Identitas trigonometri
Setiap identitas trigonometri standar dalam satu referensi terorganisir — ditambah lingkaran satuan interaktif yang menampilkan sin θ, cos θ, dan tan θ secara langsung saat Anda menggeser sudut, sehingga rumus benar-benar masuk akal.
Geser penggeser untuk mengubah sudut dan amati sin, cos, dan tan diperbarui secara waktu nyata pada lingkaran satuan.
What are the trigonometric identities?
This page carries the 28 standard identities in 10 groups: three Pythagorean, three reciprocal, two quotient, three even-odd, three cofunction, three sum-and-difference, three double-angle, three half-angle, three product-to-sum, and the two triangle laws (sines and cosines).
If you memorise only two, memorise sin²θ + cos²θ = 1 and sin(α ± β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ. Together with the definitions of tan, sec, csc and cot, every other identity on this page follows from those two — each group below says in one line how.
Semua identitas trigonometri
Pythagoras
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
Why it holds — The point (cosθ, sinθ) sits on the unit circle, so x² + y² = 1 is Pythagoras' theorem. Divide that by cos²θ or by sin²θ to get the other two.
Kebalikan
- cscθ = 1 / sinθ
- secθ = 1 / cosθ
- cotθ = 1 / tanθ
Why it holds — These are definitions rather than theorems: cosecant, secant and cotangent are named for being the reciprocals of sine, cosine and tangent.
Hasil bagi
- tanθ = sinθ / cosθ
- cotθ = cosθ / sinθ
Why it holds — On the unit circle tanθ is the slope of the radius, rise over run — that is y/x, which is sinθ over cosθ.
Genap-ganjil
- sin(−θ) = −sinθ
- cos(−θ) = cosθ
- tan(−θ) = −tanθ
Why it holds — Reflecting the unit circle in the x-axis keeps x and flips the sign of y, so cosine is even and sine is odd; tangent, being their quotient, is odd.
Kofungsi
- sin(90° − θ) = cosθ
- cos(90° − θ) = sinθ
- tan(90° − θ) = cotθ
Why it holds — The two acute angles of a right triangle add up to 90°, so the opposite side for one is the adjacent side for the other — which is exactly what "co-" means.
Jumlah & selisih
- sin(α ± β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ
- cos(α ± β) = cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ
- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα·tanβ)
Why it holds — Compose two rotations: turning by α and then by β must equal turning by α + β. Writing that out in coordinates gives the addition formulas, and every group below this one comes from them.
Sudut rangkap
- sin2θ = 2·sinθ·cosθ
- cos2θ = cos²θ − sin²θ = 1 − 2sin²θ = 2cos²θ − 1
- tan2θ = 2tanθ / (1 − tan²θ)
Why it holds — Put β = α in the sum formulas; the three forms of cos 2θ then differ only by substituting sin²θ + cos²θ = 1.
Sudut paruh
- sin(θ/2) = ±√((1 − cosθ) / 2)
- cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)
- tan(θ/2) = (1 − cosθ) / sinθ
Why it holds — Solve the cos 2θ forms for sin²θ and cos²θ, then take the square root. The ± is not ambiguity — the sign is fixed by which quadrant θ/2 lands in.
Perkalian-ke-jumlah
- sinα·cosβ = ½[sin(α + β) + sin(α − β)]
- cosα·cosβ = ½[cos(α − β) + cos(α + β)]
- sinα·sinβ = ½[cos(α − β) − cos(α + β)]
Why it holds — Add the sum and difference formulas and the cross terms cancel; subtract them and the other pair cancels. Reading the results backwards gives the sum-to-product forms.
Aturan sinus & kosinus
- a / sinA = b / sinB = c / sinC
- c² = a² + b² − 2ab·cosC
Why it holds — Drop an altitude in a general triangle: writing its length two ways gives the law of sines, and applying Pythagoras to the two pieces gives the law of cosines — which collapses to a² + b² = c² when the angle is 90°.
Sumber
- List of trigonometric identities — Wikipedia
- Trigonometric Addition Formulas — Wolfram MathWorld
Tentang referensi Identitas Trigonometri
Identitas trigonometri adalah persamaan yang benar untuk setiap nilai sudut, dan merupakan tulang punggung trigonometri, prakalkulus, dan kalkulus. Referensi ini mengumpulkan semua yang benar-benar dibutuhkan siswa, dikelompokkan seperti cara guru memperkenalkannya: identitas Pythagoras (sin²θ + cos²θ = 1 beserta dua saudaranya), identitas kebalikan dan hasil bagi yang mendefinisikan csc, sec, cot, dan tan, identitas genap-ganjil yang menggambarkan simetri, identitas kofungsi yang menghubungkan sinus dengan kosinus, rumus jumlah dan selisih, rumus sudut rangkap dan sudut paruh, rumus perkalian-ke-jumlah, serta aturan sinus dan aturan kosinus untuk menyelesaikan segitiga apa pun. Yang membedakan halaman ini dari sekadar tabel datar adalah lingkaran satuan interaktif di bagian atas: geser sudut dan amati titik bergerak sementara sin θ, cos θ, dan tan θ diperbarui secara langsung, sehingga Anda dapat melihat, misalnya, mengapa sin dan cos dibatasi oleh 1 dan mengapa tan melonjak menuju tak hingga di dekat 90°. Setiap rumus ditulis dalam notasi Unicode yang jelas — tanpa gambar, sehingga tersalin dengan rapi dan mudah dibaca oleh teknologi bantu dan AI. Gunakan sebagai contekan pekerjaan rumah, daftar ulasan ujian, atau pencarian cepat saat Anda menyederhanakan ekspresi atau membuktikan identitas.
Cara menggunakan referensi ini
- 1 Geser penggeser sudut (atau aktifkan kunci ke sudut istimewa) dan amati titik bergerak pada lingkaran satuan.
- 2 Baca nilai langsung sin θ, cos θ, dan tan θ untuk membangun intuisi tentang bagaimana fungsi berperilaku di sekitar lingkaran.
- 3 Gulir kartu identitas di bawah — dikelompokkan menurut jenis — untuk menemukan rumus yang Anda butuhkan dan menyalinnya ke pekerjaan Anda.
Bagaimana identitas berkaitan dengan lingkaran satuan
Pada lingkaran satuan berjari-jari 1, sebuah titik pada sudut θ yang diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu x positif memiliki koordinat (cos θ, sin θ). Satu gambar itu menjelaskan sebagian besar identitas: • Karena titik berada pada lingkaran berjari-jari 1, x² + y² = 1 memberikan identitas Pythagoras dasar sin²θ + cos²θ = 1; membaginya dengan cos²θ atau sin²θ menghasilkan 1 + tan²θ = sec²θ dan 1 + cot²θ = csc²θ. • tan θ = sin θ / cos θ adalah kemiringan jari-jari, itulah sebabnya ia tumbuh tanpa batas saat cos θ mendekati 0 di dekat 90° dan 270° (ditampilkan sebagai "tak terdefinisi"). • Mencerminkan titik terhadap sumbu x mengubah θ menjadi −θ dan membalik tanda y tetapi tidak x, menghasilkan identitas genap-ganjil sin(−θ) = −sin θ dan cos(−θ) = cos θ. • Menukar x dan y (pencerminan terhadap garis y = x) memetakan θ ke 90° − θ, yaitu hubungan kofungsi sin(90° − θ) = cos θ. Rumus jumlah, selisih, sudut rangkap, sudut paruh, dan perkalian-ke-jumlah kemudian diturunkan secara aljabar dari ini, dan aturan sinus serta kosinus memperluas trigonometri yang sama ke segitiga yang bukan siku-siku.
Pertanyaan yang sering diajukan
Apa saja identitas trigonometri dasar?
Yang paling mendasar adalah identitas Pythagoras — sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ, dan 1 + cot²θ = csc²θ — bersama dengan identitas kebalikan (csc θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ) dan identitas hasil bagi (tan θ = sin θ/cos θ, cot θ = cos θ/sin θ). Hampir setiap identitas lain dapat diturunkan dari ini, itulah sebabnya mereka biasanya yang pertama dihafal.
Apa itu identitas Pythagoras?
Identitas Pythagoras adalah sin²θ + cos²θ = 1, benar untuk setiap sudut θ. Ia berasal langsung dari lingkaran satuan: sebuah titik pada sudut θ memiliki koordinat (cos θ, sin θ), dan karena lingkaran berjari-jari 1, teorema Pythagoras memberikan cos²θ + sin²θ = 1. Membagi kedua ruas dengan cos²θ menghasilkan 1 + tan²θ = sec²θ, dan membagi dengan sin²θ menghasilkan 1 + cot²θ = csc²θ.
Apa saja rumus sudut rangkap?
Rumus sudut rangkap menyatakan fungsi trigonometri dari 2θ dalam bentuk θ: sin 2θ = 2·sin θ·cos θ; cos 2θ = cos²θ − sin²θ, yang juga dapat ditulis 1 − 2sin²θ atau 2cos²θ − 1; dan tan 2θ = 2tan θ / (1 − tan²θ). Ini adalah kasus khusus dari rumus jumlah dengan α = β = θ, dan digunakan terus-menerus saat menyederhanakan ekspresi dan menyelesaikan persamaan trigonometri.
Kapan saya menggunakan aturan sinus dibanding aturan kosinus?
Gunakan aturan sinus, a/sin A = b/sin B = c/sin C, ketika Anda mengetahui dua sudut dan satu sisi, atau dua sisi dan sudut yang tidak diapit. Gunakan aturan kosinus, c² = a² + b² − 2ab·cos C, ketika Anda mengetahui dua sisi dan sudut di antaranya (untuk mencari sisi ketiga) atau ketiga sisi (untuk mencari sudut). Keduanya memungkinkan Anda menyelesaikan segitiga yang bukan siku-siku, di mana rasio dasar sin/cos/tan saja tidak cukup.
Alat terkait
Lanjutkan menjelajahi trigonometri di UnitConv: geser lingkaran satuan interaktif lengkap untuk melihat keenam fungsi trigonometri dengan nilai eksak, plot gelombang sinus dan kosinus dengan kalkulator grafik, dan rapikan angka besar atau kecil dengan konverter notasi ilmiah.