Geometria — Fórmulas
Todas as fórmulas de geometria de que você precisa em uma tabela organizada — área e perímetro do quadrado, do retângulo, do triângulo e dos polígonos, as fórmulas do círculo e da elipse, o volume e a área de superfície do cubo, da esfera, do cilindro, do cone e da pirâmide, o teorema de Pitágoras e os triângulos retângulos especiais, e a geometria de coordenadas — com links de um toque para o nosso visualizador de sólidos 3D interativo e o círculo unitário, para você explorar a forma na hora.
Formas 2D — área e perímetro
- Square Area=s²
- Square Perimeter=4s
- Rectangle Area=l·w
- Rectangle Perimeter=2(l + w)
- Triangle Area=½·b·h
- Triangle Area (Heron)=√(s(s−a)(s−b)(s−c)), s = (a+b+c)/2
- Parallelogram Area=b·h
- Trapezoid Area=½(a + b)·h
- Rhombus Area=½·d₁·d₂
- Regular polygon (n sides) Area=½·n·s·a = ½·P·a (a = apothem, P = perimeter)
Círculos e elipses
- Circle Circumference=2πr = πd
- Circle Area=πr²
- Arc length=rθ (θ in radians) = 2πr·(θ°/360)
- Sector area=½r²θ = πr²·(θ°/360)
- Ellipse Area=π·a·b (a, b = semi-axes)
Sólidos 3D — volume e área de superfície
- Cube Volume=s³
- Cube Surface area=6s²
- Rectangular prism Volume=l·w·h
- Rectangular prism Surface area=2(lw + lh + wh)
- Sphere Volume=(4/3)πr³
- Sphere Surface area=4πr²
- Cylinder Volume=πr²h
- Cylinder Surface area=2πr(r + h)
- Cone Volume=(1/3)πr²h
- Cone Surface area=πr(r + l), slant l = √(r² + h²)
- Square pyramid Volume=(1/3)·b²·h
- Square pyramid Surface area=b² + 2b·l
- Triangular prism Volume=(½·b·h)·L (L = length)
Triângulos retângulos e o teorema de Pitágoras
- Pythagorean theorem=a² + b² = c²
- Common triples=3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25
- 45-45-90 triangle sides=1 : 1 : √2
- 30-60-90 triangle sides=1 : √3 : 2
- Trig ratios (SOH-CAH-TOA)=sin θ = opp/hyp, cos θ = adj/hyp, tan θ = opp/adj
Geometria de coordenadas
- Distance d=√((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- Midpoint=((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
- Slope m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- Line (slope-intercept)=y = mx + b
- Line (point-slope)=y − y₁ = m(x − x₁)
Estas são as fórmulas de geometria padrão. Cada uma vale para todos os valores admissíveis, então você pode verificá-la substituindo números — por exemplo, uma esfera de raio 3 tem volume (4/3)π·3³ = 36π ≈ 113,097. ✓
Formas 2D — área e perímetro
- Square Area = s²
- Square Perimeter = 4s
- Rectangle Area = l·w
- Rectangle Perimeter = 2(l + w)
- Triangle Area = ½·b·h
- Triangle Area (Heron) = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), s = (a+b+c)/2
- Parallelogram Area = b·h
- Trapezoid Area = ½(a + b)·h
- Rhombus Area = ½·d₁·d₂
- Regular polygon (n sides) Area = ½·n·s·a = ½·P·a (a = apothem, P = perimeter)
Círculos e elipses
- Circle Circumference = 2πr = πd
- Circle Area = πr²
- Arc length = rθ (θ in radians) = 2πr·(θ°/360)
- Sector area = ½r²θ = πr²·(θ°/360)
- Ellipse Area = π·a·b (a, b = semi-axes)
Sólidos 3D — volume e área de superfície
- Cube Volume = s³
- Cube Surface area = 6s²
- Rectangular prism Volume = l·w·h
- Rectangular prism Surface area = 2(lw + lh + wh)
- Sphere Volume = (4/3)πr³
- Sphere Surface area = 4πr²
- Cylinder Volume = πr²h
- Cylinder Surface area = 2πr(r + h)
- Cone Volume = (1/3)πr²h
- Cone Surface area = πr(r + l), slant l = √(r² + h²)
- Square pyramid Volume = (1/3)·b²·h
- Square pyramid Surface area = b² + 2b·l
- Triangular prism Volume = (½·b·h)·L (L = length)
Triângulos retângulos e o teorema de Pitágoras
- Pythagorean theorem = a² + b² = c²
- Common triples = 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25
- 45-45-90 triangle sides = 1 : 1 : √2
- 30-60-90 triangle sides = 1 : √3 : 2
- Trig ratios (SOH-CAH-TOA) = sin θ = opp/hyp, cos θ = adj/hyp, tan θ = opp/adj
Geometria de coordenadas
- Distance d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- Midpoint = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
- Slope m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- Line (slope-intercept) = y = mx + b
- Line (point-slope) = y − y₁ = m(x − x₁)
Sobre a referência de geometria
Este é o resumo de geometria que os estudantes mais consultam: a área e o perímetro do quadrado, do retângulo, do triângulo, do paralelogramo, do trapézio, do losango e do polígono regular; a circunferência, a área, o comprimento de arco e a área de um setor para o círculo, além da área da elipse; o volume e a área de superfície do cubo, do paralelepípedo retângulo, da esfera, do cilindro, do cone, da pirâmide de base quadrada e do prisma triangular; o teorema de Pitágoras com as ternas inteiras comuns e os triângulos retângulos especiais 45-45-90 e 30-60-90; e a geometria de coordenadas — distância, ponto médio, inclinação e as equações de uma reta. Cada fórmula está escrita em notação Unicode clara — sem imagens — de modo que se copia limpamente para as suas anotações e é fácil de ler para tecnologias assistivas e IA. O que distingue esta página de um PDF estático é que ela está conectada às ferramentas interativas do UnitConv: toque em «Visualizar volume e área de superfície em 3D» para ver um sólido mudar de forma à medida que você ajusta suas dimensões, em «Círculo unitário» ou «Identidades trigonométricas» para conectar as razões pitagóricas à trigonometria, ou converta diretamente para unidades de área ou volume para um problema real. As fontes destas fórmulas incluem Paul's Online Math Notes, Mathwords e Wolfram MathWorld. Use-a como referência para as tarefas, como lista de revisão para provas ou como consulta rápida enquanto resolve uma lista de exercícios de geometria.
Como usar esta referência
- 1 Encontre o tema de que você precisa nos cartões agrupados — formas 2D, círculos, sólidos 3D, triângulos retângulos ou geometria de coordenadas.
- 2 Copie a fórmula em notação Unicode clara diretamente para o seu trabalho, ou confira o seu próprio resultado com ela.
- 3 Toque em «Visualizar volume e área de superfície em 3D» ou «Círculo unitário» para abrir uma ferramenta interativa e ver a fórmula em ação.
Como estas fórmulas de geometria se encaixam
As fórmulas de geometria se dividem em três famílias por dimensão, e ajuda manter as unidades bem distintas: perímetro e circunferência são comprimentos (m), área é um comprimento ao quadrado (m²), e volume é um comprimento ao cubo (m³). Toda fórmula de área em 2D se reduz, de alguma forma, a «base vezes altura» — um retângulo é l·b, um paralelogramo é b·h, e um triângulo é a metade disso, ½·b·h, porque um triângulo é exatamente a metade de um paralelogramo que compartilha a mesma base e altura. A fórmula de Heron, Área = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) com s = (a+b+c)/2, dá a mesma área do triângulo apenas a partir dos três comprimentos dos lados, sem precisar da altura — para um triângulo retângulo 3-4-5 ela dá √(6·3·2·1) = 6, coincidindo exatamente com ½·3·4 = 6. As fórmulas do círculo (circunferência 2πr, área πr²) são o caso-limite de um polígono regular à medida que o número de lados cresce sem limite, o que também explica por que o comprimento de arco rθ e a área de um setor ½r²θ são apenas as fórmulas do círculo escaladas pela fração de uma volta completa. Em 3D, as fórmulas de volume geralmente multiplicam uma área de base por uma altura (um cilindro é πr²·h, um prisma é a área da base vezes o comprimento), enquanto cones e pirâmides recebem um fator de ⅓ porque se afunilam até um ponto. O teorema de Pitágoras a²+b² = c² fundamenta tanto os triângulos retângulos especiais (45-45-90 dá lados 1:1:√2, já que 1²+1²=2=(√2)²) quanto a fórmula da distância em coordenadas, que é apenas o teorema de Pitágoras aplicado às diferenças horizontal e vertical entre dois pontos.
Perguntas frequentes
O que é a área de um círculo?
A área de um círculo é πr², onde r é o raio. Para um círculo de raio 2, a área é π·2² = 4π ≈ 12,566 unidades quadradas. Se, em vez disso, for dado o diâmetro d, use primeiro r = d/2. A circunferência, a distância ao redor do círculo, segue uma fórmula diferente: 2πr (ou πd).
Qual é a fórmula do volume de uma esfera?
O volume de uma esfera é (4/3)πr³, onde r é o raio. Para uma esfera de raio 3, o volume é (4/3)π·3³ = 36π ≈ 113,097 unidades cúbicas. A área de superfície dessa mesma esfera usa uma fórmula relacionada, mas diferente, 4πr² — para r = 3 isso dá 4π·3² = 36π ≈ 113,097 unidades quadradas (o mesmo número aqui apenas porque r = 3 faz as duas fórmulas coincidirem numericamente; em geral, elas diferem).
O que é o teorema de Pitágoras?
O teorema de Pitágoras afirma que, em um triângulo retângulo, a² + b² = c², onde a e b são os dois catetos e c é a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto). Ele permite encontrar qualquer lado quando os outros dois são conhecidos: c = √(a²+b²), ou a = √(c²−b²). Soluções inteiras comuns, chamadas ternas pitagóricas, incluem 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 e 7-24-25 — qualquer múltiplo delas também funciona, como 6-8-10.
Como se calcula a área de superfície de um cilindro?
A área de superfície de um cilindro é 2πr(r + h), onde r é o raio e h a altura. Isso vem da soma das duas bases circulares, cada uma πr² (juntas 2πr²), com a superfície lateral curva, que se desenrola em um retângulo de área 2πr·h. Para um cilindro com r = 1 e h = 1, a área de superfície é 2π·1·(1+1) = 4π ≈ 12,566 unidades quadradas.
Ferramentas relacionadas
Transforme qualquer uma dessas fórmulas em uma exploração interativa no UnitConv: visualize como o volume e a área de superfície mudam para o cubo, a esfera, o cilindro, o cone e a pirâmide com a ferramenta de geometria espacial, veja como as razões pitagóricas determinam o seno e o cosseno no círculo unitário, revise as identidades trigonométricas que conectam ângulos a triângulos retângulos, ou converta uma área ou volume calculado diretamente para as unidades de que você precisa.