미적분 공식
필요한 모든 도함수와 적분을 하나의 정리된 표로 — 거듭제곱, 지수, 로그, 삼각, 역삼각, 쌍곡선 함수 공식까지 — 대화형 미분·적분 풀이기로 이어지는 원터치 링크와 함께 제공하여 자신의 문제를 바로 풀 수 있습니다.
자주 쓰는 도함수
거듭제곱과 근호
- d/dx(c)=0
- d/dx(x)=1
- d/dx(xⁿ)=n·xⁿ⁻¹
- d/dx(√x)=1/(2√x)
지수와 로그
- d/dx(eˣ)=eˣ
- d/dx(aˣ)=aˣ·ln a
- d/dx(ln x)=1/x
- d/dx(logₐx)=1/(x·ln a)
삼각함수
- d/dx(sin x)=cos x
- d/dx(cos x)=−sin x
- d/dx(tan x)=sec²x
- d/dx(cot x)=−csc²x
- d/dx(sec x)=sec x·tan x
- d/dx(csc x)=−csc x·cot x
역삼각함수
- d/dx(arcsin x)=1/√(1−x²)
- d/dx(arccos x)=−1/√(1−x²)
- d/dx(arctan x)=1/(1+x²)
법칙
- (f ± g)′=f′ ± g′
- (c·f)′=c·f′
- (f·g)′=f′g + fg′
- (f/g)′=(f′g − fg′)/g²
- (f(g(x)))′=f′(g(x))·g′(x)
쌍곡선함수
- d/dx(sinh x)=cosh x
- d/dx(cosh x)=sinh x
- d/dx(tanh x)=sech²x
이는 표준적인 기본 결과입니다. 모든 적분은 답을 미분하여 원래 함수로 되돌아가는지 확인할 수 있습니다 — 예를 들어 d/dx(−cos x) = sin x 는 ∫sin x dx = −cos x + C 를 뒷받침합니다.
자주 쓰는 도함수
거듭제곱과 근호
- d/dx(c) = 0
- d/dx(x) = 1
- d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹
- d/dx(√x) = 1/(2√x)
지수와 로그
- d/dx(eˣ) = eˣ
- d/dx(aˣ) = aˣ·ln a
- d/dx(ln x) = 1/x
- d/dx(logₐx) = 1/(x·ln a)
삼각함수
- d/dx(sin x) = cos x
- d/dx(cos x) = −sin x
- d/dx(tan x) = sec²x
- d/dx(cot x) = −csc²x
- d/dx(sec x) = sec x·tan x
- d/dx(csc x) = −csc x·cot x
역삼각함수
- d/dx(arcsin x) = 1/√(1−x²)
- d/dx(arccos x) = −1/√(1−x²)
- d/dx(arctan x) = 1/(1+x²)
법칙
- (f ± g)′ = f′ ± g′
- (c·f)′ = c·f′
- (f·g)′ = f′g + fg′
- (f/g)′ = (f′g − fg′)/g²
- (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)
쌍곡선함수
- d/dx(sinh x) = cosh x
- d/dx(cosh x) = sinh x
- d/dx(tanh x) = sech²x
자주 쓰는 적분
거듭제곱과 근호
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1)
- ∫1/x dx = ln|x| + C
- ∫1 dx = x + C
지수와 로그
- ∫eˣ dx = eˣ + C
- ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C
- ∫ln x dx = x·ln x − x + C
삼각함수
- ∫sin x dx = −cos x + C
- ∫cos x dx = sin x + C
- ∫sec²x dx = tan x + C
- ∫csc²x dx = −cot x + C
- ∫sec x·tan x dx = sec x + C
- ∫tan x dx = −ln|cos x| + C
- ∫cot x dx = ln|sin x| + C
역삼각함수
- ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C
- ∫1/√(1−x²) dx = arcsin x + C
- ∫1/(a²+x²) dx = (1/a)·arctan(x/a) + C
법칙
- ∫(f ± g) dx = ∫f dx ± ∫g dx
- ∫c·f dx = c·∫f dx
- ∫u dv = u·v − ∫v du
미적분 공식 모음 소개
이것은 학생들이 가장 많이 찾는 미적분 치트시트입니다. 자주 쓰는 도함수와 부정적분을 수업에서 배우는 방식 그대로 정리했습니다. 「도함수」와 「적분」 탭을 전환하며 유형별 카드를 살펴보세요 — 거듭제곱·근호 법칙(d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹ 와 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C 포함), 지수·로그 법칙, 여섯 개의 삼각함수와 그 역함수, 미분·적분 법칙(곱, 몫, 연쇄, 선형성, 부분적분), 그리고 기본 쌍곡선함수 도함수까지 담았습니다. 모든 공식은 이미지가 아닌 깔끔한 유니코드 표기로 작성되어 노트에 그대로 복사하기 좋고 보조 기술과 AI가 읽기에도 편합니다. 이 페이지가 정적인 PDF와 다른 점은 UnitConv의 대화형 계산기와 연결되어 있다는 것입니다. 필요한 공식을 찾으면 「직접 미분해 보기」 또는 「직접 적분해 보기」를 눌러 단계별 풀이기를 열고 실제 문제를 풀어 보세요. 숙제 참고서로, 시험 복습 목록으로, 또는 미적분 문제를 푸는 동안 빠른 조회용으로 사용하세요.
이 참고자료 사용법
- 1 찾으려는 내용에 따라 「도함수」 또는 「적분」 탭을 선택하세요.
- 2 묶음 카드에서 공식을 찾으세요 — 거듭제곱, 지수, 로그, 삼각, 역삼각, 법칙 또는 쌍곡선 — 그리고 풀이에 옮겨 적으세요.
- 3 「직접 미분해 보기」 또는 「직접 적분해 보기」를 눌러 대화형 계산기를 열고 자신의 함수를 계산하세요.
도함수와 적분은 어떻게 연결되나
미분과 적분은 서로 역연산이며, 이것이 바로 미적분학의 기본정리의 핵심입니다. F′(x) = f(x) 이면 ∫f(x) dx = F(x) + C 입니다. 그래서 적분표의 모든 항목은 답을 미분하여 검증할 수 있습니다: • ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, 왜냐하면 d/dx(xⁿ⁺¹/(n+1)) = (n+1)·xⁿ/(n+1) = xⁿ 이기 때문입니다(n ≠ −1 에서 성립하며, 빠진 경우 ∫1/x dx = ln|x| + C 가 그 자리를 채웁니다). • ∫sin x dx = −cos x + C, 왜냐하면 d/dx(−cos x) = sin x 이고, ∫cos x dx = sin x + C, 왜냐하면 d/dx(sin x) = cos x 이기 때문입니다. • ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C, 왜냐하면 d/dx(arctan x) = 1/(1+x²) 이기 때문입니다. 부정적분에는 적분상수 「+ C」가 붙는데, 어떤 상수를 미분해도 0이 되므로 원시함수는 그 상수만큼의 차이까지만 정해지기 때문입니다. 미분 법칙(곱, 몫, 연쇄)과 그 적분 대응(선형성과 부분적분 ∫u dv = u·v − ∫v du, 이는 곱의 법칙을 거꾸로 적용한 것일 뿐입니다)을 사용하면 이 기본 요소들을 거의 모든 초등함수로 확장할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
가장 자주 외워야 할 도함수는 무엇인가요?
핵심은 거듭제곱 법칙 d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹, 지수·로그 법칙 d/dx(eˣ) = eˣ 와 d/dx(ln x) = 1/x, 그리고 삼각함수 도함수 d/dx(sin x) = cos x, d/dx(cos x) = −sin x, d/dx(tan x) = sec²x 입니다. 이를 곱·몫·연쇄 법칙과 결합하면 첫 미적분 강의에서 만나는 거의 모든 초등함수를 미분할 수 있습니다.
왜 모든 부정적분에는 「+ C」가 붙나요?
상수를 미분하면 0이 되므로, 같은 함수의 두 원시함수는 상수만큼만 차이가 납니다. 따라서 부정적분은 하나의 함수가 아니라 적분상수 「+ C」로 표기되는 함수들의 모임 전체입니다. 예를 들어 ∫cos x dx = sin x + C 이며, sin x + 3 과 sin x − 7 모두 유효한 원시함수입니다. 이 상수는 초기 조건이 있거나 정적분을 계산할 때에만 확정됩니다.
적분이 맞는지 어떻게 확인하나요?
답을 미분해 보세요 — 원래의 피적분함수가 다시 나오면 그 적분은 맞습니다. 미분과 적분이 서로 역연산이기 때문에 이렇게 됩니다. 예를 들어 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C 를 확인하려면 오른쪽을 미분합니다: d/dx(xⁿ⁺¹/(n+1)) = (n+1)·xⁿ/(n+1) = xⁿ, 이는 바로 피적분함수입니다. 이 자가 점검은 실수를 잡아내는 가장 빠른 방법입니다.
부분적분이란 무엇인가요?
부분적분은 곱의 법칙의 적분 대응입니다: ∫u dv = u·v − ∫v du. 피적분함수가 서로 다른 종류의 함수의 곱일 때 사용합니다 — 예를 들어 x·eˣ 나 x·ln x — 남는 적분 ∫v du 가 원래보다 간단해지도록 u 와 dv 를 고릅니다. u 를 고를 때 흔히 쓰는 지침은 LIATE 순서(로그, 역삼각, 대수, 삼각, 지수)입니다.
관련 도구
이 공식들 중 어느 것이든 UnitConv에서 풀이가 담긴 해답으로 바꿔 보세요: 미분 계산기로 함수를 단계별로 미분하고, 적분 계산기로 원시함수와 정적분을 구하고, 가는 길에 필요한 삼각함수 항등식을 찾아보고, 과학적 표기법 변환기로 크거나 작은 수를 정리하세요.