Калькулятор интегралов
Вычисляйте определённые интегралы численно и наблюдайте знаковую площадь под кривой
Подынтегральная функция
Определённый интеграл
Введите функцию и пределы a и b, затем нажмите «Интегрировать», чтобы увидеть значение и закрашенную площадь под кривой.
Об этом инструменте
Этот калькулятор интегралов вычисляет определённые интегралы численно, полностью в вашем браузере. Он разбирает функцию в дерево выражения безопасным парсером (без eval), выбирает значения на отрезке [a, b] и приближает площадь под кривой составным правилом Симпсона, показывая рядом для сравнения составное правило трапеций. Результат — знаковая площадь: области выше оси x учитываются как положительные, ниже — как отрицательные, и визуализация выделяет их цветом, чтобы вы точно видели смысл числа. Можно интегрировать по x или любой переменной, использовать константы pi и e в функции и пределах, а также менять пределы местами (это меняет знак). Поскольку метод численный, ответ — очень точное приближение, а не первообразная в замкнутой форме; для символьной работы используйте калькулятор производных.
Как пользоваться
- 1 Введите функцию для интегрирования, например x^2, sin(x) или 1/x.
- 2 Задайте переменную (по умолчанию x) и введите нижний предел a и верхний предел b. Можно использовать pi или e.
- 3 Нажмите «Интегрировать», чтобы получить значение определённого интеграла, вычисленное правилом Симпсона.
- 4 Сверьте сравнение Симпсона и трапеций для уверенности и изучите закрашенную площадь под кривой.
Как это работает
Калькулятор сначала разбирает выражение в абстрактное синтаксическое дерево, затем приближает ∫f(x)dx на [a, b], деля отрезок на множество мелких подотрезков (по умолчанию 1000) и складывая вклады. Составное правило Симпсона подгоняет параболу к каждой паре подотрезков, давая четвёртый порядок точности для гладких функций, а правило трапеций соединяет точки выборки прямыми. Близость двух значений (показанная как число сходимости) говорит о надёжности оценки — для гладких функций они совпадают на много знаков. Знаковая площадь считается честно: части кривой ниже оси x вычитаются из суммы. Концы, дающие бесконечность, слегка сдвигаются внутрь, а если функция особа внутри отрезка, инструмент сообщает, что интеграл не определён, вместо того чтобы вернуть обманчивое конечное число.
Часто задаваемые вопросы
Результат точный или приближённый?
Значение определённого интеграла — численное приближение: инструмент берёт значения функции во многих точках и суммирует площадь. Для гладких функций результат точен до многих знаков, но остаётся оценкой. Для поддерживаемых форм инструмент также показывает точную символьную первообразную (+C) с пошаговыми правилами — эта символьная часть точна.
В чём разница между правилом Симпсона и правилом трапеций?
Правило трапеций соединяет соседние точки выборки прямыми и суммирует трапеции; оно простое, но менее точное. Правило Симпсона подгоняет параболы к парам подотрезков, улавливает кривизну и сходится гораздо быстрее (четвёртый порядок). Мы показываем оба, чтобы вы видели их совпадение; разрыв между ними — удобная проверка сходимости.
Как он обрабатывает особенности или расходящиеся интегралы?
Если функция уходит в бесконечность на конце, инструмент вычисляет чуть внутри отрезка, чтобы справиться с устранимыми случаями. Но если функция не определена или бесконечна внутри отрезка — например, 1/x, интегрируемая через 0, — он сообщает, что интеграл не определён, вместо возврата ложного конечного значения. Интегралы, растущие неограниченно, помечаются как расходящиеся.
Это определённый или неопределённый интеграл?
Он вычисляет определённый интеграл — одно число, равное знаковой площади между кривой и осью x от a до b. Для поддерживаемых форм (многочлены, sin, cos, tan, e^x, 1/x и варианты с линейным внутренним выражением, например sin(3x)) он также показывает символьную первообразную (+C) с пошаговым разбором по правилам; остальные формы интегрируются численно.
Можно ли использовать pi, e или пределы в обратном порядке?
Да. Можно писать pi и e и в функции, и в пределах (например, интегрировать sin(x) от 0 до pi). Если нижний предел больше верхнего, интеграл вычисляется с обратным знаком, точно по соглашению ∫a→b = −∫b→a.
Связанные инструменты и применения
Определённые интегралы измеряют накопленные величины: площадь, путь по скорости, работу, вероятность и многое другое. Сочетайте его с калькулятором производных, чтобы видеть дифференцирование и интегрирование как взаимно обратные операции, с построителем графиков, чтобы рассмотреть кривую, площадь которой вы измеряете, и с научным калькулятором, чтобы вычислять получаемые числа.