Cálculo — Fórmulas
Cada derivada e integral de que você precisa em uma tabela organizada — regras de potência, exponencial, logarítmica, trigonométrica, trigonométrica inversa e hiperbólica — com links de um toque para nossos solucionadores interativos de derivadas e integrais para você resolver seu próprio problema na hora.
Derivadas comuns
Potências e raízes
- d/dx(c)=0
- d/dx(x)=1
- d/dx(xⁿ)=n·xⁿ⁻¹
- d/dx(√x)=1/(2√x)
Exponencial e logaritmo
- d/dx(eˣ)=eˣ
- d/dx(aˣ)=aˣ·ln a
- d/dx(ln x)=1/x
- d/dx(logₐx)=1/(x·ln a)
Trigonométricas
- d/dx(sin x)=cos x
- d/dx(cos x)=−sin x
- d/dx(tan x)=sec²x
- d/dx(cot x)=−csc²x
- d/dx(sec x)=sec x·tan x
- d/dx(csc x)=−csc x·cot x
Trigonométricas inversas
- d/dx(arcsin x)=1/√(1−x²)
- d/dx(arccos x)=−1/√(1−x²)
- d/dx(arctan x)=1/(1+x²)
Regras
- (f ± g)′=f′ ± g′
- (c·f)′=c·f′
- (f·g)′=f′g + fg′
- (f/g)′=(f′g − fg′)/g²
- (f(g(x)))′=f′(g(x))·g′(x)
Hiperbólicas
- d/dx(sinh x)=cosh x
- d/dx(cosh x)=sinh x
- d/dx(tanh x)=sech²x
Estes são os resultados elementares padrão. Toda integral pode ser verificada derivando o resultado para recuperar a função original — por exemplo, d/dx(−cos x) = sin x confirma que ∫sin x dx = −cos x + C.
Derivadas comuns
Potências e raízes
- d/dx(c) = 0
- d/dx(x) = 1
- d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹
- d/dx(√x) = 1/(2√x)
Exponencial e logaritmo
- d/dx(eˣ) = eˣ
- d/dx(aˣ) = aˣ·ln a
- d/dx(ln x) = 1/x
- d/dx(logₐx) = 1/(x·ln a)
Trigonométricas
- d/dx(sin x) = cos x
- d/dx(cos x) = −sin x
- d/dx(tan x) = sec²x
- d/dx(cot x) = −csc²x
- d/dx(sec x) = sec x·tan x
- d/dx(csc x) = −csc x·cot x
Trigonométricas inversas
- d/dx(arcsin x) = 1/√(1−x²)
- d/dx(arccos x) = −1/√(1−x²)
- d/dx(arctan x) = 1/(1+x²)
Regras
- (f ± g)′ = f′ ± g′
- (c·f)′ = c·f′
- (f·g)′ = f′g + fg′
- (f/g)′ = (f′g − fg′)/g²
- (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)
Hiperbólicas
- d/dx(sinh x) = cosh x
- d/dx(cosh x) = sinh x
- d/dx(tanh x) = sech²x
Integrais comuns
Potências e raízes
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1)
- ∫1/x dx = ln|x| + C
- ∫1 dx = x + C
Exponencial e logaritmo
- ∫eˣ dx = eˣ + C
- ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C
- ∫ln x dx = x·ln x − x + C
Trigonométricas
- ∫sin x dx = −cos x + C
- ∫cos x dx = sin x + C
- ∫sec²x dx = tan x + C
- ∫csc²x dx = −cot x + C
- ∫sec x·tan x dx = sec x + C
- ∫tan x dx = −ln|cos x| + C
- ∫cot x dx = ln|sin x| + C
Trigonométricas inversas
- ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C
- ∫1/√(1−x²) dx = arcsin x + C
- ∫1/(a²+x²) dx = (1/a)·arctan(x/a) + C
Regras
- ∫(f ± g) dx = ∫f dx ± ∫g dx
- ∫c·f dx = c·∫f dx
- ∫u dv = u·v − ∫v du
Sobre as fórmulas de cálculo
Esta é a cola de cálculo que os estudantes mais consultam: as derivadas comuns e as integrais indefinidas, organizadas exatamente como são ensinadas. Alterne entre as abas Derivadas e Integrais e navegue pelos cartões por tipo — regras de potência e raiz (incluindo d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹ e ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C), regras exponenciais e logarítmicas, as seis funções trigonométricas e suas inversas, as regras de derivação e integração (produto, quociente, cadeia, linearidade e integração por partes) e as derivadas hiperbólicas básicas. Cada fórmula está escrita em notação Unicode limpa — sem imagens — para que se copie perfeitamente nas suas anotações e seja fácil de ler para tecnologias assistivas e IA. O que diferencia esta página de um PDF estático é que ela está conectada às calculadoras interativas do UnitConv: quando encontrar a regra de que precisa, toque em «Resolva sua própria derivada» ou «Resolva sua própria integral» para abrir nossos solucionadores passo a passo e rodar seu problema real. Use-a como referência de tarefas, como lista de revisão para a prova ou como consulta rápida enquanto resolve uma lista de cálculo.
Como usar esta referência
- 1 Escolha a aba Derivadas ou Integrais conforme o que você procura.
- 2 Encontre a regra nos cartões agrupados — potência, exponencial, logaritmo, trigonométricas, inversas, regras ou hiperbólicas — e copie-a para o seu trabalho.
- 3 Toque em «Resolva sua própria derivada» ou «Resolva sua própria integral» para abrir a calculadora interativa e rodar sua própria função.
Como derivadas e integrais se conectam
A derivação e a integração são operações inversas, que é justamente o sentido do teorema fundamental do cálculo: se F′(x) = f(x), então ∫f(x) dx = F(x) + C. Por isso cada entrada da tabela de integrais pode ser verificada derivando o resultado: • ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C porque d/dx(xⁿ⁺¹/(n+1)) = (n+1)·xⁿ/(n+1) = xⁿ (válido para n ≠ −1; o caso que falta ∫1/x dx = ln|x| + C preenche a lacuna). • ∫sin x dx = −cos x + C porque d/dx(−cos x) = sin x, e ∫cos x dx = sin x + C porque d/dx(sin x) = cos x. • ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C porque d/dx(arctan x) = 1/(1+x²). A integral indefinida carrega uma constante de integração «+ C» porque derivar qualquer constante dá zero, de modo que a antiderivada só fica determinada a menos dessa constante. As regras de derivação (produto, quociente e cadeia) e suas contrapartes integrais (linearidade e integração por partes, ∫u dv = u·v − ∫v du, que é apenas a regra do produto ao contrário) permitem estender esses blocos básicos a quase qualquer função elementar.
Perguntas frequentes
Quais são as derivadas mais comuns para memorizar?
O essencial é a regra da potência d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹, as regras exponencial e logarítmica d/dx(eˣ) = eˣ e d/dx(ln x) = 1/x, e as derivadas trigonométricas d/dx(sin x) = cos x, d/dx(cos x) = −sin x e d/dx(tan x) = sec²x. Combinadas com as regras do produto, do quociente e da cadeia, elas permitem derivar quase qualquer função elementar que você encontre num primeiro curso de cálculo.
Por que toda integral indefinida tem um «+ C»?
Como derivar uma constante dá zero, quaisquer duas antiderivadas da mesma função diferem apenas por uma constante. Assim, a integral indefinida não é uma única função, mas toda uma família, escrita com a constante de integração «+ C». Por exemplo, ∫cos x dx = sin x + C, e tanto sin x + 3 quanto sin x − 7 são antiderivadas válidas. A constante só é fixada quando você tem uma condição inicial ou avalia uma integral definida.
Como verifico se uma integral está correta?
Derive o seu resultado — se você recuperar o integrando original, a integral está certa. Isso funciona porque a derivação e a integração são operações inversas. Por exemplo, para confirmar ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, derive o lado direito: d/dx(xⁿ⁺¹/(n+1)) = (n+1)·xⁿ/(n+1) = xⁿ, que é exatamente o integrando. Essa autoverificação é a forma mais rápida de detectar um erro.
O que é integração por partes?
A integração por partes é a contraparte integral da regra do produto: ∫u dv = u·v − ∫v du. Você a usa quando o integrando é um produto de dois tipos diferentes de função — por exemplo x·eˣ ou x·ln x — escolhendo u e dv de modo que a integral restante ∫v du seja mais simples que a original. Um guia comum para escolher u é a ordem LIATE (logarítmica, trigonométrica inversa, algébrica, trigonométrica, exponencial).
Ferramentas relacionadas
Transforme qualquer uma dessas regras em uma solução resolvida no UnitConv: derive uma função passo a passo com a calculadora de derivadas, encontre antiderivadas e integrais definidas com a calculadora de integrais, consulte as identidades trigonométricas de que precisará pelo caminho e organize números grandes ou pequenos com o conversor de notação científica.