Geometría — Fórmulas
Todas las fórmulas de geometría que necesitas en una tabla organizada — área y perímetro del cuadrado, el rectángulo, el triángulo y los polígonos, las fórmulas del círculo y la elipse, el volumen y el área de superficie del cubo, la esfera, el cilindro, el cono y la pirámide, el teorema de Pitágoras y los triángulos rectángulos especiales, y la geometría de coordenadas — con enlaces de un toque a nuestro visualizador de sólidos 3D interactivo y el círculo unitario para explorar la forma de inmediato.
Formas 2D — área y perímetro
- Square Area=s²
- Square Perimeter=4s
- Rectangle Area=l·w
- Rectangle Perimeter=2(l + w)
- Triangle Area=½·b·h
- Triangle Area (Heron)=√(s(s−a)(s−b)(s−c)), s = (a+b+c)/2
- Parallelogram Area=b·h
- Trapezoid Area=½(a + b)·h
- Rhombus Area=½·d₁·d₂
- Regular polygon (n sides) Area=½·n·s·a = ½·P·a (a = apothem, P = perimeter)
Círculos y elipses
- Circle Circumference=2πr = πd
- Circle Area=πr²
- Arc length=rθ (θ in radians) = 2πr·(θ°/360)
- Sector area=½r²θ = πr²·(θ°/360)
- Ellipse Area=π·a·b (a, b = semi-axes)
Sólidos 3D — volumen y área de superficie
- Cube Volume=s³
- Cube Surface area=6s²
- Rectangular prism Volume=l·w·h
- Rectangular prism Surface area=2(lw + lh + wh)
- Sphere Volume=(4/3)πr³
- Sphere Surface area=4πr²
- Cylinder Volume=πr²h
- Cylinder Surface area=2πr(r + h)
- Cone Volume=(1/3)πr²h
- Cone Surface area=πr(r + l), slant l = √(r² + h²)
- Square pyramid Volume=(1/3)·b²·h
- Square pyramid Surface area=b² + 2b·l
- Triangular prism Volume=(½·b·h)·L (L = length)
Triángulos rectángulos y el teorema de Pitágoras
- Pythagorean theorem=a² + b² = c²
- Common triples=3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25
- 45-45-90 triangle sides=1 : 1 : √2
- 30-60-90 triangle sides=1 : √3 : 2
- Trig ratios (SOH-CAH-TOA)=sin θ = opp/hyp, cos θ = adj/hyp, tan θ = opp/adj
Geometría de coordenadas
- Distance d=√((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- Midpoint=((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
- Slope m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- Line (slope-intercept)=y = mx + b
- Line (point-slope)=y − y₁ = m(x − x₁)
Estas son las fórmulas de geometría estándar. Cada una se cumple para todos los valores admisibles, así que puedes comprobarla sustituyendo números — por ejemplo, una esfera de radio 3 tiene un volumen de (4/3)π·3³ = 36π ≈ 113,097. ✓
Formas 2D — área y perímetro
- Square Area = s²
- Square Perimeter = 4s
- Rectangle Area = l·w
- Rectangle Perimeter = 2(l + w)
- Triangle Area = ½·b·h
- Triangle Area (Heron) = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), s = (a+b+c)/2
- Parallelogram Area = b·h
- Trapezoid Area = ½(a + b)·h
- Rhombus Area = ½·d₁·d₂
- Regular polygon (n sides) Area = ½·n·s·a = ½·P·a (a = apothem, P = perimeter)
Círculos y elipses
- Circle Circumference = 2πr = πd
- Circle Area = πr²
- Arc length = rθ (θ in radians) = 2πr·(θ°/360)
- Sector area = ½r²θ = πr²·(θ°/360)
- Ellipse Area = π·a·b (a, b = semi-axes)
Sólidos 3D — volumen y área de superficie
- Cube Volume = s³
- Cube Surface area = 6s²
- Rectangular prism Volume = l·w·h
- Rectangular prism Surface area = 2(lw + lh + wh)
- Sphere Volume = (4/3)πr³
- Sphere Surface area = 4πr²
- Cylinder Volume = πr²h
- Cylinder Surface area = 2πr(r + h)
- Cone Volume = (1/3)πr²h
- Cone Surface area = πr(r + l), slant l = √(r² + h²)
- Square pyramid Volume = (1/3)·b²·h
- Square pyramid Surface area = b² + 2b·l
- Triangular prism Volume = (½·b·h)·L (L = length)
Triángulos rectángulos y el teorema de Pitágoras
- Pythagorean theorem = a² + b² = c²
- Common triples = 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25
- 45-45-90 triangle sides = 1 : 1 : √2
- 30-60-90 triangle sides = 1 : √3 : 2
- Trig ratios (SOH-CAH-TOA) = sin θ = opp/hyp, cos θ = adj/hyp, tan θ = opp/adj
Geometría de coordenadas
- Distance d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- Midpoint = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
- Slope m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- Line (slope-intercept) = y = mx + b
- Line (point-slope) = y − y₁ = m(x − x₁)
Acerca de la referencia de geometría
Esta es la chuleta de geometría a la que más recurren los estudiantes: el área y el perímetro del cuadrado, el rectángulo, el triángulo, el paralelogramo, el trapecio, el rombo y el polígono regular; la circunferencia, el área, la longitud de arco y el área de un sector para el círculo, además del área de la elipse; el volumen y el área de superficie del cubo, el prisma rectangular, la esfera, el cilindro, el cono, la pirámide de base cuadrada y el prisma triangular; el teorema de Pitágoras con las ternas enteras comunes y los triángulos rectángulos especiales 45-45-90 y 30-60-90; y la geometría de coordenadas — distancia, punto medio, pendiente y las ecuaciones de una recta. Cada fórmula está escrita en notación Unicode clara —sin imágenes— por lo que se copia limpiamente en tus apuntes y es fácil de leer para la tecnología de asistencia y la IA. Lo que distingue esta página de un PDF estático es que está conectada con las herramientas interactivas de UnitConv: toca «Visualizar el volumen y el área de superficie en 3D» para ver cómo un sólido cambia de forma mientras ajustas sus dimensiones, «Círculo unitario» o «Identidades trigonométricas» para conectar las razones pitagóricas con la trigonometría, o convierte directamente a unidades de área o volumen para un problema real. Las fuentes de estas fórmulas incluyen Paul's Online Math Notes, Mathwords y Wolfram MathWorld. Úsala como referencia para las tareas, como lista de repaso para los exámenes o como consulta rápida mientras resuelves un conjunto de ejercicios de geometría.
Cómo usar esta referencia
- 1 Encuentra el tema que necesitas en las tarjetas agrupadas — formas 2D, círculos, sólidos 3D, triángulos rectángulos o geometría de coordenadas.
- 2 Copia la fórmula en notación Unicode clara directamente en tu trabajo, o comprueba tu propio resultado con ella.
- 3 Toca «Visualizar el volumen y el área de superficie en 3D» o «Círculo unitario» para abrir una herramienta interactiva y ver la fórmula en acción.
Cómo encajan estas fórmulas de geometría
Las fórmulas de geometría se dividen en tres familias según la dimensión, y ayuda mantener las unidades claras: el perímetro y la circunferencia son longitudes (m), el área es una longitud al cuadrado (m²), y el volumen es una longitud al cubo (m³). Toda fórmula de área en 2D se reduce, de alguna forma, a «base por altura» — un rectángulo es l·a, un paralelogramo es b·h, y un triángulo es la mitad de eso, ½·b·h, porque un triángulo es exactamente la mitad de un paralelogramo que comparte la misma base y altura. La fórmula de Herón, Área = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) con s = (a+b+c)/2, da la misma área del triángulo solo a partir de las tres longitudes de los lados, sin necesitar la altura — para un triángulo rectángulo 3-4-5 da √(6·3·2·1) = 6, coincidiendo exactamente con ½·3·4 = 6. Las fórmulas del círculo (circunferencia 2πr, área πr²) son el caso límite de un polígono regular cuando el número de lados crece sin límite, lo cual también explica por qué la longitud de arco rθ y el área de un sector ½r²θ son solo las fórmulas del círculo escaladas por la fracción de una vuelta completa. En 3D, las fórmulas de volumen generalmente multiplican un área de base por una altura (un cilindro es πr²·h, un prisma es el área de la base por la longitud), mientras que los conos y las pirámides reciben un factor de ⅓ porque se estrechan hasta un punto. El teorema de Pitágoras a²+b² = c² sustenta tanto los triángulos rectángulos especiales (45-45-90 da lados 1:1:√2, ya que 1²+1²=2=(√2)²) como la fórmula de la distancia en coordenadas, que es el teorema de Pitágoras aplicado a las diferencias horizontal y vertical entre dos puntos.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es el área de un círculo?
El área de un círculo es πr², donde r es el radio. Para un círculo de radio 2, el área es π·2² = 4π ≈ 12,566 unidades cuadradas. Si te dan el diámetro d en su lugar, usa primero r = d/2. La circunferencia, la distancia alrededor del círculo, sigue una fórmula distinta: 2πr (o πd).
¿Cuál es la fórmula del volumen de una esfera?
El volumen de una esfera es (4/3)πr³, donde r es el radio. Para una esfera de radio 3, el volumen es (4/3)π·3³ = 36π ≈ 113,097 unidades cúbicas. El área de superficie de esa misma esfera usa una fórmula relacionada pero distinta, 4πr² — para r = 3 eso da 4π·3² = 36π ≈ 113,097 unidades cuadradas (el mismo número aquí solo porque r = 3 hace que las dos fórmulas coincidan numéricamente; en general difieren).
¿Qué es el teorema de Pitágoras?
El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, a² + b² = c², donde a y b son los dos catetos y c es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto). Te permite hallar cualquier lado cuando conoces los otros dos: c = √(a²+b²), o a = √(c²−b²). Las soluciones enteras comunes, llamadas ternas pitagóricas, incluyen 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 y 7-24-25 — cualquier múltiplo de estas también funciona, como 6-8-10.
¿Cómo se halla el área de superficie de un cilindro?
El área de superficie de un cilindro es 2πr(r + h), donde r es el radio y h la altura. Esto proviene de sumar las dos bases circulares, cada una πr² (juntas 2πr²), a la superficie lateral curva, que se desenrolla en un rectángulo de área 2πr·h. Para un cilindro con r = 1 y h = 1, el área de superficie es 2π·1·(1+1) = 4π ≈ 12,566 unidades cuadradas.
Herramientas relacionadas
Convierte cualquiera de estas fórmulas en una exploración interactiva en UnitConv: visualiza cómo cambian el volumen y el área de superficie del cubo, la esfera, el cilindro, el cono y la pirámide con la herramienta de geometría de sólidos, observa cómo las razones pitagóricas determinan el seno y el coseno en el círculo unitario, repasa las identidades trigonométricas que conectan los ángulos con los triángulos rectángulos, o convierte un área o volumen calculado directamente a las unidades que necesites.