三角恒等式
所有标准三角恒等式汇于一份有条理的参考 — 还有一个交互式单位圆，在你拖动角度时实时显示 sin θ、cos θ 和 tan θ，让公式真正变得直观。
拖动滑块改变角度，观察 sin、cos 和 tan 在单位圆上实时更新。
全部三角恒等式
毕达哥拉斯
- sin²θ + cos²θ=1
- 1 + tan²θ=sec²θ
- 1 + cot²θ=csc²θ
倒数
- cscθ=1 / sinθ
- secθ=1 / cosθ
- cotθ=1 / tanθ
商
- tanθ=sinθ / cosθ
- cotθ=cosθ / sinθ
奇偶
- sin(−θ)=−sinθ
- cos(−θ)=cosθ
- tan(−θ)=−tanθ
余函数
- sin(90° − θ)=cosθ
- cos(90° − θ)=sinθ
- tan(90° − θ)=cotθ
和差
- sin(α ± β)=sinα·cosβ ± cosα·sinβ
- cos(α ± β)=cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ
- tan(α ± β)=(tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα·tanβ)
倍角
- sin2θ=2·sinθ·cosθ
- cos2θ=cos²θ − sin²θ = 1 − 2sin²θ = 2cos²θ − 1
- tan2θ=2tanθ / (1 − tan²θ)
半角
- sin(θ/2)=±√((1 − cosθ) / 2)
- cos(θ/2)=±√((1 + cosθ) / 2)
- tan(θ/2)=(1 − cosθ) / sinθ
积化和差
- sinα·cosβ=½[sin(α + β) + sin(α − β)]
- cosα·cosβ=½[cos(α − β) + cos(α + β)]
- sinα·sinβ=½[cos(α − β) − cos(α + β)]
正弦定理与余弦定理
- a / sinA = b / sinB=c / sinC
- c²=a² + b² − 2ab·cosC
全部三角恒等式
毕达哥拉斯
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
倒数
- cscθ = 1 / sinθ
- secθ = 1 / cosθ
- cotθ = 1 / tanθ
商
- tanθ = sinθ / cosθ
- cotθ = cosθ / sinθ
奇偶
- sin(−θ) = −sinθ
- cos(−θ) = cosθ
- tan(−θ) = −tanθ
余函数
- sin(90° − θ) = cosθ
- cos(90° − θ) = sinθ
- tan(90° − θ) = cotθ
和差
- sin(α ± β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ
- cos(α ± β) = cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ
- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα·tanβ)
倍角
- sin2θ = 2·sinθ·cosθ
- cos2θ = cos²θ − sin²θ = 1 − 2sin²θ = 2cos²θ − 1
- tan2θ = 2tanθ / (1 − tan²θ)
半角
- sin(θ/2) = ±√((1 − cosθ) / 2)
- cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)
- tan(θ/2) = (1 − cosθ) / sinθ
积化和差
- sinα·cosβ = ½[sin(α + β) + sin(α − β)]
- cosα·cosβ = ½[cos(α − β) + cos(α + β)]
- sinα·sinβ = ½[cos(α − β) − cos(α + β)]
正弦定理与余弦定理
- a / sinA = b / sinB = c / sinC
- c² = a² + b² − 2ab·cosC
关于三角恒等式参考
三角恒等式是对角度的每一个取值都成立的等式，它们是三角学、预备微积分和微积分的支柱。本参考汇集了学生真正需要的全部恒等式，并按教师讲授的顺序分组：毕达哥拉斯恒等式（sin²θ + cos²θ = 1 及其两个姊妹式）、定义 csc、sec、cot 和 tan 的倒数与商恒等式、描述对称性的奇偶恒等式、把正弦与余弦联系起来的余函数恒等式、和差公式、倍角与半角公式、积化和差公式，以及用于求解任意三角形的正弦定理和余弦定理。本页区别于平铺表格之处在于顶部的交互式单位圆：拖动角度，看着点移动，同时 sin θ、cos θ 和 tan θ 实时更新，于是你能看到，例如为什么 sin 和 cos 被限制在 1 以内，以及为什么 tan 在 90° 附近飙向无穷。每个公式都用清晰的 Unicode 记号书写 — 没有图片，因此复制干净，也便于辅助技术和 AI 读取。把它当作作业小抄、考试复习清单，或在化简表达式、证明恒等式时的快速查阅工具。
如何使用本参考
- 1 拖动角度滑块（或开启吸附到特殊角），观察点在单位圆上移动。
- 2 读取实时的 sin θ、cos θ 和 tan θ 值，建立对函数在圆周各处行为的直觉。
- 3 滚动下方按类型分组的恒等式卡片，找到所需公式并复制到你的作业中。
恒等式如何与单位圆相关联
在半径为 1 的单位圆上，从正 x 轴逆时针量得角度 θ 的点，其坐标为 (cos θ, sin θ)。这一张图就解释了大多数恒等式： • 因为该点位于半径为 1 的圆上，x² + y² = 1 给出基本毕达哥拉斯恒等式 sin²θ + cos²θ = 1；将其除以 cos²θ 或 sin²θ 便得到 1 + tan²θ = sec²θ 和 1 + cot²θ = csc²θ。 • tan θ = sin θ / cos θ 是半径的斜率，因此当 cos θ 在 90° 和 270° 附近趋近 0 时，它无界增长（显示为「未定义」）。 • 把点关于 x 轴反射，会把 θ 变为 −θ，并翻转 y 的符号而不翻转 x，从而得到奇偶恒等式 sin(−θ) = −sin θ 和 cos(−θ) = cos θ。 • 交换 x 和 y（关于直线 y = x 反射）把 θ 映射到 90° − θ，这就是余函数关系 sin(90° − θ) = cos θ。 随后，和、差、倍角、半角和积化和差公式可由这些通过代数推导得出，而正弦定理和余弦定理则把同样的三角学推广到非直角三角形。
常见问题
基本的三角恒等式有哪些？
最基本的是毕达哥拉斯恒等式 — sin²θ + cos²θ = 1、1 + tan²θ = sec²θ 和 1 + cot²θ = csc²θ — 以及倒数恒等式（csc θ = 1/sin θ、sec θ = 1/cos θ、cot θ = 1/tan θ）和商恒等式（tan θ = sin θ/cos θ、cot θ = cos θ/sin θ）。几乎所有其他恒等式都可由它们推导而来，因此通常最先记住它们。
什么是毕达哥拉斯恒等式？
毕达哥拉斯恒等式是 sin²θ + cos²θ = 1，对每个角度 θ 都成立。它直接来自单位圆：角度 θ 的点坐标为 (cos θ, sin θ)，由于圆的半径为 1，毕达哥拉斯定理给出 cos²θ + sin²θ = 1。两边同除以 cos²θ 得到 1 + tan²θ = sec²θ，同除以 sin²θ 得到 1 + cot²θ = csc²θ。
倍角公式有哪些？
倍角公式用 θ 表示 2θ 的三角函数：sin 2θ = 2·sin θ·cos θ；cos 2θ = cos²θ − sin²θ，也可写作 1 − 2sin²θ 或 2cos²θ − 1；以及 tan 2θ = 2tan θ / (1 − tan²θ)。它们是和角公式在 α = β = θ 时的特例，在化简表达式和求解三角方程时经常用到。
我何时用正弦定理、何时用余弦定理？
当你已知两角和一边，或两边及一个非夹角时，使用正弦定理 a/sin A = b/sin B = c/sin C。当你已知两边及其夹角（求第三边）或三边（求某角）时，使用余弦定理 c² = a² + b² − 2ab·cos C。两者都能求解非直角三角形，在这类三角形中仅靠基本的 sin/cos/tan 比值是不够的。
相关工具
在 UnitConv 上继续探索三角学：拖动完整的交互式单位圆，查看全部六个三角函数的精确值；用图形计算器绘制正弦和余弦波；用科学记数法转换器整理大数或小数。