Identidades trigonométricas
Todas las identidades trigonométricas estándar en una referencia organizada — más un círculo unitario interactivo que muestra sin θ, cos θ y tan θ en vivo mientras arrastras el ángulo, para que las fórmulas tengan sentido de verdad.
Arrastra el control deslizante para cambiar el ángulo y observa cómo sin, cos y tan se actualizan en tiempo real en el círculo unitario.
What are the trigonometric identities?
This page carries the 28 standard identities in 10 groups: three Pythagorean, three reciprocal, two quotient, three even-odd, three cofunction, three sum-and-difference, three double-angle, three half-angle, three product-to-sum, and the two triangle laws (sines and cosines).
If you memorise only two, memorise sin²θ + cos²θ = 1 and sin(α ± β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ. Together with the definitions of tan, sec, csc and cot, every other identity on this page follows from those two — each group below says in one line how.
Todas las identidades trigonométricas
Pitagóricas
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
Why it holds — The point (cosθ, sinθ) sits on the unit circle, so x² + y² = 1 is Pythagoras' theorem. Divide that by cos²θ or by sin²θ to get the other two.
Recíprocas
- cscθ = 1 / sinθ
- secθ = 1 / cosθ
- cotθ = 1 / tanθ
Why it holds — These are definitions rather than theorems: cosecant, secant and cotangent are named for being the reciprocals of sine, cosine and tangent.
De cociente
- tanθ = sinθ / cosθ
- cotθ = cosθ / sinθ
Why it holds — On the unit circle tanθ is the slope of the radius, rise over run — that is y/x, which is sinθ over cosθ.
Par-impar
- sin(−θ) = −sinθ
- cos(−θ) = cosθ
- tan(−θ) = −tanθ
Why it holds — Reflecting the unit circle in the x-axis keeps x and flips the sign of y, so cosine is even and sine is odd; tangent, being their quotient, is odd.
De cofunción
- sin(90° − θ) = cosθ
- cos(90° − θ) = sinθ
- tan(90° − θ) = cotθ
Why it holds — The two acute angles of a right triangle add up to 90°, so the opposite side for one is the adjacent side for the other — which is exactly what "co-" means.
Suma y diferencia
- sin(α ± β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ
- cos(α ± β) = cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ
- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα·tanβ)
Why it holds — Compose two rotations: turning by α and then by β must equal turning by α + β. Writing that out in coordinates gives the addition formulas, and every group below this one comes from them.
Ángulo doble
- sin2θ = 2·sinθ·cosθ
- cos2θ = cos²θ − sin²θ = 1 − 2sin²θ = 2cos²θ − 1
- tan2θ = 2tanθ / (1 − tan²θ)
Why it holds — Put β = α in the sum formulas; the three forms of cos 2θ then differ only by substituting sin²θ + cos²θ = 1.
Ángulo mitad
- sin(θ/2) = ±√((1 − cosθ) / 2)
- cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)
- tan(θ/2) = (1 − cosθ) / sinθ
Why it holds — Solve the cos 2θ forms for sin²θ and cos²θ, then take the square root. The ± is not ambiguity — the sign is fixed by which quadrant θ/2 lands in.
Producto a suma
- sinα·cosβ = ½[sin(α + β) + sin(α − β)]
- cosα·cosβ = ½[cos(α − β) + cos(α + β)]
- sinα·sinβ = ½[cos(α − β) − cos(α + β)]
Why it holds — Add the sum and difference formulas and the cross terms cancel; subtract them and the other pair cancels. Reading the results backwards gives the sum-to-product forms.
Teoremas del seno y del coseno
- a / sinA = b / sinB = c / sinC
- c² = a² + b² − 2ab·cosC
Why it holds — Drop an altitude in a general triangle: writing its length two ways gives the law of sines, and applying Pythagoras to the two pieces gives the law of cosines — which collapses to a² + b² = c² when the angle is 90°.
Fuentes
- List of trigonometric identities — Wikipedia
- Trigonometric Addition Formulas — Wolfram MathWorld
Acerca de la referencia de identidades trigonométricas
Las identidades trigonométricas son ecuaciones que se cumplen para todo valor del ángulo, y son la columna vertebral de la trigonometría, el precálculo y el cálculo. Esta referencia reúne todas las que los estudiantes realmente necesitan, agrupadas como las presentan los profesores: las identidades pitagóricas (sin²θ + cos²θ = 1 y sus dos hermanas), las identidades recíprocas y de cociente que definen csc, sec, cot y tan, las identidades par-impar que describen la simetría, las identidades de cofunción que vinculan el seno con el coseno, las fórmulas de suma y diferencia, las fórmulas del ángulo doble y del ángulo mitad, las fórmulas de producto a suma, y el teorema del seno y el teorema del coseno para resolver cualquier triángulo. Lo que distingue a esta página de una tabla plana es el círculo unitario interactivo de la parte superior: arrastra el ángulo y observa cómo se mueve el punto mientras sin θ, cos θ y tan θ se actualizan en vivo, de modo que puedas ver por qué, por ejemplo, sin y cos están acotados por 1 y por qué tan se dispara al infinito cerca de 90°. Cada fórmula está escrita en notación Unicode clara — sin imágenes, así que se copia limpiamente y es fácil de leer para tecnologías de asistencia y para la IA. Úsala como chuleta de tareas, como lista de repaso de examen o como consulta rápida cuando simplificas una expresión o demuestras una identidad.
Cómo usar esta referencia
- 1 Arrastra el control deslizante del ángulo (o activa el ajuste a ángulos especiales) y observa cómo se mueve el punto en el círculo unitario.
- 2 Lee los valores en vivo de sin θ, cos θ y tan θ para desarrollar intuición sobre cómo se comportan las funciones alrededor del círculo.
- 3 Desplázate por las tarjetas de identidades de abajo — agrupadas por tipo — para encontrar la fórmula que necesitas y copiarla en tu trabajo.
Cómo se relacionan las identidades con el círculo unitario
En un círculo unitario de radio 1, un punto en el ángulo θ medido en sentido antihorario desde el eje x positivo tiene coordenadas (cos θ, sin θ). Esa única imagen explica la mayoría de las identidades: • Como el punto está en un círculo de radio 1, x² + y² = 1 da la identidad pitagórica fundamental sin²θ + cos²θ = 1; al dividirla por cos²θ o sin²θ se obtiene 1 + tan²θ = sec²θ y 1 + cot²θ = csc²θ. • tan θ = sin θ / cos θ es la pendiente del radio, por lo que crece sin límite cuando cos θ se acerca a 0 cerca de 90° y 270° (mostrado como "indefinido"). • Reflejar el punto a través del eje x lleva θ a −θ e invierte el signo de y pero no el de x, dando las identidades par-impar sin(−θ) = −sin θ y cos(−θ) = cos θ. • Intercambiar x e y (una reflexión a través de la recta y = x) asigna θ a 90° − θ, que es la relación de cofunción sin(90° − θ) = cos θ. Las fórmulas de suma, diferencia, ángulo doble, ángulo mitad y producto a suma se deducen luego algebraicamente de estas, y los teoremas del seno y del coseno extienden la misma trigonometría a triángulos que no son rectángulos.
Preguntas frecuentes
¿Cuáles son las identidades trigonométricas básicas?
Las más fundamentales son las identidades pitagóricas — sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ y 1 + cot²θ = csc²θ — junto con las identidades recíprocas (csc θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ) y las identidades de cociente (tan θ = sin θ/cos θ, cot θ = cos θ/sin θ). Casi todas las demás identidades pueden deducirse de estas, por lo que suelen ser las primeras que se memorizan.
¿Qué es la identidad pitagórica?
La identidad pitagórica es sin²θ + cos²θ = 1, válida para todo ángulo θ. Surge directamente del círculo unitario: un punto en el ángulo θ tiene coordenadas (cos θ, sin θ), y como el círculo tiene radio 1, el teorema de Pitágoras da cos²θ + sin²θ = 1. Dividiendo ambos lados por cos²θ se obtiene 1 + tan²θ = sec²θ, y dividiendo por sin²θ se obtiene 1 + cot²θ = csc²θ.
¿Cuáles son las fórmulas del ángulo doble?
Las fórmulas del ángulo doble expresan las funciones trigonométricas de 2θ en términos de θ: sin 2θ = 2·sin θ·cos θ; cos 2θ = cos²θ − sin²θ, que también puede escribirse 1 − 2sin²θ o 2cos²θ − 1; y tan 2θ = 2tan θ / (1 − tan²θ). Son casos especiales de las fórmulas de suma con α = β = θ, y se usan constantemente al simplificar expresiones y resolver ecuaciones trigonométricas.
¿Cuándo uso el teorema del seno frente al del coseno?
Usa el teorema del seno, a/sin A = b/sin B = c/sin C, cuando conoces dos ángulos y un lado, o dos lados y un ángulo no comprendido. Usa el teorema del coseno, c² = a² + b² − 2ab·cos C, cuando conoces dos lados y el ángulo entre ellos (para hallar el tercer lado) o los tres lados (para hallar un ángulo). Ambos permiten resolver triángulos que no son rectángulos, donde las razones básicas sin/cos/tan por sí solas no bastan.
Herramientas relacionadas
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