三角関数の公式（恒等式）
標準的な三角関数の恒等式をすべて1つに整理したリファレンス — さらに、角度をドラッグすると sin θ・cos θ・tan θ をリアルタイムに表示するインタラクティブな単位円つきで、公式の意味が本当に腑に落ちます。
What are the trigonometric identities?
This page carries the 28 standard identities in 10 groups: three Pythagorean, three reciprocal, two quotient, three even-odd, three cofunction, three sum-and-difference, three double-angle, three half-angle, three product-to-sum, and the two triangle laws (sines and cosines).
If you memorise only two, memorise sin²θ + cos²θ = 1 and sin(α ± β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ. Together with the definitions of tan, sec, csc and cot, every other identity on this page follows from those two — each group below says in one line how.
三角関数の恒等式すべて
ピタゴラスの基本公式
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
Why it holds — The point (cosθ, sinθ) sits on the unit circle, so x² + y² = 1 is Pythagoras' theorem. Divide that by cos²θ or by sin²θ to get the other two.
相反
- cscθ = 1 / sinθ
- secθ = 1 / cosθ
- cotθ = 1 / tanθ
Why it holds — These are definitions rather than theorems: cosecant, secant and cotangent are named for being the reciprocals of sine, cosine and tangent.
商
- tanθ = sinθ / cosθ
- cotθ = cosθ / sinθ
Why it holds — On the unit circle tanθ is the slope of the radius, rise over run — that is y/x, which is sinθ over cosθ.
偶奇
- sin(−θ) = −sinθ
- cos(−θ) = cosθ
- tan(−θ) = −tanθ
Why it holds — Reflecting the unit circle in the x-axis keeps x and flips the sign of y, so cosine is even and sine is odd; tangent, being their quotient, is odd.
余関数
- sin(90° − θ) = cosθ
- cos(90° − θ) = sinθ
- tan(90° − θ) = cotθ
Why it holds — The two acute angles of a right triangle add up to 90°, so the opposite side for one is the adjacent side for the other — which is exactly what "co-" means.
加法定理（和と差）
- sin(α ± β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ
- cos(α ± β) = cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ
- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα·tanβ)
Why it holds — Compose two rotations: turning by α and then by β must equal turning by α + β. Writing that out in coordinates gives the addition formulas, and every group below this one comes from them.
倍角
- sin2θ = 2·sinθ·cosθ
- cos2θ = cos²θ − sin²θ = 1 − 2sin²θ = 2cos²θ − 1
- tan2θ = 2tanθ / (1 − tan²θ)
Why it holds — Put β = α in the sum formulas; the three forms of cos 2θ then differ only by substituting sin²θ + cos²θ = 1.
半角
- sin(θ/2) = ±√((1 − cosθ) / 2)
- cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)
- tan(θ/2) = (1 − cosθ) / sinθ
Why it holds — Solve the cos 2θ forms for sin²θ and cos²θ, then take the square root. The ± is not ambiguity — the sign is fixed by which quadrant θ/2 lands in.
積和
- sinα·cosβ = ½[sin(α + β) + sin(α − β)]
- cosα·cosβ = ½[cos(α − β) + cos(α + β)]
- sinα·sinβ = ½[cos(α − β) − cos(α + β)]
Why it holds — Add the sum and difference formulas and the cross terms cancel; subtract them and the other pair cancels. Reading the results backwards gives the sum-to-product forms.
正弦定理・余弦定理
- a / sinA = b / sinB = c / sinC
- c² = a² + b² − 2ab·cosC
Why it holds — Drop an altitude in a general triangle: writing its length two ways gives the law of sines, and applying Pythagoras to the two pieces gives the law of cosines — which collapses to a² + b² = c² when the angle is 90°.
出典
- List of trigonometric identities — Wikipedia
- Trigonometric Addition Formulas — Wolfram MathWorld
三角関数の公式（恒等式）リファレンスについて
三角関数の恒等式とは、角度のどんな値に対しても成り立つ等式で、三角法・微分積分の準備（プレ微積）・微分積分の土台となるものです。このリファレンスは、学生が実際に必要とする公式をすべて、教師が導入する順に整理して集めました。ピタゴラスの基本公式（sin²θ + cos²θ = 1 とその2つの兄弟式）、csc・sec・cot・tan を定義する相反・商の公式、対称性を表す偶奇の公式、サインとコサインを結ぶ余関数の公式、和と差の公式（加法定理）、倍角・半角の公式、積和の公式、そして任意の三角形を解くための正弦定理・余弦定理です。このページが単なる平坦な表と違うのは、上部のインタラクティブな単位円です。角度をドラッグすると点が動き、sin θ・cos θ・tan θ がリアルタイムに更新されるので、たとえばなぜ sin と cos が 1 で抑えられるのか、なぜ tan が 90° 付近で無限大へ発散するのかが目で分かります。各公式はすっきりした Unicode 記号で書かれており — 画像を使っていないのできれいにコピーでき、支援技術や AI にも読みやすくなっています。宿題のカンニングペーパーとして、試験前の復習リストとして、あるいは式を簡単にしたり恒等式を証明したりするときのクイック参照として使ってください。
このリファレンスの使い方
- 1 角度スライダーをドラッグ（または特別な角へのスナップをオン）にして、単位円上で点が動く様子を見ます。
- 2 リアルタイムの sin θ・cos θ・tan θ の値を読み、円の各所で関数がどう振る舞うかの直感を養います。
- 3 下の種類別に分かれた公式カードをスクロールして、必要な公式を見つけ、自分の作業にコピーします。
恒等式は単位円とどう関係するか
半径 1 の単位円上で、正の x 軸から反時計回りに測った角度 θ の点は、座標 (cos θ, sin θ) を持ちます。この1枚の図が、ほとんどの恒等式を説明します。 • 点が半径 1 の円上にあるため、x² + y² = 1 から基本となるピタゴラスの恒等式 sin²θ + cos²θ = 1 が得られます。これを cos²θ または sin²θ で割ると、1 + tan²θ = sec²θ と 1 + cot²θ = csc²θ になります。 • tan θ = sin θ / cos θ は半径の傾きであり、だからこそ 90° と 270° 付近で cos θ が 0 に近づくと無限に大きくなります（「未定義」と表示）。 • 点を x 軸に関して対称移動すると θ は −θ になり、x の符号は変わらず y の符号だけが反転するので、偶奇の公式 sin(−θ) = −sin θ と cos(−θ) = cos θ が得られます。 • x と y を入れ替える（直線 y = x に関する対称移動）と θ は 90° − θ に対応し、これが余関数の関係 sin(90° − θ) = cos θ です。 そして、和・差・倍角・半角・積和の公式は、これらから代数的に導かれ、正弦定理・余弦定理は同じ三角法を直角でない三角形へと拡張します。
よくある質問
基本的な三角関数の恒等式とは何ですか？
もっとも基本的なのはピタゴラスの恒等式 — sin²θ + cos²θ = 1、1 + tan²θ = sec²θ、1 + cot²θ = csc²θ — と、相反の公式（csc θ = 1/sin θ、sec θ = 1/cos θ、cot θ = 1/tan θ）、商の公式（tan θ = sin θ/cos θ、cot θ = cos θ/sin θ）です。他のほとんどの恒等式はこれらから導けるので、ふつう最初に暗記されます。
ピタゴラスの恒等式とは何ですか？
ピタゴラスの恒等式は sin²θ + cos²θ = 1 で、すべての角度 θ について成り立ちます。これは単位円から直接得られます。角度 θ の点は座標 (cos θ, sin θ) を持ち、円の半径が 1 なので、ピタゴラスの定理から cos²θ + sin²θ = 1 になります。両辺を cos²θ で割ると 1 + tan²θ = sec²θ、sin²θ で割ると 1 + cot²θ = csc²θ が得られます。
倍角の公式とは何ですか？
倍角の公式は、2θ の三角関数を θ で表します。sin 2θ = 2·sin θ·cos θ；cos 2θ = cos²θ − sin²θ（1 − 2sin²θ や 2cos²θ − 1 とも書けます）；tan 2θ = 2tan θ / (1 − tan²θ)。これらは α = β = θ とした加法定理の特別な場合で、式の簡単化や三角方程式を解く際に絶えず使われます。
正弦定理と余弦定理はどちらを使えばよいですか？
正弦定理 a/sin A = b/sin B = c/sin C は、2つの角と1辺、または2辺と挟まれていない角が分かっているときに使います。余弦定理 c² = a² + b² − 2ab·cos C は、2辺とその間の角が分かっているとき（3つ目の辺を求める）や、3辺すべてが分かっているとき（角を求める）に使います。どちらも、基本の sin/cos/tan の比だけでは足りない、直角でない三角形を解くことができます。
関連ツール
UnitConv で三角法をさらに探求しましょう。完全なインタラクティブ単位円をドラッグして6つの三角関数すべてを正確な値で確認し、グラフ計算機でサイン波・コサイン波を描き、科学的記数法コンバーターで大きな数や小さな数を整えてみてください。