Геометрия (формулы)
Все нужные формулы геометрии в одной упорядоченной таблице — площадь и периметр квадрата, прямоугольника, треугольника и многоугольников, формулы окружности и эллипса, объём и площадь поверхности куба, шара, цилиндра, конуса и пирамиды, теорема Пифагора и особые прямоугольные треугольники, а также координатная геометрия — со ссылками в одно касание на наш интерактивный визуализатор объёмных тел и единичную окружность, чтобы сразу исследовать фигуру.
Плоские фигуры — площадь и периметр
- Square Area=s²
- Square Perimeter=4s
- Rectangle Area=l·w
- Rectangle Perimeter=2(l + w)
- Triangle Area=½·b·h
- Triangle Area (Heron)=√(s(s−a)(s−b)(s−c)), s = (a+b+c)/2
- Parallelogram Area=b·h
- Trapezoid Area=½(a + b)·h
- Rhombus Area=½·d₁·d₂
- Regular polygon (n sides) Area=½·n·s·a = ½·P·a (a = apothem, P = perimeter)
Окружности и эллипсы
- Circle Circumference=2πr = πd
- Circle Area=πr²
- Arc length=rθ (θ in radians) = 2πr·(θ°/360)
- Sector area=½r²θ = πr²·(θ°/360)
- Ellipse Area=π·a·b (a, b = semi-axes)
Объёмные тела — объём и площадь поверхности
- Cube Volume=s³
- Cube Surface area=6s²
- Rectangular prism Volume=l·w·h
- Rectangular prism Surface area=2(lw + lh + wh)
- Sphere Volume=(4/3)πr³
- Sphere Surface area=4πr²
- Cylinder Volume=πr²h
- Cylinder Surface area=2πr(r + h)
- Cone Volume=(1/3)πr²h
- Cone Surface area=πr(r + l), slant l = √(r² + h²)
- Square pyramid Volume=(1/3)·b²·h
- Square pyramid Surface area=b² + 2b·l
- Triangular prism Volume=(½·b·h)·L (L = length)
Прямоугольные треугольники и теорема Пифагора
- Pythagorean theorem=a² + b² = c²
- Common triples=3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25
- 45-45-90 triangle sides=1 : 1 : √2
- 30-60-90 triangle sides=1 : √3 : 2
- Trig ratios (SOH-CAH-TOA)=sin θ = opp/hyp, cos θ = adj/hyp, tan θ = opp/adj
Координатная геометрия
- Distance d=√((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- Midpoint=((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
- Slope m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- Line (slope-intercept)=y = mx + b
- Line (point-slope)=y − y₁ = m(x − x₁)
Это стандартные формулы геометрии. Каждая из них верна для всех допустимых значений, поэтому её можно проверить подстановкой чисел — например, шар радиусом 3 имеет объём (4/3)π·3³ = 36π ≈ 113,097. ✓
Плоские фигуры — площадь и периметр
- Square Area = s²
- Square Perimeter = 4s
- Rectangle Area = l·w
- Rectangle Perimeter = 2(l + w)
- Triangle Area = ½·b·h
- Triangle Area (Heron) = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), s = (a+b+c)/2
- Parallelogram Area = b·h
- Trapezoid Area = ½(a + b)·h
- Rhombus Area = ½·d₁·d₂
- Regular polygon (n sides) Area = ½·n·s·a = ½·P·a (a = apothem, P = perimeter)
Окружности и эллипсы
- Circle Circumference = 2πr = πd
- Circle Area = πr²
- Arc length = rθ (θ in radians) = 2πr·(θ°/360)
- Sector area = ½r²θ = πr²·(θ°/360)
- Ellipse Area = π·a·b (a, b = semi-axes)
Объёмные тела — объём и площадь поверхности
- Cube Volume = s³
- Cube Surface area = 6s²
- Rectangular prism Volume = l·w·h
- Rectangular prism Surface area = 2(lw + lh + wh)
- Sphere Volume = (4/3)πr³
- Sphere Surface area = 4πr²
- Cylinder Volume = πr²h
- Cylinder Surface area = 2πr(r + h)
- Cone Volume = (1/3)πr²h
- Cone Surface area = πr(r + l), slant l = √(r² + h²)
- Square pyramid Volume = (1/3)·b²·h
- Square pyramid Surface area = b² + 2b·l
- Triangular prism Volume = (½·b·h)·L (L = length)
Прямоугольные треугольники и теорема Пифагора
- Pythagorean theorem = a² + b² = c²
- Common triples = 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25
- 45-45-90 triangle sides = 1 : 1 : √2
- 30-60-90 triangle sides = 1 : √3 : 2
- Trig ratios (SOH-CAH-TOA) = sin θ = opp/hyp, cos θ = adj/hyp, tan θ = opp/adj
Координатная геометрия
- Distance d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
- Midpoint = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
- Slope m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
- Line (slope-intercept) = y = mx + b
- Line (point-slope) = y − y₁ = m(x − x₁)
О справочнике по геометрии
Это та самая шпаргалка по геометрии, к которой чаще всего обращаются учащиеся: площадь и периметр квадрата, прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба и правильного многоугольника; длина окружности, площадь, длина дуги и площадь сектора для окружности, а также площадь эллипса; объём и площадь поверхности куба, прямоугольного параллелепипеда, шара, цилиндра, конуса, четырёхугольной пирамиды и треугольной призмы; теорема Пифагора с распространёнными целочисленными тройками и особые прямоугольные треугольники 45-45-90 и 30-60-90; и координатная геометрия — расстояние, середина отрезка, угловой коэффициент и уравнения прямой. Каждая формула записана в чистой нотации Unicode — без изображений — поэтому она аккуратно копируется в ваши записи и легко читается вспомогательными технологиями и ИИ. Эта страница отличается от статичного PDF тем, что связана с интерактивными инструментами UnitConv: нажмите «Визуализировать объём и площадь поверхности в 3D», чтобы увидеть, как тело меняет форму при изменении его размеров, «Единичная окружность» или «Тригонометрические тождества», чтобы связать пифагоровы отношения с тригонометрией, либо переведите площадь или объём прямо в нужные единицы для реальной задачи. Среди источников этих формул — Paul's Online Math Notes, Mathwords и Wolfram MathWorld. Используйте её как справочник для домашних заданий, список для повторения перед экзаменом или быстрый поиск во время работы над набором задач по геометрии.
Как пользоваться этим справочником
- 1 Найдите нужную тему в сгруппированных карточках — плоские фигуры, окружности, объёмные тела, прямоугольные треугольники или координатная геометрия.
- 2 Скопируйте формулу в чистой записи Unicode прямо в свою работу или сверьте с ней собственный результат.
- 3 Нажмите «Визуализировать объём и площадь поверхности в 3D» или «Единичная окружность», чтобы открыть интерактивный инструмент и увидеть формулу в действии.
Как эти формулы геометрии связаны между собой
Формулы геометрии делятся на три семейства по размерности, и полезно чётко различать единицы измерения: периметр и длина окружности — это длины (м), площадь — это длина в квадрате (м²), а объём — это длина в кубе (м³). Любая формула площади в 2D в той или иной форме сводится к «основание умножить на высоту» — прямоугольник это l·w, параллелограмм это b·h, а треугольник — половина этого, ½·b·h, потому что треугольник — это ровно половина параллелограмма с тем же основанием и высотой. Формула Герона, Площадь = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) при s = (a+b+c)/2, даёт ту же площадь треугольника только по трём длинам сторон, без необходимости знать высоту — для прямоугольного треугольника 3-4-5 она даёт √(6·3·2·1) = 6, что точно совпадает с ½·3·4 = 6. Формулы окружности (длина окружности 2πr, площадь πr²) — предельный случай правильного многоугольника при неограниченном росте числа сторон, поэтому длина дуги rθ и площадь сектора ½r²θ — это просто формулы окружности, масштабированные на долю полного оборота. В 3D формулы объёма обычно умножают площадь основания на высоту (цилиндр — это πr²·h, призма — площадь основания на длину), а конусы и пирамиды получают множитель ⅓, потому что сужаются до точки. Теорема Пифагора a²+b² = c² лежит в основе как особых прямоугольных треугольников (45-45-90 даёт стороны 1:1:√2, поскольку 1²+1²=2=(√2)²), так и формулы расстояния в координатах, которая представляет собой теорему Пифагора, применённую к горизонтальной и вертикальной разностям между двумя точками.
Часто задаваемые вопросы
Как найти площадь круга?
Площадь круга равна πr², где r — радиус. Для круга радиусом 2 площадь равна π·2² = 4π ≈ 12,566 квадратных единиц. Если вместо этого дан диаметр d, сначала используйте r = d/2. Длина окружности, расстояние вокруг круга, вычисляется по другой формуле: 2πr (или πd).
Какова формула объёма шара?
Объём шара равен (4/3)πr³, где r — радиус. Для шара радиусом 3 объём равен (4/3)π·3³ = 36π ≈ 113,097 кубических единиц. Площадь поверхности того же шара вычисляется по родственной, но другой формуле, 4πr² — при r = 3 это даёт 4π·3² = 36π ≈ 113,097 квадратных единиц (здесь то же самое число только потому, что при r = 3 обе формулы численно совпадают; в общем случае они различаются).
Что такое теорема Пифагора?
Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике a² + b² = c², где a и b — два катета, а c — гипотенуза (сторона, противолежащая прямому углу). Она позволяет найти любую сторону, если известны две другие: c = √(a²+b²), или a = √(c²−b²). Распространённые целочисленные решения, называемые пифагоровыми тройками, включают 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 и 7-24-25 — любое их кратное тоже подходит, например 6-8-10.
Как найти площадь поверхности цилиндра?
Площадь поверхности цилиндра равна 2πr(r + h), где r — радиус, а h — высота. Она складывается из двух круглых оснований, каждое площадью πr² (вместе 2πr²), и боковой изогнутой поверхности, которая разворачивается в прямоугольник площадью 2πr·h. Для цилиндра с r = 1 и h = 1 площадь поверхности равна 2π·1·(1+1) = 4π ≈ 12,566 квадратных единиц.
Связанные инструменты
Превратите любую из этих формул в интерактивное исследование на UnitConv: посмотрите, как меняются объём и площадь поверхности куба, шара, цилиндра, конуса и пирамиды с помощью инструмента стереометрии, увидьте, как пифагоровы отношения задают синус и косинус на единичной окружности, повторите тригонометрические тождества, связывающие углы с прямоугольными треугольниками, или переведите вычисленную площадь или объём прямо в нужные вам единицы.