미분 계산기
어떤 함수든 단계별로 미분하고 f'(a)를 구하며 f와 f'를 함께 그래프로 표시
미분할 함수
도함수
함수를 입력하고 '미분하기'를 누르면 도함수를 표시하고 특정 점에서 평가하며 그래프로 볼 수 있습니다.
이 도구에 대하여
이 미분 계산기는 모든 기호 미분을 브라우저 안에서 수행합니다. 함수를 식 트리로 해석한 뒤 미적분의 미분 규칙(거듭제곱·곱·몫·연쇄 법칙)을 적용하고 결과를 간단히 정리하므로, 수치 근사가 아니라 정확한 도함수를 얻습니다. x는 물론 t나 n 같은 임의의 변수로 미분할 수 있고, 1차·2차·3차 도함수를 계산하며, 특정 점에서 평가하고, f(x)와 f'(x)를 같은 좌표축에 함께 표시할 수 있습니다. 다항식, 삼각함수와 역삼각함수, 지수·로그 함수, 쌍곡선함수, 근호, 절댓값을 처리합니다. 어떤 데이터도 서버로 전송되지 않으므로 숙제, 시험 준비, 빠른 확인에 빠르고 안전합니다.
사용 방법
- 1 미분할 함수를 입력합니다. 예: x^2, sin(x), x*cos(x).
- 2 변수(기본값 x)를 설정하고 차수를 선택합니다: 1차·2차·3차 도함수.
- 3 '미분하기'를 누르면 정리된 도함수가 표시되며 필요하면 복사할 수 있습니다.
- 4 필요하면 값을 입력해 f'(a)를 평가하고, 그래프를 열어 f와 f'를 시각적으로 비교하세요.
작동 원리
계산기는 먼저 안전한 파서(eval 미사용)로 식을 추상 구문 트리로 해석합니다. 그런 다음 트리를 재귀적으로 미분합니다: 상수는 0, 변수는 1이 되고, 합과 차는 항별로 처리하며, 곱은 (uv)' = u'v + uv', 몫은 (u/v)' = (u'v − uv')/v^2, 거듭제곱은 연쇄 법칙으로 처리합니다. 함수에는 sin' = cos, cos' = −sin, exp' = exp, ln(u)' = u'/u 같은 표준 도함수를 적용하고 안쪽의 도함수를 곱합니다(연쇄 법칙). 미분 후에는 0의 덧셈과 1의 곱셈을 제거하고 상수를 합치는 등 대수적으로 간단히 정리하여, 출력이 읽기 쉽고 그대로 그래프나 평가에 사용할 수 있게 합니다. 고차 도함수는 결과를 다시 미분하여 구합니다.
자주 묻는 질문
이 계산기는 어떤 함수를 미분할 수 있나요?
다항식과 거듭제곱, 삼각함수 sin·cos·tan와 그 역함수 asin·acos·atan, 쌍곡선함수 sinh·cosh·tanh, 지수 exp와 e^x, 자연로그(ln/log)·log2·log10, 제곱근·세제곱근·절댓값을 +, −, *, /, ^ 와 조합해 처리합니다. floor, ceil, round, sign, min, max 같은 매끄럽지 않은 함수는 지원하지 않으며 안내 메시지가 표시됩니다.
x 외의 변수로 미분할 수 있나요?
네. 변수 칸에 원하는 변수를 입력하세요(예: t, n). 그러면 다른 모든 문자는 상수로 취급되므로 a*t^2 를 t로 미분하면 2*a*t 가 됩니다.
2차나 3차 도함수는 어떻게 구하나요?
차수 선택기에서 2차 또는 3차를 고르세요. 도구는 함수를 한 번 미분해 1차, 다시 미분해 2차, 세 번째로 3차를 구하며 각 단계마다 정리합니다. 풀이 패널을 펼치면 각 차수를 볼 수 있습니다.
왜 |x|의 도함수에 sign(x)가 쓰이나요?
절댓값 |u|의 도함수는 sign(u) 곱하기 u' 이며, u가 양수인 곳에서는 +1, 음수인 곳에서는 −1 입니다. 절댓값은 u = 0 에서 꺾이므로 그 점에서는 미분할 수 없습니다 — 바로 그 한 점에서는 도함수가 존재하지 않습니다.
답은 정확한가요? 제 데이터는 안전한가요?
도함수는 기호적이며 정확합니다. 수치 추정이 아니라 미적분 규칙을 적용해 계산합니다. 모든 것이 브라우저에서 로컬로 실행되므로 식이 업로드되지 않으며, 한 번 로드하면 오프라인에서도 계속 동작합니다.
관련 도구와 활용
도함수는 미적분의 핵심으로 기울기, 변화율, 속도, 극대·극소의 위치를 알려줍니다. 그래프 계산기와 함께 사용해 함수와 그 기울기의 관계를 보고, 방정식 풀이기로 도함수가 0이 되는 점(임계점)을 찾고, 결과가 크거나 작아질 때는 공학용 계산기로 식을 평가하세요.