Kalkulus — Rumus
Setiap turunan dan integral yang kamu butuhkan dalam satu tabel yang tertata — aturan pangkat, eksponensial, logaritma, trigonometri, invers trigonometri, dan hiperbolik — dengan tautan sekali ketuk ke penyelesai turunan dan integral interaktif kami agar kamu bisa langsung mengerjakan soalmu sendiri.
Turunan umum
Pangkat & Akar
- d/dx(c)=0
- d/dx(x)=1
- d/dx(xⁿ)=n·xⁿ⁻¹
- d/dx(√x)=1/(2√x)
Eksponensial & Logaritma
- d/dx(eˣ)=eˣ
- d/dx(aˣ)=aˣ·ln a
- d/dx(ln x)=1/x
- d/dx(logₐx)=1/(x·ln a)
Trigonometri
- d/dx(sin x)=cos x
- d/dx(cos x)=−sin x
- d/dx(tan x)=sec²x
- d/dx(cot x)=−csc²x
- d/dx(sec x)=sec x·tan x
- d/dx(csc x)=−csc x·cot x
Invers Trigonometri
- d/dx(arcsin x)=1/√(1−x²)
- d/dx(arccos x)=−1/√(1−x²)
- d/dx(arctan x)=1/(1+x²)
Aturan
- (f ± g)′=f′ ± g′
- (c·f)′=c·f′
- (f·g)′=f′g + fg′
- (f/g)′=(f′g − fg′)/g²
- (f(g(x)))′=f′(g(x))·g′(x)
Hiperbolik
- d/dx(sinh x)=cosh x
- d/dx(cosh x)=sinh x
- d/dx(tanh x)=sech²x
Ini adalah hasil elementer standar. Setiap integral dapat diperiksa dengan menurunkan jawabannya untuk mengembalikan fungsi aslinya — misalnya d/dx(−cos x) = sin x menegaskan bahwa ∫sin x dx = −cos x + C.
Turunan umum
Pangkat & Akar
- d/dx(c) = 0
- d/dx(x) = 1
- d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹
- d/dx(√x) = 1/(2√x)
Eksponensial & Logaritma
- d/dx(eˣ) = eˣ
- d/dx(aˣ) = aˣ·ln a
- d/dx(ln x) = 1/x
- d/dx(logₐx) = 1/(x·ln a)
Trigonometri
- d/dx(sin x) = cos x
- d/dx(cos x) = −sin x
- d/dx(tan x) = sec²x
- d/dx(cot x) = −csc²x
- d/dx(sec x) = sec x·tan x
- d/dx(csc x) = −csc x·cot x
Invers Trigonometri
- d/dx(arcsin x) = 1/√(1−x²)
- d/dx(arccos x) = −1/√(1−x²)
- d/dx(arctan x) = 1/(1+x²)
Aturan
- (f ± g)′ = f′ ± g′
- (c·f)′ = c·f′
- (f·g)′ = f′g + fg′
- (f/g)′ = (f′g − fg′)/g²
- (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)
Hiperbolik
- d/dx(sinh x) = cosh x
- d/dx(cosh x) = sinh x
- d/dx(tanh x) = sech²x
Integral umum
Pangkat & Akar
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1)
- ∫1/x dx = ln|x| + C
- ∫1 dx = x + C
Eksponensial & Logaritma
- ∫eˣ dx = eˣ + C
- ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C
- ∫ln x dx = x·ln x − x + C
Trigonometri
- ∫sin x dx = −cos x + C
- ∫cos x dx = sin x + C
- ∫sec²x dx = tan x + C
- ∫csc²x dx = −cot x + C
- ∫sec x·tan x dx = sec x + C
- ∫tan x dx = −ln|cos x| + C
- ∫cot x dx = ln|sin x| + C
Invers Trigonometri
- ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C
- ∫1/√(1−x²) dx = arcsin x + C
- ∫1/(a²+x²) dx = (1/a)·arctan(x/a) + C
Aturan
- ∫(f ± g) dx = ∫f dx ± ∫g dx
- ∫c·f dx = c·∫f dx
- ∫u dv = u·v − ∫v du
Tentang Rumus Kalkulus
Ini adalah contekan kalkulus yang paling sering dituju siswa: turunan umum dan integral tak tentu, ditata persis seperti cara diajarkan. Beralihlah antara tab Turunan dan Integral, lalu telusuri kartu berdasarkan jenis — aturan pangkat dan akar (termasuk d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹ dan ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C), aturan eksponensial dan logaritma, enam fungsi trigonometri dan inversnya, aturan penurunan dan pengintegralan (perkalian, pembagian, rantai, linearitas, dan integral parsial), serta turunan hiperbolik dasar. Setiap rumus ditulis dalam notasi Unicode yang bersih — tanpa gambar — sehingga tersalin rapi ke catatanmu dan mudah dibaca teknologi bantu maupun AI. Yang membedakan halaman ini dari PDF statis adalah keterhubungannya dengan kalkulator interaktif UnitConv: begitu menemukan aturan yang kamu perlukan, ketuk «Selesaikan turunanmu sendiri» atau «Selesaikan integralmu sendiri» untuk membuka penyelesai langkah demi langkah dan menjalankan soal aslimu. Gunakan sebagai rujukan pekerjaan rumah, daftar ulasan ujian, atau pencarian cepat saat kamu mengerjakan sekumpulan soal kalkulus.
Cara memakai referensi ini
- 1 Pilih tab Turunan atau Integral sesuai yang sedang kamu cari.
- 2 Temukan aturannya di kartu yang dikelompokkan — pangkat, eksponensial, logaritma, trigonometri, invers, aturan, atau hiperbolik — lalu salin ke pekerjaanmu.
- 3 Ketuk «Selesaikan turunanmu sendiri» atau «Selesaikan integralmu sendiri» untuk membuka kalkulator interaktif dan menjalankan fungsimu sendiri.
Bagaimana turunan dan integral saling terhubung
Penurunan dan pengintegralan adalah operasi yang saling berkebalikan, dan itulah inti dari Teorema Dasar Kalkulus: jika F′(x) = f(x), maka ∫f(x) dx = F(x) + C. Itulah sebabnya setiap entri pada tabel integral dapat diverifikasi dengan menurunkan jawabannya: • ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C karena d/dx(xⁿ⁺¹/(n+1)) = (n+1)·xⁿ/(n+1) = xⁿ (berlaku untuk n ≠ −1; kasus yang hilang ∫1/x dx = ln|x| + C mengisi celahnya). • ∫sin x dx = −cos x + C karena d/dx(−cos x) = sin x, dan ∫cos x dx = sin x + C karena d/dx(sin x) = cos x. • ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C karena d/dx(arctan x) = 1/(1+x²). Integral tak tentu membawa konstanta pengintegralan «+ C» karena menurunkan konstanta apa pun menghasilkan nol, sehingga antiturunan hanya ditentukan hingga konstanta itu. Aturan penurunan (perkalian, pembagian, dan rantai) beserta padanan integralnya (linearitas dan integral parsial, ∫u dv = u·v − ∫v du, yang tak lain adalah aturan perkalian yang dijalankan mundur) memungkinkanmu memperluas balok-balok dasar ini ke hampir semua fungsi elementer.
Pertanyaan yang sering diajukan
Apa saja turunan paling umum yang perlu dihafal?
Yang pokok adalah aturan pangkat d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹, aturan eksponensial dan logaritma d/dx(eˣ) = eˣ dan d/dx(ln x) = 1/x, serta turunan trigonometri d/dx(sin x) = cos x, d/dx(cos x) = −sin x, dan d/dx(tan x) = sec²x. Dipadukan dengan aturan perkalian, pembagian, dan rantai, semuanya memungkinkanmu menurunkan hampir semua fungsi elementer yang kamu temui di kursus kalkulus pertama.
Mengapa setiap integral tak tentu punya «+ C»?
Karena menurunkan sebuah konstanta menghasilkan nol, dua antiturunan mana pun dari fungsi yang sama hanya berbeda sebuah konstanta. Jadi integral tak tentu bukan satu fungsi tunggal, melainkan satu keluarga utuh, yang ditulis dengan konstanta pengintegralan «+ C». Misalnya ∫cos x dx = sin x + C, dan baik sin x + 3 maupun sin x − 7 adalah antiturunan yang sah. Konstanta itu baru dipastikan ketika kamu punya kondisi awal atau menghitung integral tentu.
Bagaimana cara memeriksa apakah sebuah integral benar?
Turunkan jawabanmu — jika kamu mendapatkan kembali integran aslinya, integralnya benar. Ini berhasil karena penurunan dan pengintegralan adalah operasi yang saling berkebalikan. Misalnya, untuk memastikan ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, turunkan ruas kanan: d/dx(xⁿ⁺¹/(n+1)) = (n+1)·xⁿ/(n+1) = xⁿ, yang persis integrannya. Pemeriksaan mandiri ini adalah cara tercepat menangkap kesalahan.
Apa itu integral parsial?
Integral parsial adalah padanan integral dari aturan perkalian: ∫u dv = u·v − ∫v du. Kamu memakainya ketika integran berupa perkalian dua jenis fungsi berbeda — misalnya x·eˣ atau x·ln x — dengan memilih u dan dv agar integral sisa ∫v du lebih sederhana daripada aslinya. Panduan umum memilih u adalah urutan LIATE (logaritma, invers trigonometri, aljabar, trigonometri, eksponensial).
Alat terkait
Ubah aturan mana pun ini menjadi solusi yang dikerjakan di UnitConv: turunkan fungsi langkah demi langkah dengan kalkulator turunan, temukan antiturunan dan integral tentu dengan kalkulator integral, cari identitas trigonometri yang kamu perlukan di sepanjang jalan, dan rapikan angka besar atau kecil dengan konverter notasi ilmiah.