Integralrechner
Berechnen Sie bestimmte Integrale numerisch und sehen Sie die vorzeichenbehaftete Fläche unter der Kurve
Zu integrierende Funktion
Bestimmtes Integral
Geben Sie eine Funktion und die Grenzen a und b ein und tippen Sie auf Integrieren, um den Wert und die schattierte Fläche unter der Kurve zu sehen.
Über dieses Tool
Dieser Integralrechner wertet bestimmte Integrale numerisch aus, vollständig in Ihrem Browser. Er analysiert Ihre Funktion mit einem sicheren Parser (kein eval) zu einem Ausdrucksbaum, tastet sie über das Intervall [a, b] ab und nähert die Fläche unter der Kurve mit der zusammengesetzten Simpson-Regel an, wobei zum Vergleich die zusammengesetzte Trapezregel daneben angezeigt wird. Das Ergebnis ist die vorzeichenbehaftete Fläche: Bereiche oberhalb der x-Achse zählen positiv, darunter liegende negativ, und die Visualisierung kennzeichnet sie farblich, damit Sie genau sehen, was die Zahl bedeutet. Sie können nach x oder jeder Variablen integrieren, Konstanten wie pi und e in der Funktion und den Grenzen verwenden und die Grenzen vertauschen (was das Vorzeichen umkehrt). Da es numerisch ist, ist die Antwort eine sehr genaue Näherung statt einer Stammfunktion in geschlossener Form — kombinieren Sie es für symbolische Arbeit mit dem Ableitungsrechner.
So wird's benutzt
- 1 Geben Sie die zu integrierende Funktion ein, zum Beispiel x^2, sin(x) oder 1/x.
- 2 Legen Sie die Variable fest (standardmäßig x) und geben Sie die untere Grenze a und die obere Grenze b ein. Sie können pi oder e verwenden.
- 3 Tippen Sie auf Integrieren, um den mit der Simpson-Regel berechneten Wert des bestimmten Integrals zu erhalten.
- 4 Lesen Sie den Vergleich von Simpson und Trapez zur Absicherung und betrachten Sie die schattierte Fläche unter der Kurve.
So funktioniert es
Der Rechner analysiert Ihren Ausdruck zunächst zu einem abstrakten Syntaxbaum und nähert dann ∫f(x)dx über [a, b], indem er das Intervall in viele kleine Teilintervalle (standardmäßig 1000) unterteilt und die Beiträge aufsummiert. Die zusammengesetzte Simpson-Regel legt durch jedes Paar von Teilintervallen eine Parabel und liefert für glatte Funktionen Genauigkeit vierter Ordnung, während die Trapezregel die Abtastpunkte durch Geraden verbindet. Die Nähe der beiden Werte (als Konvergenzzahl angezeigt) zeigt, wie verlässlich die Schätzung ist — bei glatten Funktionen stimmen sie auf viele Stellen überein. Die vorzeichenbehaftete Fläche wird ehrlich berechnet: Teile der Kurve unterhalb der x-Achse werden vom Gesamtwert abgezogen. Endpunkte, die zu unendlich auswerten, werden leicht nach innen verschoben, und ist die Funktion innerhalb des Intervalls singulär, meldet das Tool, dass das Integral undefiniert ist, statt eine irreführende endliche Zahl zurückzugeben.
Häufig gestellte Fragen
Ist das Ergebnis exakt oder eine Näherung?
Es ist eine numerische Näherung. Das Tool tastet die Funktion an vielen Punkten ab und summiert die Fläche auf, anstatt eine symbolische Stammfunktion zu finden. Für glatte Funktionen ist das Ergebnis auf viele Dezimalstellen genau — in der Regel weit besser als von Hand —, bleibt aber eine Schätzung und kein geschlossener Ausdruck.
Was ist der Unterschied zwischen Simpson- und Trapezregel?
Die Trapezregel verbindet aufeinanderfolgende Abtastpunkte durch Geraden und summiert die Trapeze; sie ist einfach, aber weniger genau. Die Simpson-Regel legt Parabeln durch Paare von Teilintervallen, erfasst die Krümmung und konvergiert deutlich schneller (vierter Ordnung). Wir zeigen beide, damit Sie ihre Übereinstimmung sehen; der Abstand zwischen ihnen ist eine praktische Konvergenzprüfung.
Wie geht es mit Singularitäten oder divergenten Integralen um?
Wenn die Funktion an einem Endpunkt explodiert, wertet das Tool knapp innerhalb des Intervalls aus, um hebbare Fälle zu bewältigen. Ist die Funktion jedoch innerhalb des Intervalls undefiniert oder unendlich — etwa 1/x über 0 integriert —, meldet es, dass das Integral undefiniert ist, statt einen falschen endlichen Wert zurückzugeben. Integrale, die unbegrenzt wachsen, werden als divergent gekennzeichnet.
Ist das ein bestimmtes oder unbestimmtes Integral?
Es berechnet das bestimmte Integral — eine einzelne Zahl gleich der vorzeichenbehafteten Fläche zwischen Kurve und x-Achse von a bis b. Es erzeugt kein unbestimmtes Integral (die symbolische Stammfunktion mit +C). Für symbolische Analysis verwenden Sie den Ableitungsrechner; numerische bestimmte Integration ist die Spezialität dieses Tools.
Kann ich pi, e oder Grenzen in umgekehrter Reihenfolge verwenden?
Ja. Sie können pi und e sowohl in der Funktion als auch in den Grenzen schreiben (zum Beispiel sin(x) von 0 bis pi integrieren). Ist die untere Grenze größer als die obere, wird das Integral mit umgekehrtem Vorzeichen berechnet, genau gemäß der Konvention ∫a→b = −∫b→a.
Verwandte Tools und Anwendungen
Bestimmte Integrale messen angesammelte Größen: Fläche, Weg aus der Geschwindigkeit, Arbeit, Wahrscheinlichkeit und mehr. Kombinieren Sie es mit dem Ableitungsrechner, um Differenzieren und Integrieren als Umkehroperationen zu sehen, mit dem Funktionsplotter, um die Kurve zu betrachten, deren Fläche Sie messen, und mit dem wissenschaftlichen Rechner, um die entstehenden Zahlen auszuwerten.