积分计算器
用数值方法计算定积分，并可视化曲线下方的有符号面积
要积分的函数
定积分
输入函数以及下限a和上限b，然后点击「积分」即可看到结果以及曲线下方的着色面积。
关于此工具
此积分计算器完全在浏览器中用数值方法计算定积分。它用安全解析器（无eval）把函数解析成表达式树，在区间[a, b]上采样，并用复合辛普森法则近似曲线下方的面积，同时显示复合梯形法则以供对比。结果是有符号面积：x轴上方的区域计为正，下方的区域计为负，可视化会用颜色加以区分，让你清楚看到这个数字的含义。你可以对x或任意变量积分，在函数和积分限中使用pi和e等常数，也可以颠倒上下限（这会改变符号）。由于是数值方法，答案是非常精确的近似而非闭式原函数——符号运算请配合导数计算器使用。
使用方法
- 1 输入要积分的函数，例如x^2、sin(x)或1/x。
- 2 设置变量（默认x），输入下限a和上限b。可以使用pi或e。
- 3 点击「积分」即可得到用辛普森法则计算的定积分值。
- 4 查看辛普森法则与梯形法则的对比以增强信心，并研究曲线下方的着色面积。
工作原理
计算器先把表达式解析为抽象语法树，然后把区间[a, b]分成许多小子区间（默认1000个）并把贡献相加，从而近似∫f(x)dx。复合辛普森法则在每两个子区间上拟合一条抛物线，对光滑函数具有四阶精度；梯形法则用直线连接采样点。两个值的接近程度（显示为收敛指标）表明估算的可信度——对光滑函数它们会一致到很多位。有符号面积是如实计算的：x轴下方的部分会从总和中减去。在端点处取无穷大时会向内稍作偏移；若函数在区间内存在奇点，工具会报告积分无定义，而不是返回误导性的有限数值。
常见问题
结果是精确值还是近似值？
是数值近似。该工具在许多点上对函数采样并累加面积，而不是求符号原函数。对光滑函数，结果可精确到许多位小数——通常远好于手算——但它仍是估算值，而非闭式表达式。
辛普森法则和梯形法则有什么区别？
梯形法则用直线连接相邻采样点并累加梯形，简单但精度较低。辛普森法则在子区间对上拟合抛物线，能捕捉曲率并以四阶速度更快收敛。我们同时显示两者，便于你看到它们一致；二者之差是方便的收敛检查。
它如何处理奇点或发散积分？
若函数在端点处发散，工具会在区间内侧稍作评估以应对可去情形。但若函数在区间内无定义或为无穷（例如跨越0积分的1/x），它会报告积分无定义，而不返回错误的有限值。无限增大的积分会被标记为发散。
这是定积分还是不定积分？
这计算定积分——一个数值，等于从a到b曲线与x轴之间的有符号面积。它不产生不定积分（带+C的符号原函数）。符号微积分请用导数计算器；数值定积分正是此工具的专长。
可以使用pi、e或颠倒上下限吗？
可以。函数和积分限中都能写pi和e（例如把sin(x)从0积分到pi）。若下限大于上限，积分将以相反符号计算，正好符合∫a→b = −∫b→a的约定。
相关工具与用途
定积分用于度量累积量：面积、由速度求出的距离、功、概率等。可与导数计算器配合，理解微分与积分互为逆运算；用绘图工具查看你正在求面积的曲线；用科学计算器处理得出的数值。