기하 공식
필요한 모든 기하 공식을 정리된 표 하나에 담았습니다 — 정사각형, 직사각형, 삼각형, 다각형의 넓이와 둘레, 원과 타원 공식, 정육면체, 구, 원기둥, 원뿔, 각뿔의 부피와 겉넓이, 피타고라스 정리와 특수각 직각삼각형, 좌표기하 — 인터랙티브 3D 입체 시각화 도구와 단위원으로 바로 연결되는 원터치 링크가 있어 곧바로 도형을 확인할 수 있습니다.
평면도형 — 넓이와 둘레
- Square Area=s²
- Square Perimeter=4s
- Rectangle Area=l·w
- Rectangle Perimeter=2(l + w)
- Triangle Area=½·b·h
- Triangle Area (Heron)=√(s(s−a)(s−b)(s−c)), s = (a+b+c)/2
- Parallelogram Area=b·h
- Trapezoid Area=½(a + b)·h
- Rhombus Area=½·d₁·d₂
- Regular polygon (n sides) Area=½·n·s·a = ½·P·a (a = apothem, P = perimeter)
원과 타원
- Circle Circumference=2πr = πd
- Circle Area=πr²
- Arc length=rθ (θ in radians) = 2πr·(θ°/360)
- Sector area=½r²θ = πr²·(θ°/360)
- Ellipse Area=π·a·b (a, b = semi-axes)
입체도형 — 부피와 겉넓이
- Cube Volume=s³
- Cube Surface area=6s²
- Rectangular prism Volume=l·w·h
- Rectangular prism Surface area=2(lw + lh + wh)
- Sphere Volume=(4/3)πr³
- Sphere Surface area=4πr²
- Cylinder Volume=πr²h
- Cylinder Surface area=2πr(r + h)
- Cone Volume=(1/3)πr²h
- Cone Surface area=πr(r + l), slant l = √(r² + h²)
- Square pyramid Volume=(1/3)·b²·h
- Square pyramid Surface area=b² + 2b·l
- Triangular prism Volume=(½·b·h)·L (L = length)
직각삼각형과 피타고라스 정리
- Pythagorean theorem=a² + b² = c²
- Common triples=3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25
- 45-45-90 triangle sides=1 : 1 : √2
- 30-60-90 triangle sides=1 : √3 : 2
- Trig ratios (SOH-CAH-TOA)=sin θ = opp/hyp, cos θ = adj/hyp, tan θ = opp/adj
좌표기하
- Distance d=√((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- Midpoint=((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
- Slope m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- Line (slope-intercept)=y = mx + b
- Line (point-slope)=y − y₁ = m(x − x₁)
이것들은 표준적인 기하 공식입니다. 각 식은 허용되는 모든 값에 대해 성립하므로 숫자를 대입해 확인할 수 있습니다 — 예를 들어 반지름이 3인 구의 부피는 (4/3)π·3³ = 36π ≈ 113.097입니다. ✓
평면도형 — 넓이와 둘레
- Square Area = s²
- Square Perimeter = 4s
- Rectangle Area = l·w
- Rectangle Perimeter = 2(l + w)
- Triangle Area = ½·b·h
- Triangle Area (Heron) = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), s = (a+b+c)/2
- Parallelogram Area = b·h
- Trapezoid Area = ½(a + b)·h
- Rhombus Area = ½·d₁·d₂
- Regular polygon (n sides) Area = ½·n·s·a = ½·P·a (a = apothem, P = perimeter)
원과 타원
- Circle Circumference = 2πr = πd
- Circle Area = πr²
- Arc length = rθ (θ in radians) = 2πr·(θ°/360)
- Sector area = ½r²θ = πr²·(θ°/360)
- Ellipse Area = π·a·b (a, b = semi-axes)
입체도형 — 부피와 겉넓이
- Cube Volume = s³
- Cube Surface area = 6s²
- Rectangular prism Volume = l·w·h
- Rectangular prism Surface area = 2(lw + lh + wh)
- Sphere Volume = (4/3)πr³
- Sphere Surface area = 4πr²
- Cylinder Volume = πr²h
- Cylinder Surface area = 2πr(r + h)
- Cone Volume = (1/3)πr²h
- Cone Surface area = πr(r + l), slant l = √(r² + h²)
- Square pyramid Volume = (1/3)·b²·h
- Square pyramid Surface area = b² + 2b·l
- Triangular prism Volume = (½·b·h)·L (L = length)
직각삼각형과 피타고라스 정리
- Pythagorean theorem = a² + b² = c²
- Common triples = 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25
- 45-45-90 triangle sides = 1 : 1 : √2
- 30-60-90 triangle sides = 1 : √3 : 2
- Trig ratios (SOH-CAH-TOA) = sin θ = opp/hyp, cos θ = adj/hyp, tan θ = opp/adj
좌표기하
- Distance d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- Midpoint = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
- Slope m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- Line (slope-intercept) = y = mx + b
- Line (point-slope) = y − y₁ = m(x − x₁)
기하 공식집에 관하여
이것은 학생들이 가장 많이 찾는 기하 요약표입니다: 정사각형, 직사각형, 삼각형, 평행사변형, 사다리꼴, 마름모, 정다각형의 넓이와 둘레; 원의 둘레, 넓이, 호의 길이, 부채꼴의 넓이, 그리고 타원의 넓이; 정육면체, 직육면체, 구, 원기둥, 원뿔, 사각뿔, 삼각기둥의 부피와 겉넓이; 흔한 정수 세 쌍을 포함한 피타고라스 정리와 45-45-90, 30-60-90 특수각 직각삼각형; 그리고 거리, 중점, 기울기, 직선의 방정식을 포함한 좌표기하 — 배우는 순서 그대로 정리했습니다. 주제별 카드를 살펴보세요. 모든 공식은 이미지가 아니라 깔끔한 유니코드 표기로 작성되어 필기에 그대로 복사되며 보조 기술과 AI가 읽기에도 쉽습니다. 이 페이지가 정적 PDF와 다른 점은 UnitConv의 인터랙티브 도구와 연결되어 있다는 것입니다: "3D로 부피·겉넓이 시각화"를 누르면 치수를 조정할 때마다 입체가 모양을 바꾸는 모습을 볼 수 있고, "단위원"이나 "삼각함수 항등식"을 누르면 피타고라스 비율을 삼각함수와 연결할 수 있으며, 계산한 넓이나 부피를 실제 문제에 맞는 단위로 바로 변환할 수도 있습니다. 이 공식들의 출처에는 Paul's Online Math Notes, Mathwords, Wolfram MathWorld가 있습니다. 숙제 참고서, 시험 복습 목록, 또는 기하 문제를 푸는 도중의 빠른 조회용으로 활용하세요.
이 참고서 사용법
- 1 그룹화된 카드에서 필요한 주제를 찾으세요 — 평면도형, 원, 입체도형, 직각삼각형 또는 좌표기하.
- 2 깔끔한 유니코드 표기의 공식을 그대로 작업에 복사하거나, 자신의 결과를 이에 견주어 확인하세요.
- 3 "3D로 부피·겉넓이 시각화" 또는 "단위원"을 눌러 인터랙티브 도구를 열고 공식이 실제로 작동하는 모습을 확인하세요.
이 기하 공식들이 어떻게 맞물리는가
기하 공식은 차원에 따라 세 가지 계열로 나뉘며, 단위를 분명히 구분해 두면 도움이 됩니다: 둘레는 길이(m)이고, 넓이는 길이의 제곱(m²)이며, 부피는 길이의 세제곱(m³)입니다. 2차원 넓이 공식은 어떤 형태로든 "밑변 곱하기 높이"로 귀결됩니다 — 직사각형은 l·w이고, 평행사변형은 b·h이며, 삼각형은 그 절반인 ½·b·h입니다. 삼각형은 같은 밑변과 높이를 가진 평행사변형의 정확히 절반이기 때문입니다. 헤론의 공식, 넓이 = √(s(s−a)(s−b)(s−c))(s = (a+b+c)/2)는 높이 없이 세 변의 길이만으로 같은 삼각형의 넓이를 구해 줍니다 — 3-4-5 직각삼각형에서는 √(6·3·2·1) = 6이 되어 ½·3·4 = 6과 정확히 일치합니다. 원의 공식(둘레 2πr, 넓이 πr²)은 변의 개수가 한없이 늘어나는 정다각형의 극한에 해당하며, 그래서 호의 길이 rθ와 부채꼴의 넓이 ½r²θ도 원의 공식을 한 바퀴에 대한 비율만큼 조정한 것에 불과합니다. 3차원에서는 부피 공식이 대체로 밑넓이에 높이를 곱한 형태입니다(원기둥은 πr²·h, 각기둥은 밑넓이 곱하기 길이). 반면 원뿔과 각뿔은 한 점으로 좁아지기 때문에 ⅓이라는 계수가 붙습니다. 피타고라스 정리 a²+b² = c²는 특수각 직각삼각형(45-45-90은 변의 비가 1:1:√2가 되는데, 1²+1²=2=(√2)²이기 때문입니다)과, 두 점 사이의 수평·수직 차이에 이 정리를 적용한 것일 뿐인 좌표상의 거리 공식 모두의 바탕이 됩니다.
자주 묻는 질문
원의 넓이는 어떻게 구하나요?
원의 넓이는 πr²이며, r은 반지름입니다. 반지름이 2인 원이라면 넓이는 π·2² = 4π ≈ 12.566 제곱단위가 됩니다. 지름 d가 주어졌다면 먼저 r = d/2를 계산하세요. 원의 둘레, 즉 원을 한 바퀴 도는 거리는 다른 공식인 2πr(또는 πd)을 따릅니다.
구의 부피 공식은 무엇인가요?
구의 부피는 (4/3)πr³이며, r은 반지름입니다. 반지름이 3인 구라면 부피는 (4/3)π·3³ = 36π ≈ 113.097 세제곱단위가 됩니다. 같은 구의 겉넓이는 관련은 있지만 다른 공식인 4πr²을 사용합니다 — r = 3일 때 4π·3² = 36π ≈ 113.097 제곱단위가 되는데, 여기서 숫자가 같은 것은 단지 r = 3일 때 두 공식이 수치상 우연히 일치하기 때문이며, 일반적으로는 서로 다릅니다.
피타고라스 정리란 무엇인가요?
피타고라스 정리는 직각삼각형에서 a² + b² = c²가 성립한다는 것입니다. 여기서 a와 b는 두 밑변(직각을 낀 변)이고, c는 빗변(직각의 대변)입니다. 이를 이용하면 다른 두 변을 알 때 나머지 한 변을 구할 수 있습니다: c = √(a²+b²), 또는 a = √(c²−b²). 흔히 쓰이는 정수 해, 즉 피타고라스 세 쌍에는 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25가 있으며, 이들의 배수인 6-8-10 같은 경우도 성립합니다.
원기둥의 겉넓이는 어떻게 구하나요?
원기둥의 겉넓이는 2πr(r + h)이며, r은 반지름, h는 높이입니다. 이는 두 개의 원형 밑면(각각 πr², 합쳐서 2πr²)과, 펼치면 넓이가 2πr·h인 직사각형이 되는 옆면(곡면)을 더한 것입니다. r = 1, h = 1인 원기둥이라면 겉넓이는 2π·1·(1+1) = 4π ≈ 12.566 제곱단위가 됩니다.
관련 도구
이 공식들 중 무엇이든 UnitConv에서 인터랙티브하게 확인해 보세요: 입체도형 계산기로 정육면체, 구, 원기둥, 원뿔, 각뿔의 부피와 겉넓이가 어떻게 변하는지 시각화하고, 단위원에서 피타고라스 비율이 사인과 코사인을 어떻게 결정하는지 살펴보고, 각도와 직각삼각형을 연결하는 삼각함수 항등식을 복습하거나, 계산한 넓이나 부피를 필요한 단위로 바로 변환하세요.