Калькулятор производных
Дифференцируйте любую функцию по шагам, вычисляйте f'(a) и стройте f и f' вместе
Функция для дифференцирования
Производная
Введите функцию и нажмите «Дифференцировать», чтобы увидеть её производную, вычислить её в точке и построить график.
Об этом инструменте
Этот калькулятор производных выполняет символьное дифференцирование полностью в вашем браузере. Он разбирает функцию в дерево выражения, применяет правила дифференцирования (правила степени, произведения, частного и цепное правило) и упрощает результат, поэтому вы получаете точную производную, а не численное приближение. Можно дифференцировать по x или любой другой переменной, такой как t или n, брать первую, вторую или третью производную, вычислять производную в конкретной точке и видеть f(x) и f'(x) на одних осях. Поддерживаются многочлены, тригонометрические и обратные тригонометрические функции, экспоненты и логарифмы, гиперболические функции, корни и модуль. Ничего не отправляется на сервер, поэтому это быстро и конфиденциально для домашних заданий, подготовки к экзаменам и быстрых проверок.
Как пользоваться
- 1 Введите функцию для дифференцирования, например x^2, sin(x) или x*cos(x).
- 2 Задайте переменную (по умолчанию x) и выберите порядок: 1-я, 2-я или 3-я производная.
- 3 Нажмите «Дифференцировать», чтобы получить упрощённую производную, и скопируйте её при необходимости.
- 4 При желании введите значение для вычисления f'(a) и откройте график, чтобы наглядно сравнить f и f'.
Как это работает
Сначала калькулятор разбирает выражение в абстрактное синтаксическое дерево безопасным парсером (без eval). Затем он рекурсивно дифференцирует дерево: константы становятся 0, а переменная — 1; суммы и разности обрабатываются почленно; произведения по правилу (uv)' = u'v + uv'; частные по (u/v)' = (u'v − uv')/v^2; а степени по цепному правилу. Для функций применяются стандартные производные, такие как sin' = cos, cos' = −sin, exp' = exp и ln(u)' = u'/u, умноженные на производную внутренней части (цепное правило). После дифференцирования результат упрощается алгебраически — убираются прибавление нуля и умножение на единицу, сворачиваются константы, — чтобы вывод оставался читаемым и его можно было сразу построить или вычислить. Производные высших порядков получаются повторным дифференцированием результата.
Частые вопросы
Какие функции может дифференцировать этот калькулятор?
Он работает с многочленами и степенями, тригонометрическими функциями sin, cos и tan и их обратными asin, acos и atan, гиперболическими sinh, cosh и tanh, экспонентой exp и e^x, натуральным логарифмом (ln/log), log2 и log10, квадратным и кубическим корнями и модулем, в сочетании с +, −, *, / и ^. Негладкие функции, такие как floor, ceil, round, sign, min и max, не поддерживаются и выдадут сообщение.
Можно ли дифференцировать по переменной, отличной от x?
Да. Введите нужную переменную в поле «Переменная», например t или n. Тогда любая другая буква считается константой, поэтому дифференцирование a*t^2 по t даёт 2*a*t.
Как получить вторую или третью производную?
Используйте переключатель порядка и выберите 2-ю или 3-ю. Инструмент дифференцирует функцию один раз для первой, ещё раз для второй и третий раз для третьей, упрощая после каждого шага. Можно раскрыть панель шагов, чтобы увидеть каждый порядок.
Почему производная |x| использует sign(x)?
Производная модуля |u| равна sign(u), умноженному на u', и равна +1 там, где u положительно, и −1 там, где отрицательно. У модуля есть излом в точке u = 0, поэтому там он недифференцируем — производная просто не существует в этой единственной точке.
Точен ли ответ и конфиденциальны ли мои данные?
Производная символьная и точная, вычисляется применением правил математического анализа, а не численной оценкой. Всё работает локально в вашем браузере, поэтому ваши выражения никогда не загружаются на сервер, а инструмент продолжает работать офлайн после загрузки.
Связанные инструменты и применения
Производные занимают центральное место в анализе: они дают угловые коэффициенты, скорости изменения, скорости и положение максимумов и минимумов. Сочетайте этот инструмент с графическим калькулятором, чтобы видеть связь функции и её наклона, с решателем уравнений, чтобы находить точки, где производная равна нулю (критические точки), и с научным калькулятором, чтобы вычислять выражения, когда результаты становятся большими или малыми.