ज्यामिति — सूत्र
आपको जितने ज्यामिति सूत्रों की आवश्यकता है, सब एक व्यवस्थित तालिका में — वर्ग, आयत, त्रिभुज और बहुभुजों का क्षेत्रफल और परिमाप, वृत्त और दीर्घवृत्त के सूत्र, घन, गोला, बेलन, शंकु और पिरामिड का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल, पाइथागोरस प्रमेय और विशेष समकोण त्रिभुज, तथा निर्देशांक ज्यामिति — हमारे इंटरैक्टिव 3D ठोस विज़ुअलाइज़र और इकाई वृत्त के एक-टैप लिंक के साथ, ताकि आप तुरंत आकृति को समझ सकें।
2D आकृतियाँ — क्षेत्रफल और परिमाप
- Square Area=s²
- Square Perimeter=4s
- Rectangle Area=l·w
- Rectangle Perimeter=2(l + w)
- Triangle Area=½·b·h
- Triangle Area (Heron)=√(s(s−a)(s−b)(s−c)), s = (a+b+c)/2
- Parallelogram Area=b·h
- Trapezoid Area=½(a + b)·h
- Rhombus Area=½·d₁·d₂
- Regular polygon (n sides) Area=½·n·s·a = ½·P·a (a = apothem, P = perimeter)
वृत्त और दीर्घवृत्त
- Circle Circumference=2πr = πd
- Circle Area=πr²
- Arc length=rθ (θ in radians) = 2πr·(θ°/360)
- Sector area=½r²θ = πr²·(θ°/360)
- Ellipse Area=π·a·b (a, b = semi-axes)
3D ठोस — आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल
- Cube Volume=s³
- Cube Surface area=6s²
- Rectangular prism Volume=l·w·h
- Rectangular prism Surface area=2(lw + lh + wh)
- Sphere Volume=(4/3)πr³
- Sphere Surface area=4πr²
- Cylinder Volume=πr²h
- Cylinder Surface area=2πr(r + h)
- Cone Volume=(1/3)πr²h
- Cone Surface area=πr(r + l), slant l = √(r² + h²)
- Square pyramid Volume=(1/3)·b²·h
- Square pyramid Surface area=b² + 2b·l
- Triangular prism Volume=(½·b·h)·L (L = length)
समकोण त्रिभुज और पाइथागोरस प्रमेय
- Pythagorean theorem=a² + b² = c²
- Common triples=3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25
- 45-45-90 triangle sides=1 : 1 : √2
- 30-60-90 triangle sides=1 : √3 : 2
- Trig ratios (SOH-CAH-TOA)=sin θ = opp/hyp, cos θ = adj/hyp, tan θ = opp/adj
निर्देशांक ज्यामिति
- Distance d=√((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- Midpoint=((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
- Slope m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- Line (slope-intercept)=y = mx + b
- Line (point-slope)=y − y₁ = m(x − x₁)
ये मानक ज्यामिति सूत्र हैं। प्रत्येक सभी अनुमेय मानों के लिए सत्य होता है, इसलिए आप इसे संख्याएँ रखकर जाँच सकते हैं — उदाहरण के लिए त्रिज्या 3 वाले गोले का आयतन (4/3)π·3³ = 36π ≈ 113.097 होता है। ✓
2D आकृतियाँ — क्षेत्रफल और परिमाप
- Square Area = s²
- Square Perimeter = 4s
- Rectangle Area = l·w
- Rectangle Perimeter = 2(l + w)
- Triangle Area = ½·b·h
- Triangle Area (Heron) = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), s = (a+b+c)/2
- Parallelogram Area = b·h
- Trapezoid Area = ½(a + b)·h
- Rhombus Area = ½·d₁·d₂
- Regular polygon (n sides) Area = ½·n·s·a = ½·P·a (a = apothem, P = perimeter)
वृत्त और दीर्घवृत्त
- Circle Circumference = 2πr = πd
- Circle Area = πr²
- Arc length = rθ (θ in radians) = 2πr·(θ°/360)
- Sector area = ½r²θ = πr²·(θ°/360)
- Ellipse Area = π·a·b (a, b = semi-axes)
3D ठोस — आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल
- Cube Volume = s³
- Cube Surface area = 6s²
- Rectangular prism Volume = l·w·h
- Rectangular prism Surface area = 2(lw + lh + wh)
- Sphere Volume = (4/3)πr³
- Sphere Surface area = 4πr²
- Cylinder Volume = πr²h
- Cylinder Surface area = 2πr(r + h)
- Cone Volume = (1/3)πr²h
- Cone Surface area = πr(r + l), slant l = √(r² + h²)
- Square pyramid Volume = (1/3)·b²·h
- Square pyramid Surface area = b² + 2b·l
- Triangular prism Volume = (½·b·h)·L (L = length)
समकोण त्रिभुज और पाइथागोरस प्रमेय
- Pythagorean theorem = a² + b² = c²
- Common triples = 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25
- 45-45-90 triangle sides = 1 : 1 : √2
- 30-60-90 triangle sides = 1 : √3 : 2
- Trig ratios (SOH-CAH-TOA) = sin θ = opp/hyp, cos θ = adj/hyp, tan θ = opp/adj
निर्देशांक ज्यामिति
- Distance d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- Midpoint = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
- Slope m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- Line (slope-intercept) = y = mx + b
- Line (point-slope) = y − y₁ = m(x − x₁)
ज्यामिति संदर्भ के बारे में
यह वह ज्यामिति चीट शीट है जिसका विद्यार्थी सबसे अधिक सहारा लेते हैं: वर्ग, आयत, त्रिभुज, समांतर चतुर्भुज, समलंब, समचतुर्भुज और सम बहुभुज का क्षेत्रफल और परिमाप; वृत्त के लिए परिधि, क्षेत्रफल, चाप की लंबाई और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल, साथ ही दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल; घन, आयताकार घनाभ, गोला, बेलन, शंकु, वर्गाकार पिरामिड और त्रिकोणीय प्रिज्म का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल; सामान्य पूर्णांक त्रिकों सहित पाइथागोरस प्रमेय, तथा 45-45-90 और 30-60-90 विशेष समकोण त्रिभुज; और निर्देशांक ज्यामिति — दूरी, मध्यबिंदु, ढाल और रेखा के समीकरण — ठीक उसी क्रम में व्यवस्थित जैसे इन्हें पढ़ाया जाता है। विषय के अनुसार कार्ड देखें। प्रत्येक सूत्र स्पष्ट यूनिकोड संकेतन में लिखा गया है — कोई चित्र नहीं — जिससे यह आपके नोट्स में साफ-सुथरा कॉपी होता है और सहायक तकनीक व एआई के लिए पढ़ना आसान होता है। इस पृष्ठ को स्थिर PDF से जो चीज़ अलग बनाती है वह यह है कि यह UnitConv के इंटरैक्टिव उपकरणों से जुड़ा हुआ है: «3D में आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल देखें» पर टैप करें और देखें कि आप जैसे-जैसे आयाम बदलते हैं, ठोस अपना आकार कैसे बदलता है, «इकाई वृत्त» या «त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ» पर टैप करके पाइथागोरस अनुपातों को त्रिकोणमिति से जोड़ें, या किसी वास्तविक समस्या के लिए सीधे क्षेत्रफल या आयतन की इकाइयों में बदलें। इन सूत्रों के स्रोतों में Paul's Online Math Notes, Mathwords और Wolfram MathWorld शामिल हैं। इसे गृहकार्य संदर्भ, परीक्षा दोहराव सूची, या ज्यामिति के प्रश्नों को हल करते समय त्वरित खोज के रूप में उपयोग करें।
इस संदर्भ का उपयोग कैसे करें
- 1 समूहबद्ध कार्डों में अपना आवश्यक विषय खोजें — 2D आकृतियाँ, वृत्त, 3D ठोस, समकोण त्रिभुज या निर्देशांक ज्यामिति।
- 2 स्पष्ट यूनिकोड संकेतन में सूत्र को सीधे अपने कार्य में कॉपी करें, या इससे अपने परिणाम की जाँच करें।
- 3 «3D में आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल देखें» या «इकाई वृत्त» पर टैप करके इंटरैक्टिव उपकरण खोलें और सूत्र को क्रियान्वित होते देखें।
ये ज्यामिति सूत्र आपस में कैसे जुड़ते हैं
ज्यामिति सूत्र आयाम के अनुसार तीन समूहों में बँटते हैं, और इकाइयों को स्पष्ट रखना मददगार होता है: परिमाप एक लंबाई है (m), क्षेत्रफल लंबाई का वर्ग है (m²), और आयतन लंबाई का घन है (m³)। हर 2D क्षेत्रफल सूत्र किसी न किसी रूप में «आधार गुणा ऊँचाई» तक सिमट जाता है — आयत l·w है, समांतर चतुर्भुज b·h है, और त्रिभुज इसका आधा है, ½·b·h, क्योंकि त्रिभुज ठीक उसी आधार और ऊँचाई वाले समांतर चतुर्भुज का आधा होता है। हीरॉन का सूत्र, क्षेत्रफल = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) जहाँ s = (a+b+c)/2 है, केवल तीन भुजाओं की लंबाइयों से — बिना ऊँचाई की आवश्यकता के — वही त्रिभुज का क्षेत्रफल देता है — 3-4-5 वाले समकोण त्रिभुज के लिए यह √(6·3·2·1) = 6 देता है, जो ठीक ½·3·4 = 6 से मेल खाता है। वृत्त के सूत्र (परिधि 2πr, क्षेत्रफल πr²) एक सम बहुभुज की सीमांत स्थिति हैं जिसकी भुजाओं की संख्या असीमित रूप से बढ़ती है, यही कारण है कि चाप की लंबाई rθ और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ½r²θ भी वृत्त के सूत्रों को पूरे चक्कर के अंश के अनुसार मापे गए रूप मात्र हैं। 3D में, आयतन सूत्र आम तौर पर आधार क्षेत्रफल को ऊँचाई से गुणा करते हैं (बेलन πr²·h है, प्रिज्म आधार क्षेत्रफल गुणा लंबाई है), जबकि शंकु और पिरामिड को ⅓ का गुणक मिलता है क्योंकि वे एक बिंदु तक संकरे होते जाते हैं। पाइथागोरस प्रमेय a²+b² = c² विशेष समकोण त्रिभुजों (45-45-90 भुजाओं का अनुपात 1:1:√2 देता है, क्योंकि 1²+1²=2=(√2)² है) और निर्देशांकों में दूरी सूत्र दोनों का आधार है, जो दो बिंदुओं के बीच क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अंतरों पर लागू किया गया पाइथागोरस प्रमेय मात्र है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
वृत्त का क्षेत्रफल क्या है?
वृत्त का क्षेत्रफल πr² है, जहाँ r त्रिज्या है। त्रिज्या 2 वाले वृत्त के लिए, क्षेत्रफल π·2² = 4π ≈ 12.566 वर्ग इकाई होता है। यदि इसके बजाय व्यास d दिया गया है, तो पहले r = d/2 का उपयोग करें। परिधि, यानी वृत्त के चारों ओर की दूरी, एक अलग सूत्र का पालन करती है: 2πr (या πd)।
गोले के आयतन का सूत्र क्या है?
गोले का आयतन (4/3)πr³ है, जहाँ r त्रिज्या है। त्रिज्या 3 वाले गोले के लिए, आयतन (4/3)π·3³ = 36π ≈ 113.097 घन इकाई होता है। उसी गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल एक संबंधित लेकिन भिन्न सूत्र, 4πr², का उपयोग करता है — r = 3 पर यह 4π·3² = 36π ≈ 113.097 वर्ग इकाई देता है (यहाँ संख्या समान केवल इसलिए है क्योंकि r = 3 पर दोनों सूत्र संयोगवश संख्यात्मक रूप से मेल खाते हैं; सामान्यतः वे भिन्न होते हैं)।
पाइथागोरस प्रमेय क्या है?
पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि समकोण त्रिभुज में a² + b² = c² होता है, जहाँ a और b समकोण बनाने वाली दो भुजाएँ हैं और c कर्ण (समकोण के सामने वाली भुजा) है। इससे आप किसी भी भुजा को तब निकाल सकते हैं जब अन्य दो ज्ञात हों: c = √(a²+b²), या a = √(c²−b²)। सामान्य पूर्णांक हल, जिन्हें पाइथागोरस त्रिक कहते हैं, में 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 और 7-24-25 शामिल हैं — इनका कोई भी गुणज भी काम करता है, जैसे 6-8-10।
बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल कैसे निकालें?
बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल 2πr(r + h) है, जहाँ r त्रिज्या और h ऊँचाई है। यह दो वृत्ताकार सिरों, प्रत्येक πr² (मिलाकर 2πr²), को घुमावदार पार्श्व सतह में जोड़ने से आता है, जो खोलने पर 2πr·h क्षेत्रफल वाला आयत बनाती है। r = 1 और h = 1 वाले बेलन के लिए, पृष्ठीय क्षेत्रफल 2π·1·(1+1) = 4π ≈ 12.566 वर्ग इकाई होता है।
संबंधित उपकरण
इनमें से किसी भी सूत्र को UnitConv पर एक इंटरैक्टिव अन्वेषण में बदलें: सॉलिड ज्योमेट्री उपकरण से देखें कि घन, गोला, बेलन, शंकु और पिरामिड के लिए आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल कैसे बदलते हैं, इकाई वृत्त पर देखें कि पाइथागोरस अनुपात साइन और कोसाइन को कैसे नियंत्रित करते हैं, कोणों को समकोण त्रिभुजों से जोड़ने वाली त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की समीक्षा करें, या किसी गणना किए गए क्षेत्रफल या आयतन को सीधे अपनी आवश्यक इकाइयों में बदलें।