حاسبة التكامل
احسب التكاملات المحدودة عدديًا وشاهد المساحة ذات الإشارة تحت المنحنى
الدالة المراد تكاملها
التكامل المحدود
أدخل دالة والحدّين a و b، ثم اضغط «تكامل» لرؤية القيمة والمساحة المظلَّلة تحت المنحنى.
حول هذه الأداة
تقيّم حاسبة التكامل هذه التكاملات المحدودة عدديًا، بالكامل داخل متصفحك. تحلّل دالتك إلى شجرة تعبير بمحلّل آمن (بدون eval)، وتأخذ منها عيّنات على طول الفترة [a, b]، وتقرّب المساحة تحت المنحنى بقاعدة سيمبسون المركبة، مع عرض قاعدة شبه المنحرف المركبة بجانبها للمقارنة. النتيجة هي المساحة ذات الإشارة: تُحسب المناطق فوق محور x موجبة وما تحته سالبة، ويميّزها التصوّر بالألوان لترى بالضبط ما يعنيه الرقم. يمكنك التكامل بالنسبة إلى x أو أي متغير، واستخدام ثوابت مثل pi و e في الدالة والحدود، وعكس الحدود (ما يقلب الإشارة). ولأنها عددية، فالإجابة تقريب دقيق جدًا وليست مشتقة عكسية بصيغة مغلقة — اجمعها مع حاسبة المشتقات للعمل الرمزي.
طريقة الاستخدام
- 1 اكتب الدالة المراد تكاملها، مثل x^2 أو sin(x) أو 1/x.
- 2 حدّد المتغير (x افتراضيًا) وأدخل الحد الأدنى a والحد الأعلى b. يمكنك استخدام pi أو e.
- 3 اضغط «تكامل» للحصول على قيمة التكامل المحدود، المحسوبة بقاعدة سيمبسون.
- 4 اطّلع على مقارنة سيمبسون مقابل شبه المنحرف للاطمئنان، وادرس المساحة المظلَّلة تحت المنحنى.
كيف تعمل
تحلّل الحاسبة تعبيرك أولًا إلى شجرة تركيب نحوي مجرّدة، ثم تقرّب ∫f(x)dx على [a, b] بتقسيم الفترة إلى فترات جزئية صغيرة كثيرة (1000 افتراضيًا) وجمع المساهمات. تلائم قاعدة سيمبسون المركبة قطعًا مكافئًا لكل زوج من الفترات الجزئية، فتعطي دقة من الرتبة الرابعة للدوال الملساء، بينما تصل قاعدة شبه المنحرف نقاط العيّنة بخطوط مستقيمة. قرب القيمتين (المعروض كرقم التقارب) يبيّن مدى موثوقية التقدير — وللدوال الملساء تتطابقان حتى أرقام كثيرة. تُحسب المساحة ذات الإشارة بأمانة: تطرح أجزاء المنحنى تحت محور x من المجموع. تُزاح الأطراف التي تقيّم إلى ما لا نهاية قليلًا إلى الداخل، وإذا كانت الدالة شاذة داخل الفترة فإن الأداة تُبلّغ بأن التكامل غير معرّف بدلًا من إرجاع رقم محدود مضلِّل.
الأسئلة الشائعة
هل النتيجة دقيقة أم تقريبية؟
إنها تقريب عددي. تأخذ الأداة عيّنات من الدالة في نقاط كثيرة وتجمع المساحة، بدلًا من إيجاد مشتقة عكسية رمزية. للدوال الملساء تكون النتيجة دقيقة حتى منازل عشرية كثيرة — أفضل بكثير عادةً من الحساب اليدوي — لكنها تبقى تقديرًا وليست تعبيرًا بصيغة مغلقة.
ما الفرق بين قاعدة سيمبسون وقاعدة شبه المنحرف؟
تصل قاعدة شبه المنحرف نقاط العيّنة المتتالية بخطوط مستقيمة وتجمع أشباه المنحرفات؛ وهي بسيطة لكن أقل دقة. أما قاعدة سيمبسون فتلائم قطوعًا مكافئة لأزواج الفترات الجزئية، فتلتقط الانحناء وتتقارب أسرع بكثير (الرتبة الرابعة). نعرض كلتيهما لترى تطابقهما؛ والفجوة بينهما فحص تقارب عملي.
كيف تتعامل مع النقاط الشاذة أو التكاملات المتباعدة؟
إذا انفجرت الدالة عند أحد الطرفين، تقيّم الأداة داخل الفترة مباشرةً للتعامل مع الحالات القابلة للإزالة. لكن إذا كانت الدالة غير معرّفة أو لا نهائية داخل الفترة — مثل 1/x مُكاملة عبر 0 — فإنها تُبلّغ بأن التكامل غير معرّف بدلًا من إرجاع قيمة محدودة زائفة. أما التكاملات التي تنمو بلا حدود فتُوسَم بأنها متباعدة.
هل هذا تكامل محدود أم غير محدود؟
يحسب التكامل المحدود — رقم واحد يساوي المساحة ذات الإشارة بين المنحنى ومحور x من a إلى b. لا ينتج تكاملًا غير محدود (المشتقة العكسية الرمزية مع +C). للتفاضل والتكامل الرمزي استخدم حاسبة المشتقات؛ فالتكامل المحدود العددي هو تخصص هذه الأداة.
هل يمكنني استخدام pi و e أو حدودًا بترتيب معكوس؟
نعم. يمكنك كتابة pi و e في الدالة والحدود معًا (مثلًا تكامل sin(x) من 0 إلى pi). وإذا كان الحد الأدنى أكبر من الأعلى، يُحسب التكامل بإشارة معكوسة، تمامًا وفق العرف ∫a→b = −∫b→a.
أدوات واستخدامات ذات صلة
تقيس التكاملات المحدودة كميات متراكمة: المساحة، والمسافة من السرعة، والشغل، والاحتمال وغيرها. اجمعها مع حاسبة المشتقات لرؤية الاشتقاق والتكامل عمليتين عكسيتين، وحاسبة الرسم البياني لرؤية المنحنى الذي تقيس مساحته، والحاسبة العلمية لتقييم الأرقام الناتجة.