Ableitungsrechner
Leite jede Funktion Schritt für Schritt ab, werte f'(a) aus und stelle f und f' gemeinsam dar
Abzuleitende Funktion
Ableitung
Gib eine Funktion ein und tippe auf Ableiten, um ihre Ableitung zu sehen, sie an einem Punkt auszuwerten und darzustellen.
Über dieses Werkzeug
Dieser Ableitungsrechner führt die symbolische Differenziation vollständig in deinem Browser durch. Er zerlegt deine Funktion in einen Ausdrucksbaum, wendet die Ableitungsregeln der Analysis an (Potenz-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel) und vereinfacht das Ergebnis, sodass du eine exakte Ableitung statt einer numerischen Näherung erhältst. Du kannst nach x oder nach jeder anderen Variablen wie t oder n ableiten, die erste, zweite oder dritte Ableitung bilden, die Ableitung an einem bestimmten Punkt auswerten und f(x) sowie f'(x) in denselben Achsen sehen. Er beherrscht Polynome, trigonometrische und inverse trigonometrische Funktionen, Exponential- und Logarithmusfunktionen, hyperbolische Funktionen, Wurzeln und den Betrag. Es wird nichts an einen Server gesendet, was ihn schnell und privat für Hausaufgaben, Prüfungsvorbereitung und schnelle Kontrollen macht.
So geht's
- 1 Gib die abzuleitende Funktion ein, zum Beispiel x^2, sin(x) oder x*cos(x).
- 2 Lege die Variable fest (standardmäßig x) und wähle die Ordnung: 1., 2. oder 3. Ableitung.
- 3 Tippe auf Ableiten, um die vereinfachte Ableitung zu erhalten, und kopiere sie bei Bedarf.
- 4 Gib optional einen Wert ein, um f'(a) auszuwerten, und öffne das Diagramm, um f und f' visuell zu vergleichen.
So funktioniert es
Der Rechner zerlegt deinen Ausdruck zunächst mit einem sicheren Parser (ohne eval) in einen abstrakten Syntaxbaum. Dann leitet er den Baum rekursiv ab: Konstanten werden zu 0 und die Variable wird zu 1; Summen und Differenzen werden Term für Term behandelt; Produkte nutzen die Regel (uv)' = u'v + uv'; Quotienten nutzen (u/v)' = (u'v − uv')/v^2; und Potenzen nutzen die Kettenregel. Für Funktionen wendet er die Standardableitungen an, etwa sin' = cos, cos' = −sin, exp' = exp und ln(u)' = u'/u, multipliziert mit der Ableitung des Inneren (Kettenregel). Nach dem Ableiten wird das Ergebnis algebraisch vereinfacht - Additionen von null und Multiplikationen mit eins werden entfernt und Konstanten zusammengefasst -, damit die Ausgabe lesbar bleibt und direkt geplottet oder ausgewertet werden kann. Ableitungen höherer Ordnung entstehen durch erneutes Ableiten des Ergebnisses.
Häufige Fragen
Welche Funktionen kann dieser Rechner ableiten?
Er beherrscht Polynome und Potenzen, die trigonometrischen Funktionen sin, cos und tan und ihre Umkehrfunktionen asin, acos und atan, die hyperbolischen sinh, cosh und tanh, die Exponentialfunktion exp und e^x, den natürlichen Logarithmus (ln/log), log2 und log10, Quadratwurzel, Kubikwurzel und Betrag, kombiniert mit +, −, *, / und ^. Nicht glatte Funktionen wie floor, ceil, round, sign, min und max werden nicht unterstützt und zeigen eine Meldung.
Kann ich nach einer anderen Variablen als x ableiten?
Ja. Gib die gewünschte Variable in das Feld Variable ein, etwa t oder n. Jeder andere Buchstabe wird dann als Konstante behandelt, also ergibt das Ableiten von a*t^2 nach t den Ausdruck 2*a*t.
Wie erhalte ich die zweite oder dritte Ableitung?
Verwende den Ordnungsschalter und wähle 2. oder 3. Das Werkzeug leitet deine Funktion einmal für die erste, erneut für die zweite und ein drittes Mal für die dritte ab und vereinfacht nach jedem Schritt. Du kannst das Schrittfenster aufklappen, um jede Ordnung zu sehen.
Warum verwendet die Ableitung von |x| sign(x)?
Die Ableitung des Betrags |u| ist sign(u) mal u', was +1 ist, wo u positiv ist, und −1, wo es negativ ist. Der Betrag hat bei u = 0 einen Knick, dort ist er also nicht differenzierbar - die Ableitung existiert an genau diesem Punkt einfach nicht.
Ist die Antwort exakt und sind meine Daten privat?
Die Ableitung ist symbolisch und exakt, berechnet durch Anwenden der Regeln der Analysis statt durch numerische Schätzung. Alles läuft lokal in deinem Browser, deine Ausdrücke werden also nie hochgeladen und das Werkzeug funktioniert nach dem Laden auch offline weiter.
Verwandte Werkzeuge und Anwendungen
Ableitungen sind zentral in der Analysis: Sie liefern Steigungen, Änderungsraten, Geschwindigkeiten und die Lage von Maxima und Minima. Kombiniere dies mit dem Funktionsplotter, um zu sehen, wie eine Funktion und ihre Steigung zusammenhängen, mit dem Gleichungslöser, um zu finden, wo die Ableitung null ist (kritische Punkte), und mit dem wissenschaftlichen Rechner, um Ausdrücke auszuwerten, wenn die Ergebnisse groß oder klein werden.