Производные и интегралы
Все нужные производные и интегралы в одной упорядоченной таблице — правила для степеней, показательных, логарифмических, тригонометрических, обратных тригонометрических и гиперболических функций — со ссылками в одно касание на наши интерактивные решатели производных и интегралов, чтобы вы сразу решили свою задачу.
Основные производные
Степени и корни
- d/dx(c)=0
- d/dx(x)=1
- d/dx(xⁿ)=n·xⁿ⁻¹
- d/dx(√x)=1/(2√x)
Показательные и логарифмы
- d/dx(eˣ)=eˣ
- d/dx(aˣ)=aˣ·ln a
- d/dx(ln x)=1/x
- d/dx(logₐx)=1/(x·ln a)
Тригонометрические
- d/dx(sin x)=cos x
- d/dx(cos x)=−sin x
- d/dx(tan x)=sec²x
- d/dx(cot x)=−csc²x
- d/dx(sec x)=sec x·tan x
- d/dx(csc x)=−csc x·cot x
Обратные тригонометрические
- d/dx(arcsin x)=1/√(1−x²)
- d/dx(arccos x)=−1/√(1−x²)
- d/dx(arctan x)=1/(1+x²)
Правила
- (f ± g)′=f′ ± g′
- (c·f)′=c·f′
- (f·g)′=f′g + fg′
- (f/g)′=(f′g − fg′)/g²
- (f(g(x)))′=f′(g(x))·g′(x)
Гиперболические
- d/dx(sinh x)=cosh x
- d/dx(cosh x)=sinh x
- d/dx(tanh x)=sech²x
Это стандартные элементарные результаты. Любой интеграл можно проверить, продифференцировав ответ и получив обратно исходную функцию — например, d/dx(−cos x) = sin x подтверждает, что ∫sin x dx = −cos x + C.
Основные производные
Степени и корни
- d/dx(c) = 0
- d/dx(x) = 1
- d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹
- d/dx(√x) = 1/(2√x)
Показательные и логарифмы
- d/dx(eˣ) = eˣ
- d/dx(aˣ) = aˣ·ln a
- d/dx(ln x) = 1/x
- d/dx(logₐx) = 1/(x·ln a)
Тригонометрические
- d/dx(sin x) = cos x
- d/dx(cos x) = −sin x
- d/dx(tan x) = sec²x
- d/dx(cot x) = −csc²x
- d/dx(sec x) = sec x·tan x
- d/dx(csc x) = −csc x·cot x
Обратные тригонометрические
- d/dx(arcsin x) = 1/√(1−x²)
- d/dx(arccos x) = −1/√(1−x²)
- d/dx(arctan x) = 1/(1+x²)
Правила
- (f ± g)′ = f′ ± g′
- (c·f)′ = c·f′
- (f·g)′ = f′g + fg′
- (f/g)′ = (f′g − fg′)/g²
- (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)
Гиперболические
- d/dx(sinh x) = cosh x
- d/dx(cosh x) = sinh x
- d/dx(tanh x) = sech²x
Основные интегралы
Степени и корни
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1)
- ∫1/x dx = ln|x| + C
- ∫1 dx = x + C
Показательные и логарифмы
- ∫eˣ dx = eˣ + C
- ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C
- ∫ln x dx = x·ln x − x + C
Тригонометрические
- ∫sin x dx = −cos x + C
- ∫cos x dx = sin x + C
- ∫sec²x dx = tan x + C
- ∫csc²x dx = −cot x + C
- ∫sec x·tan x dx = sec x + C
- ∫tan x dx = −ln|cos x| + C
- ∫cot x dx = ln|sin x| + C
Обратные тригонометрические
- ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C
- ∫1/√(1−x²) dx = arcsin x + C
- ∫1/(a²+x²) dx = (1/a)·arctan(x/a) + C
Правила
- ∫(f ± g) dx = ∫f dx ± ∫g dx
- ∫c·f dx = c·∫f dx
- ∫u dv = u·v − ∫v du
О справочнике по анализу
Это шпаргалка по математическому анализу, к которой студенты обращаются чаще всего: основные производные и неопределённые интегралы, упорядоченные ровно так, как их преподают. Переключайтесь между вкладками «Производные» и «Интегралы» и просматривайте карточки по типам — правила для степеней и корней (включая d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹ и ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C), правила для показательных и логарифмических функций, шесть тригонометрических функций и обратные к ним, правила дифференцирования и интегрирования (произведения, частного, цепное, линейность и интегрирование по частям) и основные гиперболические производные. Каждая формула записана в чистой нотации Unicode — без картинок — поэтому она аккуратно копируется в конспект и удобна для вспомогательных технологий и ИИ. От статичного PDF эту страницу отличает то, что она связана с интерактивными калькуляторами UnitConv: найдя нужное правило, нажмите «Найти свою производную» или «Найти свой интеграл», чтобы открыть пошаговые решатели и разобрать вашу реальную задачу. Используйте её как справочник для домашних заданий, список для повторения перед экзаменом или для быстрого поиска во время работы над набором задач.
Как пользоваться справочником
- 1 Выберите вкладку «Производные» или «Интегралы» в зависимости от того, что вы ищете.
- 2 Найдите правило в сгруппированных карточках — степени, показательные, логарифм, тригонометрические, обратные, правила или гиперболические — и перенесите его в свою работу.
- 3 Нажмите «Найти свою производную» или «Найти свой интеграл», чтобы открыть интерактивный калькулятор и вычислить свою функцию.
Как связаны производные и интегралы
Дифференцирование и интегрирование — взаимно обратные операции, и в этом весь смысл основной теоремы анализа: если F′(x) = f(x), то ∫f(x) dx = F(x) + C. Именно поэтому каждую запись в таблице интегралов можно проверить, продифференцировав ответ: • ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, потому что d/dx(xⁿ⁺¹/(n+1)) = (n+1)·xⁿ/(n+1) = xⁿ (верно при n ≠ −1; недостающий случай ∫1/x dx = ln|x| + C заполняет пробел). • ∫sin x dx = −cos x + C, потому что d/dx(−cos x) = sin x, и ∫cos x dx = sin x + C, потому что d/dx(sin x) = cos x. • ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C, потому что d/dx(arctan x) = 1/(1+x²). Неопределённый интеграл несёт постоянную интегрирования «+ C», потому что производная любой константы равна нулю, поэтому первообразная определена лишь с точностью до этой константы. Правила дифференцирования (произведения, частного и цепное) и их интегральные аналоги (линейность и интегрирование по частям, ∫u dv = u·v − ∫v du, что есть просто правило произведения наоборот) позволяют распространить эти базовые кирпичики почти на любую элементарную функцию.
Часто задаваемые вопросы
Какие производные важнее всего запомнить?
Основа — это правило степени d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹, правила для показательной и логарифмической функций d/dx(eˣ) = eˣ и d/dx(ln x) = 1/x, а также тригонометрические производные d/dx(sin x) = cos x, d/dx(cos x) = −sin x и d/dx(tan x) = sec²x. В сочетании с правилами произведения, частного и цепным правилом они позволяют дифференцировать почти любую элементарную функцию, встречающуюся в первом курсе анализа.
Почему у каждого неопределённого интеграла есть «+ C»?
Поскольку производная константы равна нулю, любые две первообразные одной функции отличаются лишь на константу. Поэтому неопределённый интеграл — это не одна функция, а целое семейство, записываемое с постоянной интегрирования «+ C». Например, ∫cos x dx = sin x + C, и как sin x + 3, так и sin x − 7 являются допустимыми первообразными. Константа определяется однозначно только при наличии начального условия или при вычислении определённого интеграла.
Как проверить, что интеграл найден верно?
Продифференцируйте свой ответ — если вы получите исходную подынтегральную функцию, интеграл верен. Это работает, потому что дифференцирование и интегрирование — взаимно обратные операции. Например, чтобы подтвердить ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, продифференцируйте правую часть: d/dx(xⁿ⁺¹/(n+1)) = (n+1)·xⁿ/(n+1) = xⁿ, что и есть подынтегральная функция. Такая самопроверка — самый быстрый способ поймать ошибку.
Что такое интегрирование по частям?
Интегрирование по частям — это интегральный аналог правила произведения: ∫u dv = u·v − ∫v du. Его применяют, когда подынтегральное выражение — произведение функций разного типа, например x·eˣ или x·ln x, выбирая u и dv так, чтобы оставшийся интеграл ∫v du был проще исходного. Обычный ориентир для выбора u — порядок LIATE (логарифмические, обратные тригонометрические, алгебраические, тригонометрические, показательные).
Похожие инструменты
Превратите любое из этих правил в разобранное решение на UnitConv: дифференцируйте функцию шаг за шагом с помощью калькулятора производных, находите первообразные и определённые интегралы калькулятором интегралов, смотрите тригонометрические тождества, которые понадобятся по пути, и приводите в порядок большие и малые числа конвертером экспоненциальной записи.