微积分公式
把你需要的每一个导数和积分整理进一张表格 — 幂函数、指数、对数、三角、反三角与双曲函数的公式一应俱全 — 并附有一键链接到我们的交互式导数与积分求解器,让你立刻上手自己的题目。
常见导数
幂函数与根式
- d/dx(c)=0
- d/dx(x)=1
- d/dx(xⁿ)=n·xⁿ⁻¹
- d/dx(√x)=1/(2√x)
指数与对数
- d/dx(eˣ)=eˣ
- d/dx(aˣ)=aˣ·ln a
- d/dx(ln x)=1/x
- d/dx(logₐx)=1/(x·ln a)
三角函数
- d/dx(sin x)=cos x
- d/dx(cos x)=−sin x
- d/dx(tan x)=sec²x
- d/dx(cot x)=−csc²x
- d/dx(sec x)=sec x·tan x
- d/dx(csc x)=−csc x·cot x
反三角函数
- d/dx(arcsin x)=1/√(1−x²)
- d/dx(arccos x)=−1/√(1−x²)
- d/dx(arctan x)=1/(1+x²)
法则
- (f ± g)′=f′ ± g′
- (c·f)′=c·f′
- (f·g)′=f′g + fg′
- (f/g)′=(f′g − fg′)/g²
- (f(g(x)))′=f′(g(x))·g′(x)
双曲函数
- d/dx(sinh x)=cosh x
- d/dx(cosh x)=sinh x
- d/dx(tanh x)=sech²x
这些都是标准的基本结果。任何积分都可以通过对结果求导、还原出原函数来验证 — 例如 d/dx(−cos x) = sin x 就证实了 ∫sin x dx = −cos x + C。
常见导数
幂函数与根式
- d/dx(c) = 0
- d/dx(x) = 1
- d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹
- d/dx(√x) = 1/(2√x)
指数与对数
- d/dx(eˣ) = eˣ
- d/dx(aˣ) = aˣ·ln a
- d/dx(ln x) = 1/x
- d/dx(logₐx) = 1/(x·ln a)
三角函数
- d/dx(sin x) = cos x
- d/dx(cos x) = −sin x
- d/dx(tan x) = sec²x
- d/dx(cot x) = −csc²x
- d/dx(sec x) = sec x·tan x
- d/dx(csc x) = −csc x·cot x
反三角函数
- d/dx(arcsin x) = 1/√(1−x²)
- d/dx(arccos x) = −1/√(1−x²)
- d/dx(arctan x) = 1/(1+x²)
法则
- (f ± g)′ = f′ ± g′
- (c·f)′ = c·f′
- (f·g)′ = f′g + fg′
- (f/g)′ = (f′g − fg′)/g²
- (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)
双曲函数
- d/dx(sinh x) = cosh x
- d/dx(cosh x) = sinh x
- d/dx(tanh x) = sech²x
常见积分
幂函数与根式
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1)
- ∫1/x dx = ln|x| + C
- ∫1 dx = x + C
指数与对数
- ∫eˣ dx = eˣ + C
- ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C
- ∫ln x dx = x·ln x − x + C
三角函数
- ∫sin x dx = −cos x + C
- ∫cos x dx = sin x + C
- ∫sec²x dx = tan x + C
- ∫csc²x dx = −cot x + C
- ∫sec x·tan x dx = sec x + C
- ∫tan x dx = −ln|cos x| + C
- ∫cot x dx = ln|sin x| + C
反三角函数
- ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C
- ∫1/√(1−x²) dx = arcsin x + C
- ∫1/(a²+x²) dx = (1/a)·arctan(x/a) + C
法则
- ∫(f ± g) dx = ∫f dx ± ∫g dx
- ∫c·f dx = c·∫f dx
- ∫u dv = u·v − ∫v du
关于微积分公式
这是学生最常翻阅的微积分速查表:常见的导数和不定积分,完全按照课堂讲授的方式整理。在「导数」和「积分」选项卡之间切换,按类别浏览卡片 — 幂函数与根式法则(包括 d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹ 和 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C)、指数与对数法则、六个三角函数及其反函数、微分与积分法则(乘积、商、链式、线性性与分部积分),以及基本的双曲函数导数。每个公式都以整洁的 Unicode 记号书写 — 没有图片 — 因此可以干净地复制到你的笔记中,也便于辅助技术和 AI 阅读。与静态 PDF 不同的是,本页与 UnitConv 的交互式计算器相连:找到所需公式后,点按「求解你自己的导数」或「求解你自己的积分」即可打开我们的分步求解器,计算你实际的题目。把它当作作业参考、考试复习清单,或在做一套微积分题时的快速查询工具。
如何使用本速查表
- 1 根据你要查找的内容,选择「导数」或「积分」选项卡。
- 2 在分组卡片中找到公式 — 幂函数、指数、对数、三角、反三角、法则或双曲 — 并抄到你的解答里。
- 3 点按「求解你自己的导数」或「求解你自己的积分」,打开交互式计算器,计算你自己的函数。
导数与积分如何相互联系
微分与积分是互逆运算,这正是微积分基本定理的核心:若 F′(x) = f(x),则 ∫f(x) dx = F(x) + C。因此积分表中的每一项都可以通过对结果求导来验证: • ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C,因为 d/dx(xⁿ⁺¹/(n+1)) = (n+1)·xⁿ/(n+1) = xⁿ(在 n ≠ −1 时成立;缺失的情形 ∫1/x dx = ln|x| + C 补上了这个缺口)。 • ∫sin x dx = −cos x + C,因为 d/dx(−cos x) = sin x;∫cos x dx = sin x + C,因为 d/dx(sin x) = cos x。 • ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C,因为 d/dx(arctan x) = 1/(1+x²)。 不定积分带有积分常数「+ C」,是因为任何常数求导都为零,所以原函数只能确定到相差一个常数。微分法则(乘积、商与链式)及其积分对应(线性性与分部积分 ∫u dv = u·v − ∫v du,它其实就是把乘积法则反过来用)让你能把这些基本模块推广到几乎任何初等函数。
常见问题
最常见、需要背下来的导数有哪些?
最基本的是幂法则 d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹,指数与对数法则 d/dx(eˣ) = eˣ 和 d/dx(ln x) = 1/x,以及三角函数导数 d/dx(sin x) = cos x、d/dx(cos x) = −sin x 和 d/dx(tan x) = sec²x。配合乘积、商与链式法则,它们就能让你对初级微积分课程中遇到的几乎任何初等函数求导。
为什么每个不定积分都带「+ C」?
因为对常数求导得零,同一函数的任意两个原函数只相差一个常数。所以不定积分不是单个函数,而是一整族函数,用积分常数「+ C」来表示。例如 ∫cos x dx = sin x + C,而 sin x + 3 和 sin x − 7 都是有效的原函数。只有在给定初始条件或计算定积分时,这个常数才被确定下来。
如何检验一个积分是否正确?
对你的结果求导 — 如果得回原来的被积函数,积分就是对的。这之所以可行,是因为微分与积分是互逆运算。例如,要验证 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C,对右边求导:d/dx(xⁿ⁺¹/(n+1)) = (n+1)·xⁿ/(n+1) = xⁿ,恰好就是被积函数。这种自我检验是发现错误最快的办法。
什么是分部积分?
分部积分是乘积法则的积分对应:∫u dv = u·v − ∫v du。当被积函数是两类不同函数的乘积时使用 — 例如 x·eˣ 或 x·ln x — 选取 u 和 dv,使剩下的积分 ∫v du 比原来的更简单。选取 u 的常用口诀是 LIATE 顺序(对数、反三角、代数、三角、指数)。
相关工具
在 UnitConv 上把这些公式中的任意一条变成一道完整解答:用导数计算器一步步求导,用积分计算器求原函数和定积分,查阅一路上会用到的三角恒等式,并用科学记数法转换器整理很大或很小的数。