적분 계산기
정적분을 수치적으로 계산하고 곡선 아래의 부호 있는 넓이를 시각화
적분할 함수
정적분
함수와 하한 a·상한 b를 입력한 뒤 「적분하기」를 누르면 값과 곡선 아래의 칠해진 넓이가 표시됩니다.
이 도구에 대하여
이 적분 계산기는 정적분을 전적으로 브라우저 안에서 수치적으로 계산합니다. 안전한 파서(eval 없음)로 함수를 식 트리로 해석하고, 구간 [a, b] 전체에서 표본을 추출한 뒤 합성 심프슨 법칙으로 곡선 아래의 넓이를 근사하며, 비교를 위해 합성 사다리꼴 법칙을 함께 표시합니다. 결과는 부호 있는 넓이입니다. x축 위의 영역은 양수, 아래 영역은 음수로 계산되며, 시각화는 이를 색으로 구분하여 숫자의 의미를 정확히 볼 수 있게 합니다. x나 임의의 변수로 적분할 수 있고, 함수와 한계 모두에서 pi와 e 같은 상수를 쓸 수 있으며, 상하한을 뒤집을 수도 있습니다(부호가 바뀝니다). 수치적이므로 답은 닫힌 형태의 부정적분이 아니라 매우 정확한 근사이며, 기호 작업에는 미분 계산기와 함께 사용하세요.
사용 방법
- 1 적분할 함수를 입력하세요. 예: x^2, sin(x), 1/x.
- 2 변수를 설정하고(기본값 x), 하한 a와 상한 b를 입력하세요. pi나 e를 사용할 수 있습니다.
- 3 「적분하기」를 누르면 심프슨 법칙으로 계산된 정적분 값이 나옵니다.
- 4 심프슨 대 사다리꼴 비교로 신뢰도를 확인하고, 곡선 아래의 칠해진 넓이를 살펴보세요.
작동 원리
계산기는 먼저 식을 추상 구문 트리로 해석한 다음, 구간 [a, b]를 많은 작은 소구간(기본 1000개)으로 나누고 기여분을 더해 ∫f(x)dx를 근사합니다. 합성 심프슨 법칙은 소구간 두 개마다 포물선을 맞춰 매끄러운 함수에 대해 4차 정확도를 주고, 사다리꼴 법칙은 표본 점들을 직선으로 잇습니다. 두 값의 근접도(수렴 수치로 표시)는 추정의 신뢰도를 알려주며, 매끄러운 함수에서는 여러 자릿수까지 일치합니다. 부호 있는 넓이는 정직하게 계산됩니다. x축 아래의 부분은 총합에서 빼집니다. 끝점이 무한대로 평가되면 약간 안쪽에서 평가하고, 구간 안에서 함수가 특이하면 오해를 부르는 유한값을 반환하는 대신 적분이 정의되지 않는다고 알립니다.
자주 묻는 질문
결과는 정확한 값인가요, 근사값인가요?
수치 근사입니다. 이 도구는 기호적 부정적분을 찾는 대신 함수를 여러 점에서 표본 추출해 넓이를 더합니다. 매끄러운 함수의 경우 소수점 여러 자리까지 정확하여 보통 손으로 한 것보다 훨씬 낫지만, 여전히 추정값이며 닫힌 형태의 식은 아닙니다.
심프슨 법칙과 사다리꼴 법칙의 차이는 무엇인가요?
사다리꼴 법칙은 인접한 표본 점들을 직선으로 잇고 사다리꼴을 합산하여 단순하지만 정확도가 낮습니다. 심프슨 법칙은 소구간 쌍에 포물선을 맞춰 곡률을 포착하고 훨씬 빠르게(4차로) 수렴합니다. 두 가지를 모두 표시하여 일치를 확인할 수 있게 하며, 그 차이는 편리한 수렴 점검 수단입니다.
특이점이나 발산 적분은 어떻게 처리하나요?
함수가 끝점에서 폭주하면 도구는 제거 가능한 경우를 다루기 위해 구간 바로 안쪽에서 평가합니다. 그러나 함수가 구간 안에서 정의되지 않거나 무한이면(예: 0을 가로질러 적분한 1/x), 거짓 유한값을 반환하는 대신 적분이 정의되지 않는다고 알립니다. 무한히 커지는 적분은 발산으로 표시됩니다.
이것은 정적분인가요, 부정적분인가요?
정적분을 계산합니다. a에서 b까지 곡선과 x축 사이의 부호 있는 넓이와 같은 단일 숫자입니다. 부정적분(+C가 붙는 기호적 부정적분)은 만들지 않습니다. 기호 미적분에는 미분 계산기를 쓰세요. 수치 정적분이 이 도구의 전문 분야입니다.
pi, e나 상하한을 반대 순서로 쓸 수 있나요?
예. 함수와 한계 모두에 pi와 e를 쓸 수 있습니다(예: sin(x)를 0에서 pi까지 적분). 하한이 상한보다 크면 적분은 부호를 반전해 계산되며, 이는 ∫a→b = −∫b→a 관례와 정확히 일치합니다.
관련 도구 및 활용
정적분은 누적량을 측정합니다. 넓이, 속도로부터의 거리, 일, 확률 등입니다. 미분 계산기와 함께 사용해 미분과 적분이 역연산임을 확인하고, 그래프 계산기로 넓이를 측정 중인 곡선을 보고, 과학 계산기로 나온 숫자를 평가하세요.