त्रिकोणमिति

इकाई वृत्त कैलकुलेटर

वृत्त के चारों ओर बिंदु को खींचें और कोण, छह त्रिकोणमितीय फलनों, तथा ज्या और कोज्या तरंगों को लाइव अपडेट होते देखें — हर विशेष कोण पर सटीक मानों के साथ।

वृत्त के चारों ओर बिंदु को खींचें, स्लाइडर का उपयोग करें, या कोई सामान्य कोण चुनें।

कोण45°

रेडियन: π/4 0.7854 rad
ग्रेडियन: 50 gon
चतुर्थांश: चतुर्थांश I

त्रिकोणमितीय फलन

	सटीक	दशमलव
sinज्या (साइन)	√2/2	0.7071
cosकोज्या (कोसाइन)	√2/2	0.7071
tanस्पर्शज्या (टैनजेंट)	1	1
cscकोज्या व्युत्क्रम (कोसेकैंट)	√2	1.4142
secव्युत्क्रम ज्या (सेकैंट)	√2	1.4142
cotकोस्पर्शज्या (कोटैनजेंट)	1	1

वृत्त पर बिंदु (cos θ, sin θ) है: cos θ इसकी क्षैतिज स्थिति है और sin θ इसकी ऊँचाई।

कोण45°

सामान्य कोण

ज्या और कोज्या तरंगें

ज्या (साइन)कोज्या (कोसाइन)

बिंदु की ऊँचाई sin θ है; इसकी क्षैतिज स्थिति cos θ है। जैसे-जैसे θ 0° से 360° तक जाता है, ऊँचाई ज्या तरंग को और क्षैतिज स्थिति कोज्या तरंग को रेखांकित करती है।

इकाई वृत्त कैलकुलेटर के बारे में

इकाई वृत्त मूल बिंदु पर केंद्रित त्रिज्या 1 का वृत्त है, और यह समूची त्रिकोणमिति का सबसे उपयोगी चित्र है। इस पर किसी भी बिंदु को (cos θ, sin θ) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ θ धनात्मक x-अक्ष से वामावर्त मापा गया कोण है। इसीलिए कोज्या केवल बिंदु की क्षैतिज स्थिति है और ज्या इसकी ऊँचाई — कुछ भी रटने की आवश्यकता नहीं। यह इंटरैक्टिव उपकरण आपको बिंदु को खींचने (या स्लाइडर और प्रीसेट बटनों का उपयोग करने) देता है और तुरंत डिग्री, रेडियन और ग्रेडियन में कोण पढ़ने, यह देखने कि आप किस चतुर्थांश में हैं, और सभी छह त्रिकोणमितीय फलन प्राप्त करने देता है: ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और उनके व्युत्क्रम कोसेकैंट, सेकैंट और कोटैनजेंट। विशेष कोणों (0°, 30°, 45°, 60°, 90° और उनके प्रतिबिंबों) पर आपको √3/2 और √2/2 जैसे सटीक मान भी मिलते हैं, केवल दशमलव नहीं। एक संदर्भ समकोण त्रिभुज और एक लाइव ज्या/कोज्या तरंग पट्टी चित्र को सूत्रों से जोड़ते हैं। सब कुछ आपके ब्राउज़र में सटीक त्रिकोणमिति के साथ चलता है, इसलिए यह किसी भी त्रिकोणमिति पाठ्यपुस्तक का दृश्य साथी है।

इकाई वृत्त का उपयोग कैसे करें

1 कोण सेट करें: वृत्त के चारों ओर बिंदु को खींचें, कोण स्लाइडर को सरकाएँ, या किसी सामान्य-कोण बटन (0°, 30°, 45°, 60°, …) पर टैप करें।
2 यदि आप चाहते हैं कि कोण साफ़ मानों पर कूदे तो "15° पर स्नैप करें" चालू करें, या स्वतंत्र रूप से अन्वेषण करने के लिए इसे बंद रखें।
3 कोण को डिग्री, रेडियन (विशेष कोणों पर π/3 जैसे सटीक मान के साथ) और ग्रेडियन में पढ़ें, और जाँचें कि बिंदु किस चतुर्थांश में है।
4 छह त्रिकोणमितीय फलन पढ़ें: प्रत्येक पंक्ति विशेष कोणों पर सटीक मान (जैसे √3/2 या अपरिभाषित) को 4-दशमलव सन्निकटन के साथ दिखाती है। ज्या और कोज्या तरंगों को बिंदु की ऊँचाई और क्षैतिज स्थिति का अनुसरण करते देखें।

इसके पीछे का गणित

त्रिज्या 1 के वृत्त पर, कोण θ पर एक बिंदु के निर्देशांक (cos θ, sin θ) होते हैं। अन्य चार फलन इन्हीं से परिभाषित होते हैं: tan θ = sin θ ⁄ cos θ — त्रिज्या रेखा का ढाल। csc θ = 1 ⁄ sin θ, sec θ = 1 ⁄ cos θ, cot θ = cos θ ⁄ sin θ — व्युत्क्रम। कोणों को डिग्री में, रेडियन में (जहाँ π rad = 180°, अर्थात् रेडियन वह कोण है जिसके चाप की लंबाई त्रिज्या के बराबर होती है), या ग्रेडियन में (400 gon = एक पूरा चक्कर) मापा जा सकता है। 30°, 45° और 60° पर सटीक मान दो विशेष समकोण त्रिभुजों से आते हैं: 45-45-90 त्रिभुज से sin 45° = cos 45° = √2⁄2, और 30-60-90 त्रिभुज से sin 30° = 1⁄2, sin 60° = √3⁄2। फलन वहाँ अपरिभाषित होता है जहाँ शून्य से भाग होगा: tan θ और sec θ तब अपरिभाषित होते हैं जब cos θ = 0 (90° और 270° पर), और csc θ तथा cot θ तब अपरिभाषित होते हैं जब sin θ = 0 (0° और 180° पर)।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

इकाई वृत्त क्या है?

इकाई वृत्त मूल बिंदु पर केंद्रित त्रिज्या 1 का वृत्त है। इस पर कोण θ (धनात्मक x-अक्ष से वामावर्त मापा गया) पर स्थित बिंदु के निर्देशांक (cos θ, sin θ) होते हैं। इससे इकाई वृत्त किसी भी कोण के लिए त्रिकोणमितीय फलनों को परिभाषित और विज़ुअलाइज़ करने का सबसे आसान तरीका बन जाता है, न कि केवल समकोण त्रिभुज के भीतर के कोणों के लिए।

डिग्री और रेडियन का आपस में क्या संबंध है?

एक पूरा चक्कर 360° या 2π रेडियन है, इसलिए π रेडियन = 180° और 1 रेडियन ≈ 57.2958°। रेडियन वह कोण है जिसके चाप की लंबाई त्रिज्या के बराबर होती है। बदलने के लिए, रेडियन पाने हेतु डिग्री को π⁄180 से गुणा करें, या डिग्री पाने हेतु रेडियन को 180⁄π से गुणा करें। यह उपकरण दोनों दिखाता है, साथ ही ग्रेडियन भी (400 gon = एक पूरा चक्कर)।

tan 90° अपरिभाषित क्यों है?

स्पर्शज्या को tan θ = sin θ ⁄ cos θ के रूप में परिभाषित किया जाता है। 90° (और 270°) पर कोज्या 0 होती है, इसलिए सूत्र शून्य से भाग देता है और मान अपरिभाषित हो जाता है — त्रिज्या रेखा ऊर्ध्वाधर है और उसका कोई परिमित ढाल नहीं है। इसी कारण वहाँ सेकैंट (1⁄cos θ) अपरिभाषित होता है, जबकि कोसेकैंट और कोटैनजेंट 0° और 180° पर अपरिभाषित होते हैं जहाँ ज्या 0 होती है।

30°, 45° और 60° पर सटीक मान क्या हैं?

sin 30° = 1⁄2, cos 30° = √3⁄2, tan 30° = √3⁄3। sin 45° = cos 45° = √2⁄2, tan 45° = 1। sin 60° = √3⁄2, cos 60° = 1⁄2, tan 60° = √3। ये 45-45-90 और 30-60-90 विशेष त्रिभुजों से आते हैं, और उपकरण हर विशेष कोण पर दशमलव के साथ-साथ सटीक मान दिखाता है।