Calculadora de integrales
Calcula integrales definidas numéricamente y visualiza el área con signo bajo la curva
Función a integrar
Integral definida
Introduce una función y los límites a y b, luego pulsa Integrar para ver el valor y el área sombreada bajo la curva.
Acerca de esta herramienta
Esta calculadora de integrales evalúa integrales definidas numéricamente, por completo en tu navegador. Analiza tu función en un árbol de expresiones con un analizador seguro (sin eval), la muestrea en el intervalo [a, b] y aproxima el área bajo la curva con la regla compuesta de Simpson, mostrando junto a ella la regla compuesta del trapecio para comparar. El resultado es el área con signo: las regiones por encima del eje x cuentan como positivas y las que están por debajo como negativas, y la visualización las distingue por color para que veas exactamente qué significa el número. Puedes integrar respecto a x o a cualquier variable, usar constantes como pi y e en la función y en los límites, e invertir los límites (lo que cambia el signo). Como es numérica, la respuesta es una aproximación muy precisa en lugar de una antiderivada en forma cerrada: combínala con la calculadora de derivadas para el trabajo simbólico.
Cómo usarla
- 1 Escribe la función a integrar, por ejemplo x^2, sin(x) o 1/x.
- 2 Define la variable (x por defecto) e introduce el límite inferior a y el superior b. Puedes usar pi o e.
- 3 Pulsa Integrar para obtener el valor de la integral definida, calculado con la regla de Simpson.
- 4 Consulta la comparación entre Simpson y el trapecio para mayor confianza y estudia el área sombreada bajo la curva.
Cómo funciona
La calculadora analiza tu expresión en un árbol de sintaxis abstracta y luego aproxima ∫f(x)dx en [a, b] dividiendo el intervalo en muchos subintervalos pequeños (1000 por defecto) y sumando las contribuciones. La regla compuesta de Simpson ajusta una parábola a cada par de subintervalos, con precisión de cuarto orden para funciones suaves, mientras que la del trapecio conecta los puntos muestreados con rectas. La cercanía de ambos valores (mostrada como la cifra de convergencia) indica cuán fiable es la estimación: para funciones suaves coinciden en muchos dígitos. El área con signo se calcula con honestidad: las partes de la curva por debajo del eje x restan del total. Los extremos que evalúan a infinito se desplazan ligeramente hacia dentro, y si la función es singular dentro del intervalo la herramienta informa de que la integral no está definida en lugar de devolver un número finito engañoso.
Preguntas frecuentes
¿El resultado es exacto o una aproximación?
Es una aproximación numérica. La herramienta muestrea la función en muchos puntos y suma el área, en lugar de hallar una antiderivada simbólica. Para funciones suaves el resultado es preciso hasta muchos decimales —normalmente mucho mejor que a mano—, pero sigue siendo una estimación, no una expresión en forma cerrada.
¿Cuál es la diferencia entre la regla de Simpson y la del trapecio?
La regla del trapecio une puntos muestreados consecutivos con rectas y suma los trapecios; es sencilla pero menos precisa. La regla de Simpson ajusta parábolas a pares de subintervalos, capta la curvatura y converge mucho más rápido (cuarto orden). Mostramos ambas para que veas su coincidencia; la diferencia entre ellas es una práctica comprobación de convergencia.
¿Cómo gestiona las singularidades o las integrales divergentes?
Si la función se dispara en un extremo, la herramienta evalúa justo dentro del intervalo para manejar casos evitables. Pero si la función no está definida o es infinita dentro del intervalo —como 1/x integrada a través de 0— informa de que la integral no está definida en lugar de devolver un valor finito falso. Las integrales que crecen sin límite se marcan como divergentes.
¿Es una integral definida o indefinida?
Calcula la integral definida: un único número igual al área con signo entre la curva y el eje x de a a b. No produce una integral indefinida (la antiderivada simbólica con +C). Para cálculo simbólico usa la calculadora de derivadas; la integración numérica definida es la especialidad de esta herramienta.
¿Puedo usar pi, e o límites en orden inverso?
Sí. Puedes escribir pi y e tanto en la función como en los límites (por ejemplo, integrar sin(x) de 0 a pi). Si el límite inferior es mayor que el superior, la integral se calcula con el signo invertido, conforme al convenio ∫a→b = −∫b→a.
Herramientas y usos relacionados
Las integrales definidas miden cantidades acumuladas: área, distancia a partir de la velocidad, trabajo, probabilidad y más. Combínala con la calculadora de derivadas para ver la derivación y la integración como operaciones inversas, la calculadora gráfica para ver la curva cuya área mides y la calculadora científica para evaluar los números que resultan.