حاسبة المشتقات
اشتقّ أي دالة خطوة بخطوة، واحسب f'(a)، وارسم f وf' معًا
الدالة المراد اشتقاقها
المشتقة
أدخل دالة واضغط «اشتقّ» لرؤية مشتقتها وتقييمها عند نقطة ورسمها.
حول هذه الأداة
تجري حاسبة المشتقات هذه الاشتقاق الرمزي بالكامل في متصفحك. فهي تحلّل دالتك إلى شجرة تعبير، وتطبّق قواعد الاشتقاق في التفاضل (قواعد القوة والضرب والقسمة والسلسلة)، ثم تبسّط النتيجة، فتحصل على مشتقة دقيقة بدلًا من تقريب عددي. يمكنك الاشتقاق بالنسبة إلى x أو أي متغير آخر مثل t أو n، وأخذ المشتقة الأولى أو الثانية أو الثالثة، وتقييم المشتقة عند نقطة محددة، ورؤية f(x) وf'(x) مرسومتين على المحاور نفسها. وهي تتعامل مع كثيرات الحدود والدوال المثلثية وعكسها والدوال الأسية واللوغاريتمية والدوال الزائدية والجذور والقيمة المطلقة. لا يُرسَل أي شيء إلى خادم، مما يجعلها سريعة وخاصة للواجبات والتحضير للامتحانات والتحققات السريعة.
كيفية الاستخدام
- 1 اكتب الدالة التي تريد اشتقاقها، مثل x^2 أو sin(x) أو x*cos(x).
- 2 حدّد المتغير (x افتراضيًا) واختر الرتبة: المشتقة الأولى أو الثانية أو الثالثة.
- 3 اضغط «اشتقّ» للحصول على المشتقة المبسّطة، وانسخها إن احتجت إليها.
- 4 اختياريًا أدخل قيمة لتقييم f'(a)، وافتح الرسم البياني لمقارنة f وf' بصريًا.
كيف تعمل
تحلّل الحاسبة أولًا تعبيرك إلى شجرة بناء جملة مجردة باستخدام محلّل آمن (دون eval). ثم تشتقّ الشجرة تعاوديًا: تصبح الثوابت 0 ويصبح المتغير 1؛ وتُعالَج عمليات الجمع والطرح حدًّا بحد؛ وتستخدم الضربات القاعدة (uv)' = u'v + uv'؛ وتستخدم القسمات (u/v)' = (u'v − uv')/v^2؛ وتستخدم القوى قاعدة السلسلة. وللدوال تُطبَّق المشتقات القياسية، مثل sin' = cos وcos' = −sin وexp' = exp وln(u)' = u'/u، مضروبةً في مشتقة الداخل (قاعدة السلسلة). بعد الاشتقاق تُبسَّط النتيجة جبريًا — بإزالة الجمع مع الصفر والضرب في واحد، وطيّ الثوابت — لتبقى المخرجات مقروءة ويمكن رسمها أو تقييمها مباشرة. وتُحصَّل المشتقات من الرتب الأعلى باشتقاق النتيجة من جديد.
الأسئلة الشائعة
ما الدوال التي يمكن لهذه الحاسبة اشتقاقها؟
تتعامل مع كثيرات الحدود والقوى، والدوال المثلثية sin وcos وtan وعكسها asin وacos وatan، والزائدية sinh وcosh وtanh، والأسية exp وe^x، واللوغاريتم الطبيعي (ln/log) وlog2 وlog10، والجذر التربيعي والجذر التكعيبي والقيمة المطلقة، مدمجة مع + و− و* و/ و^. أما الدوال غير الملساء مثل floor وceil وround وsign وmin وmax فغير مدعومة وستظهر رسالة.
هل يمكنني الاشتقاق بالنسبة إلى متغير غير x؟
نعم. اكتب المتغير الذي تريده في خانة المتغير، مثل t أو n. عندئذٍ يُعامَل كل حرف آخر كثابت، فاشتقاق a*t^2 بالنسبة إلى t يعطي 2*a*t.
كيف أحصل على المشتقة الثانية أو الثالثة؟
استخدم مُحدِّد الرتبة واختر الثانية أو الثالثة. تشتقّ الأداة دالتك مرة للحصول على الأولى، ومرة أخرى للثانية، ومرة ثالثة للثالثة، مع التبسيط بعد كل خطوة. يمكنك توسيع لوحة الخطوات لرؤية كل رتبة.
لماذا تستخدم مشتقة |x| الدالة sign(x)؟
مشتقة القيمة المطلقة |u| هي sign(u) مضروبة في u'، وقيمتها +1 حيث يكون u موجبًا و−1 حيث يكون سالبًا. للقيمة المطلقة زاوية حادة عند u = 0، لذا فهي غير قابلة للاشتقاق هناك — إذ لا توجد المشتقة ببساطة عند تلك النقطة المفردة.
هل الإجابة دقيقة، وهل بياناتي خاصة؟
المشتقة رمزية ودقيقة، تُحسَب بتطبيق قواعد التفاضل بدلًا من التقدير العددي. كل شيء يعمل محليًا في متصفحك، فلا تُرفَع تعبيراتك أبدًا، وتظل الأداة تعمل دون اتصال بعد تحميلها.
أدوات واستخدامات ذات صلة
المشتقات محورية في التفاضل والتكامل: فهي تعطي الميول ومعدلات التغير والسرعات ومواضع القيم العظمى والصغرى. ادمج هذه الأداة مع حاسبة الرسم البياني لرؤية العلاقة بين الدالة وميلها، ومع حلّال المعادلات لإيجاد مواضع انعدام المشتقة (النقاط الحرجة)، ومع الآلة الحاسبة العلمية لتقييم التعبيرات عندما تصبح النتائج كبيرة أو صغيرة.