Калькулятор единичной окружности
Перетаскивайте точку по окружности и смотрите, как угол, шесть тригонометрических функций и волны синуса и косинуса обновляются в реальном времени — с точными значениями при каждом особом угле.
Перетаскивайте точку по окружности, используйте ползунок или выберите распространённый угол.
- Радианы
- π/4 0.7854 rad
- Грады
- 50 gon
- Четверть
- Четверть I
Тригонометрические функции
| Точное | Десятичное | |
|---|---|---|
| sin | √2/2 | 0.7071 |
| cos | √2/2 | 0.7071 |
| tan | 1 | 1 |
| csc | √2 | 1.4142 |
| sec | √2 | 1.4142 |
| cot | 1 | 1 |
Точка на окружности — это (cos θ, sin θ): cos θ — её горизонтальное положение, а sin θ — её высота.
Распространённые углы
Волны синуса и косинуса
Высота точки — это sin θ; её горизонтальное положение — cos θ. Когда θ изменяется от 0° до 360°, высота вычерчивает волну синуса, а горизонтальное положение — волну косинуса.
О калькуляторе единичной окружности
Единичная окружность — это окружность радиуса 1 с центром в начале координат, и это самый полезный образ во всей тригонометрии. Любую точку на ней можно записать как (cos θ, sin θ), где θ — угол, отсчитываемый против часовой стрелки от положительной оси x. Именно поэтому косинус — это просто горизонтальное положение точки, а синус — её высота: ничего заучивать не нужно. Этот интерактивный инструмент позволяет перетаскивать точку (или использовать ползунок и кнопки предустановленных углов) и мгновенно считывать угол в градусах, радианах и градах, видеть, в какой вы четверти, и получать все шесть тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс и их обратные — косеканс, секанс и котангенс. При особых углах (0°, 30°, 45°, 60°, 90° и их симметричных) вы также получаете точные значения, такие как √3/2 и √2/2, а не только десятичные. Опорный прямоугольный треугольник и динамическая полоса волн синуса/косинуса связывают рисунок с формулами. Всё работает в вашем браузере с точной тригонометрией, поэтому это визуальный спутник любого учебника по тригонометрии.
Как пользоваться единичной окружностью
- 1 Задайте угол: перетащите точку по окружности, сдвиньте ползунок угла или нажмите кнопку распространённого угла (0°, 30°, 45°, 60°, …).
- 2 Включите «Привязку к 15°», если хотите, чтобы угол перескакивал на ровные значения, или оставьте её выключенной для свободного исследования.
- 3 Считайте угол в градусах, радианах (с точным значением, например π/3, при особых углах) и градах и проверьте, в какой четверти находится точка.
- 4 Считайте шесть тригонометрических функций: в каждой строке показано точное значение при особых углах (например, √3/2 или «не определено») рядом с приближением до 4 знаков после запятой. Наблюдайте, как волны синуса и косинуса следуют за высотой и горизонтальным положением точки.
Математика, стоящая за этим
На окружности радиуса 1 точка под углом θ имеет координаты (cos θ, sin θ). Остальные четыре функции определяются через эти две: tan θ = sin θ ⁄ cos θ — угловой коэффициент прямой радиуса. csc θ = 1 ⁄ sin θ, sec θ = 1 ⁄ cos θ, cot θ = cos θ ⁄ sin θ — обратные величины. Углы можно измерять в градусах, в радианах (где π рад = 180°, то есть радиан — это угол, длина дуги которого равна радиусу) или в градах (400 град = полный оборот). Точные значения при 30°, 45° и 60° получаются из двух особых прямоугольных треугольников: треугольник 45-45-90 даёт sin 45° = cos 45° = √2⁄2, а треугольник 30-60-90 даёт sin 30° = 1⁄2, sin 60° = √3⁄2. Функция не определена везде, где пришлось бы делить на ноль: tan θ и sec θ не определены при cos θ = 0 (при 90° и 270°), а csc θ и cot θ не определены при sin θ = 0 (при 0° и 180°).
Часто задаваемые вопросы
Что такое единичная окружность?
Единичная окружность — это окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Точка на ней под углом θ (отсчитываемым против часовой стрелки от положительной оси x) имеет координаты (cos θ, sin θ). Это делает единичную окружность самым простым способом определить и визуализировать тригонометрические функции для любого угла, а не только для углов внутри прямоугольного треугольника.
Как связаны градусы и радианы?
Полный оборот — это 360° или 2π радиан, поэтому π радиан = 180° и 1 радиан ≈ 57,2958°. Радиан — это угол, длина дуги которого равна радиусу. Чтобы перевести, умножьте градусы на π⁄180, чтобы получить радианы, или умножьте радианы на 180⁄π, чтобы получить градусы. Этот инструмент показывает оба, а также грады (400 град = полный оборот).
Почему tan 90° не определён?
Тангенс определяется как tan θ = sin θ ⁄ cos θ. При 90° (и 270°) косинус равен 0, поэтому формула делит на ноль и значение не определено — прямая радиуса вертикальна и не имеет конечного углового коэффициента. По той же причине там не определён секанс (1⁄cos θ), тогда как косеканс и котангенс не определены при 0° и 180°, где синус равен 0.
Каковы точные значения при 30°, 45° и 60°?
sin 30° = 1⁄2, cos 30° = √3⁄2, tan 30° = √3⁄3. sin 45° = cos 45° = √2⁄2, tan 45° = 1. sin 60° = √3⁄2, cos 60° = 1⁄2, tan 60° = √3. Они получаются из особых треугольников 45-45-90 и 30-60-90, и инструмент показывает точное значение рядом с десятичным при каждом особом угле.
Связанные инструменты
Продолжайте изучать математику на UnitConv. Используйте решатель треугольников для прямоугольных и косоугольных треугольников, стройте синус и косинус с помощью построителя графиков/функций, переводите градусы, радианы и грады в категории угла конвертера единиц и просматривайте библиотеку формул, чтобы найти полный набор тригонометрических тождеств и значений особых углов.