الزاوية θ (المقيسة عكس عقارب الساعة من المحور السيني الموجب) لها الإحداثيات (cos θ, sin θ). هذا يجعل دائرة الوحدة أسهل طريقة لتعريف الدوال المثلثية وتصورها لأي زاوية، وليس فقط للزوايا داخل مثلث قائم.
ما العلاقة بين الدرجات والراديان؟
الدورة الكاملة هي 360° أو 2π راديان، إذن π راديان = 180° و1 راديان ≈ 57.2958°. الراديان هو الزاوية التي يساوي طول قوسها نصف القطر. للتحويل، اضرب الدرجات في π⁄180 للحصول على الراديان، أو اضرب الراديان في 180⁄π للحصول على الدرجات. تعرض هذه الأداة كليهما، بالإضافة إلى الغراد (400 غراد = دورة كاملة).
لماذا tan 90° غير معرّفة؟
يُعرَّف الظل بأنه tan θ = sin θ ⁄ cos θ. عند 90° (و270°) يكون جيب التمام 0، فتقسم الصيغة على صفر وتصبح القيمة غير معرّفة — خط نصف القطر عمودي وليس له ميل منتهٍ. وللسبب نفسه يكون القاطع (1⁄cos θ) غير معرّف هناك، بينما يكون قاطع التمام وظل التمام غير معرّفين عند 0° و180° حيث الجيب يساوي 0.
ما هي القيم المضبوطة عند 30° و45° و60°؟
sin 30° = 1⁄2، cos 30° = √3⁄2، tan 30° = √3⁄3. sin 45° = cos 45° = √2⁄2، tan 45° = 1. sin 60° = √3⁄2، cos 60° = 1⁄2، tan 60° = √3. تأتي هذه من المثلثين الخاصين 45-45-90 و30-60-90، وتعرض الأداة القيمة المضبوطة بجوار القيمة العشرية عند كل زاوية خاصة.
أدوات ذات صلة
واصل استكشاف الرياضيات على UnitConv. استخدم حاسبة المثلثات للمثلثات القائمة والمائلة، وارسم الجيب وجيب التمام باستخدام راسم الدوال، وحوّل بين الدرجات والراديان والغراد في فئة الزوايا بمحوّل الوحدات، وتصفّح مكتبة الصيغ للاطلاع على المجموعة الكاملة من المتطابقات المثلثية وقيم الزوايا الخاصة.