Тригонометрические тождества
Все стандартные тригонометрические тождества в одном упорядоченном справочнике — плюс интерактивная единичная окружность, которая показывает sin θ, cos θ и tan θ в реальном времени, пока вы перетаскиваете угол, чтобы формулы действительно обрели смысл.
Перетаскивайте ползунок, чтобы менять угол, и наблюдайте, как sin, cos и tan обновляются в реальном времени на единичной окружности.
Все тригонометрические тождества
Основное (пифагорейское)
- sin²θ + cos²θ=1
- 1 + tan²θ=sec²θ
- 1 + cot²θ=csc²θ
Обратных функций
- cscθ=1 / sinθ
- secθ=1 / cosθ
- cotθ=1 / tanθ
Частного
- tanθ=sinθ / cosθ
- cotθ=cosθ / sinθ
Чётность-нечётность
- sin(−θ)=−sinθ
- cos(−θ)=cosθ
- tan(−θ)=−tanθ
Дополнительных углов
- sin(90° − θ)=cosθ
- cos(90° − θ)=sinθ
- tan(90° − θ)=cotθ
Сумма и разность
- sin(α ± β)=sinα·cosβ ± cosα·sinβ
- cos(α ± β)=cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ
- tan(α ± β)=(tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα·tanβ)
Двойной угол
- sin2θ=2·sinθ·cosθ
- cos2θ=cos²θ − sin²θ = 1 − 2sin²θ = 2cos²θ − 1
- tan2θ=2tanθ / (1 − tan²θ)
Половинный угол
- sin(θ/2)=±√((1 − cosθ) / 2)
- cos(θ/2)=±√((1 + cosθ) / 2)
- tan(θ/2)=(1 − cosθ) / sinθ
Произведение в сумму
- sinα·cosβ=½[sin(α + β) + sin(α − β)]
- cosα·cosβ=½[cos(α − β) + cos(α + β)]
- sinα·sinβ=½[cos(α − β) − cos(α + β)]
Теоремы синусов и косинусов
- a / sinA = b / sinB=c / sinC
- c²=a² + b² − 2ab·cosC
Все тригонометрические тождества
Основное (пифагорейское)
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
Обратных функций
- cscθ = 1 / sinθ
- secθ = 1 / cosθ
- cotθ = 1 / tanθ
Частного
- tanθ = sinθ / cosθ
- cotθ = cosθ / sinθ
Чётность-нечётность
- sin(−θ) = −sinθ
- cos(−θ) = cosθ
- tan(−θ) = −tanθ
Дополнительных углов
- sin(90° − θ) = cosθ
- cos(90° − θ) = sinθ
- tan(90° − θ) = cotθ
Сумма и разность
- sin(α ± β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ
- cos(α ± β) = cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ
- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα·tanβ)
Двойной угол
- sin2θ = 2·sinθ·cosθ
- cos2θ = cos²θ − sin²θ = 1 − 2sin²θ = 2cos²θ − 1
- tan2θ = 2tanθ / (1 − tan²θ)
Половинный угол
- sin(θ/2) = ±√((1 − cosθ) / 2)
- cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)
- tan(θ/2) = (1 − cosθ) / sinθ
Произведение в сумму
- sinα·cosβ = ½[sin(α + β) + sin(α − β)]
- cosα·cosβ = ½[cos(α − β) + cos(α + β)]
- sinα·sinβ = ½[cos(α − β) − cos(α + β)]
Теоремы синусов и косинусов
- a / sinA = b / sinB = c / sinC
- c² = a² + b² − 2ab·cosC
О справочнике тригонометрических тождеств
Тригонометрические тождества — это равенства, верные при любом значении угла, и они составляют основу тригонометрии, начал анализа и математического анализа. Этот справочник собирает все, что действительно нужно учащимся, сгруппированные так, как их вводят преподаватели: основные (пифагорейские) тождества (sin²θ + cos²θ = 1 и два его «собрата»), тождества обратных функций и частного, которые определяют csc, sec, cot и tan, тождества чётности-нечётности, описывающие симметрию, тождества дополнительных углов, связывающие синус с косинусом, формулы суммы и разности, формулы двойного и половинного угла, формулы преобразования произведения в сумму, а также теорему синусов и теорему косинусов для решения любого треугольника. Эту страницу отличает от плоской таблицы интерактивная единичная окружность вверху: перетаскивайте угол и смотрите, как движется точка, пока sin θ, cos θ и tan θ обновляются в реальном времени, чтобы увидеть, например, почему sin и cos ограничены единицей и почему tan уходит в бесконечность вблизи 90°. Каждая формула записана в чёткой нотации Unicode — без изображений, поэтому она аккуратно копируется и легко читается вспомогательными технологиями и ИИ. Используйте её как шпаргалку для домашних заданий, список для повторения к экзамену или быстрый справочник при упрощении выражения или доказательстве тождества.
Как пользоваться этим справочником
- 1 Перетаскивайте ползунок угла (или включите привязку к особым углам) и смотрите, как точка движется по единичной окружности.
- 2 Читайте текущие значения sin θ, cos θ и tan θ, чтобы выработать интуицию о поведении функций по всей окружности.
- 3 Прокручивайте карточки тождеств ниже — сгруппированные по типу — чтобы найти нужную формулу и скопировать её в свою работу.
Как тождества связаны с единичной окружностью
На единичной окружности радиуса 1 точка при угле θ, отсчитываемом против часовой стрелки от положительной оси x, имеет координаты (cos θ, sin θ). Один этот рисунок объясняет большинство тождеств: • Поскольку точка лежит на окружности радиуса 1, x² + y² = 1 даёт основное тригонометрическое тождество sin²θ + cos²θ = 1; деление его на cos²θ или sin²θ даёт 1 + tan²θ = sec²θ и 1 + cot²θ = csc²θ. • tan θ = sin θ / cos θ — это угловой коэффициент радиуса, поэтому он растёт неограниченно, когда cos θ приближается к 0 вблизи 90° и 270° (показано как «не определено»). • Отражение точки относительно оси x переводит θ в −θ и меняет знак y, но не x, давая тождества чётности-нечётности sin(−θ) = −sin θ и cos(−θ) = cos θ. • Перестановка x и y (отражение относительно прямой y = x) переводит θ в 90° − θ, что является соотношением дополнительных углов sin(90° − θ) = cos θ. Формулы суммы, разности, двойного угла, половинного угла и преобразования произведения в сумму затем выводятся алгебраически из них, а теоремы синусов и косинусов распространяют ту же тригонометрию на непрямоугольные треугольники.
Часто задаваемые вопросы
Каковы основные тригонометрические тождества?
Самые фундаментальные — пифагорейские тождества — sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ и 1 + cot²θ = csc²θ — вместе с тождествами обратных функций (csc θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ) и тождествами частного (tan θ = sin θ/cos θ, cot θ = cos θ/sin θ). Почти любое другое тождество можно вывести из них, поэтому обычно их запоминают первыми.
Что такое основное тригонометрическое тождество?
Основное тригонометрическое тождество — это sin²θ + cos²θ = 1, верное для любого угла θ. Оно следует прямо из единичной окружности: точка при угле θ имеет координаты (cos θ, sin θ), и поскольку радиус окружности равен 1, теорема Пифагора даёт cos²θ + sin²θ = 1. Деля обе части на cos²θ, получаем 1 + tan²θ = sec²θ, а деля на sin²θ — 1 + cot²θ = csc²θ.
Каковы формулы двойного угла?
Формулы двойного угла выражают тригонометрические функции 2θ через θ: sin 2θ = 2·sin θ·cos θ; cos 2θ = cos²θ − sin²θ, что также можно записать как 1 − 2sin²θ или 2cos²θ − 1; и tan 2θ = 2tan θ / (1 − tan²θ). Это частные случаи формул суммы при α = β = θ, и они постоянно используются при упрощении выражений и решении тригонометрических уравнений.
Когда применять теорему синусов, а когда теорему косинусов?
Применяйте теорему синусов, a/sin A = b/sin B = c/sin C, когда известны два угла и сторона или две стороны и угол, не лежащий между ними. Применяйте теорему косинусов, c² = a² + b² − 2ab·cos C, когда известны две стороны и угол между ними (чтобы найти третью сторону) или все три стороны (чтобы найти угол). Обе позволяют решать непрямоугольные треугольники, где одних базовых отношений sin/cos/tan недостаточно.
Связанные инструменты
Продолжайте изучать тригонометрию на UnitConv: перетаскивайте полную интерактивную единичную окружность, чтобы увидеть все шесть тригонометрических функций с точными значениями, стройте волны синуса и косинуса с помощью графического калькулятора и приводите в порядок большие или малые числа с помощью конвертера экспоненциальной записи.