Калькулятор интегралов
Вычисляйте определённые интегралы численно и наблюдайте знаковую площадь под кривой
Подынтегральная функция
Определённый интеграл
Введите функцию и пределы a и b, затем нажмите «Интегрировать», чтобы увидеть значение и закрашенную площадь под кривой.
Об этом инструменте
Этот калькулятор интегралов вычисляет определённые интегралы численно, полностью в вашем браузере. Он разбирает функцию в дерево выражения безопасным парсером (без eval), выбирает значения на отрезке [a, b] и приближает площадь под кривой составным правилом Симпсона, показывая рядом для сравнения составное правило трапеций. Результат — знаковая площадь: области выше оси x учитываются как положительные, ниже — как отрицательные, и визуализация выделяет их цветом, чтобы вы точно видели смысл числа. Можно интегрировать по x или любой переменной, использовать константы pi и e в функции и пределах, а также менять пределы местами (это меняет знак). Поскольку метод численный, ответ — очень точное приближение, а не первообразная в замкнутой форме; для символьной работы используйте калькулятор производных.
Как пользоваться
- 1 Введите функцию для интегрирования, например x^2, sin(x) или 1/x.
- 2 Задайте переменную (по умолчанию x) и введите нижний предел a и верхний предел b. Можно использовать pi или e.
- 3 Нажмите «Интегрировать», чтобы получить значение определённого интеграла, вычисленное правилом Симпсона.
- 4 Сверьте сравнение Симпсона и трапеций для уверенности и изучите закрашенную площадь под кривой.
Как это работает
Калькулятор сначала разбирает выражение в абстрактное синтаксическое дерево, затем приближает ∫f(x)dx на [a, b], деля отрезок на множество мелких подотрезков (по умолчанию 1000) и складывая вклады. Составное правило Симпсона подгоняет параболу к каждой паре подотрезков, давая четвёртый порядок точности для гладких функций, а правило трапеций соединяет точки выборки прямыми. Близость двух значений (показанная как число сходимости) говорит о надёжности оценки — для гладких функций они совпадают на много знаков. Знаковая площадь считается честно: части кривой ниже оси x вычитаются из суммы. Концы, дающие бесконечность, слегка сдвигаются внутрь, а если функция особа внутри отрезка, инструмент сообщает, что интеграл не определён, вместо того чтобы вернуть обманчивое конечное число.
Часто задаваемые вопросы
Результат точный или приближённый?
Это численное приближение. Инструмент выбирает значения функции во многих точках и складывает площадь, а не ищет символьную первообразную. Для гладких функций результат точен до многих знаков после запятой — обычно намного лучше, чем вручную, — но это всё же оценка, а не выражение в замкнутой форме.
В чём разница между правилом Симпсона и правилом трапеций?
Правило трапеций соединяет соседние точки выборки прямыми и суммирует трапеции; оно простое, но менее точное. Правило Симпсона подгоняет параболы к парам подотрезков, улавливает кривизну и сходится гораздо быстрее (четвёртый порядок). Мы показываем оба, чтобы вы видели их совпадение; разрыв между ними — удобная проверка сходимости.
Как он обрабатывает особенности или расходящиеся интегралы?
Если функция уходит в бесконечность на конце, инструмент вычисляет чуть внутри отрезка, чтобы справиться с устранимыми случаями. Но если функция не определена или бесконечна внутри отрезка — например, 1/x, интегрируемая через 0, — он сообщает, что интеграл не определён, вместо возврата ложного конечного значения. Интегралы, растущие неограниченно, помечаются как расходящиеся.
Это определённый или неопределённый интеграл?
Он вычисляет определённый интеграл — одно число, равное знаковой площади между кривой и осью x от a до b. Он не выдаёт неопределённый интеграл (символьную первообразную с +C). Для символьного анализа используйте калькулятор производных; численное определённое интегрирование — специализация этого инструмента.
Можно ли использовать pi, e или пределы в обратном порядке?
Да. Можно писать pi и e и в функции, и в пределах (например, интегрировать sin(x) от 0 до pi). Если нижний предел больше верхнего, интеграл вычисляется с обратным знаком, точно по соглашению ∫a→b = −∫b→a.
Связанные инструменты и применения
Определённые интегралы измеряют накопленные величины: площадь, путь по скорости, работу, вероятность и многое другое. Сочетайте его с калькулятором производных, чтобы видеть дифференцирование и интегрирование как взаимно обратные операции, с построителем графиков, чтобы рассмотреть кривую, площадь которой вы измеряете, и с научным калькулятором, чтобы вычислять получаемые числа.