Calculateur d'intégrales
Calculez des intégrales définies numériquement et visualisez l'aire signée sous la courbe
Fonction à intégrer
Intégrale définie
Saisissez une fonction et les bornes a et b, puis appuyez sur Intégrer pour voir la valeur et l'aire colorée sous la courbe.
À propos de cet outil
Ce calculateur d'intégrales évalue les intégrales définies numériquement, entièrement dans votre navigateur. Il analyse votre fonction en un arbre d'expression avec un analyseur sûr (sans eval), l'échantillonne sur l'intervalle [a, b] et approche l'aire sous la courbe avec la règle composée de Simpson, en affichant à côté la règle composée des trapèzes pour comparaison. Le résultat est l'aire signée : les régions au-dessus de l'axe des x comptent comme positives et celles en dessous comme négatives, et la visualisation les distingue par couleur pour que vous voyiez exactement ce que signifie le nombre. Vous pouvez intégrer par rapport à x ou à toute variable, utiliser des constantes comme pi et e dans la fonction et les bornes, et inverser les bornes (ce qui change le signe). Comme c'est numérique, la réponse est une approximation très précise plutôt qu'une primitive sous forme close — associez-la au calculateur de dérivées pour le travail symbolique.
Comment l'utiliser
- 1 Saisissez la fonction à intégrer, par exemple x^2, sin(x) ou 1/x.
- 2 Définissez la variable (x par défaut) et saisissez la borne inférieure a et la borne supérieure b. Vous pouvez utiliser pi ou e.
- 3 Appuyez sur Intégrer pour obtenir la valeur de l'intégrale définie, calculée avec la règle de Simpson.
- 4 Consultez la comparaison Simpson contre trapèzes pour la confiance, et étudiez l'aire colorée sous la courbe.
Comment ça marche
Le calculateur analyse d'abord votre expression en un arbre syntaxique abstrait, puis approche ∫f(x)dx sur [a, b] en divisant l'intervalle en de nombreux petits sous-intervalles (1000 par défaut) et en additionnant les contributions. La règle composée de Simpson ajuste une parabole à chaque paire de sous-intervalles, offrant une précision du quatrième ordre pour les fonctions lisses, tandis que la règle des trapèzes relie les points échantillonnés par des droites. La proximité des deux valeurs (indiquée comme chiffre de convergence) montre la fiabilité de l'estimation : pour les fonctions lisses, elles concordent sur de nombreux chiffres. L'aire signée est calculée honnêtement : les parties de la courbe sous l'axe des x se soustraient du total. Les extrémités évaluées à l'infini sont légèrement décalées vers l'intérieur, et si la fonction est singulière à l'intérieur de l'intervalle, l'outil signale que l'intégrale n'est pas définie plutôt que de renvoyer un nombre fini trompeur.
Questions fréquentes
Le résultat est-il exact ou approché ?
C'est une approximation numérique. L'outil échantillonne la fonction en de nombreux points et additionne l'aire, plutôt que de trouver une primitive symbolique. Pour les fonctions lisses, le résultat est précis à de nombreuses décimales — généralement bien meilleur qu'à la main — mais cela reste une estimation, pas une expression sous forme close.
Quelle est la différence entre la règle de Simpson et celle des trapèzes ?
La règle des trapèzes relie les points échantillonnés consécutifs par des droites et somme les trapèzes ; elle est simple mais moins précise. La règle de Simpson ajuste des paraboles à des paires de sous-intervalles, capte la courbure et converge bien plus vite (quatrième ordre). Nous affichons les deux pour que vous voyiez leur concordance ; leur écart est un contrôle de convergence pratique.
Comment gère-t-il les singularités ou les intégrales divergentes ?
Si la fonction explose à une borne, l'outil évalue juste à l'intérieur de l'intervalle pour traiter les cas évitables. Mais si la fonction est indéfinie ou infinie à l'intérieur de l'intervalle — comme 1/x intégrée à travers 0 — il signale que l'intégrale n'est pas définie au lieu de renvoyer une fausse valeur finie. Les intégrales qui croissent sans limite sont signalées comme divergentes.
Est-ce une intégrale définie ou indéfinie ?
Il calcule l'intégrale définie — un nombre unique égal à l'aire signée entre la courbe et l'axe des x de a à b. Il ne produit pas d'intégrale indéfinie (la primitive symbolique avec +C). Pour le calcul symbolique, utilisez le calculateur de dérivées ; l'intégration numérique définie est la spécialité de cet outil.
Puis-je utiliser pi, e ou des bornes en ordre inverse ?
Oui. Vous pouvez écrire pi et e dans la fonction comme dans les bornes (par exemple intégrer sin(x) de 0 à pi). Si la borne inférieure est plus grande que la supérieure, l'intégrale est calculée avec le signe inversé, conformément à la convention ∫a→b = −∫b→a.
Outils et usages connexes
Les intégrales définies mesurent des quantités accumulées : aire, distance à partir de la vitesse, travail, probabilité et plus. Associez-la au calculateur de dérivées pour voir la dérivation et l'intégration comme des opérations inverses, au traceur de fonctions pour voir la courbe dont vous mesurez l'aire, et au calculateur scientifique pour évaluer les nombres obtenus.