समाकलन कैलकुलेटर
निश्चित समाकलन को संख्यात्मक रूप से निकालें और वक्र के नीचे चिह्न-सहित क्षेत्रफल देखें
समाकलित करने वाला फलन
निश्चित समाकलन
फलन तथा सीमाएँ a और b दर्ज करें, फिर मान और वक्र के नीचे रंगा क्षेत्रफल देखने के लिए «समाकलित करें» दबाएँ।
इस उपकरण के बारे में
यह समाकलन कैलकुलेटर निश्चित समाकलन को पूरी तरह आपके ब्राउज़र में संख्यात्मक रूप से निकालता है। यह आपके फलन को सुरक्षित पार्सर (बिना eval) से व्यंजक-वृक्ष में बदलता है, अंतराल [a, b] में उसका नमूना लेता है, और संयुक्त सिम्पसन नियम से वक्र के नीचे क्षेत्रफल का सन्निकटन करता है, जिसके साथ तुलना हेतु संयुक्त समलंब नियम भी दिखाया जाता है। परिणाम चिह्न-सहित क्षेत्रफल है: x-अक्ष के ऊपर के क्षेत्र धनात्मक और नीचे के ऋणात्मक गिने जाते हैं, और दृश्य प्रस्तुति उन्हें रंग देकर अलग करती है ताकि आप ठीक-ठीक देख सकें कि संख्या का अर्थ क्या है। आप x या किसी भी चर के सापेक्ष समाकलित कर सकते हैं, फलन और सीमाओं दोनों में pi व e जैसे स्थिरांक प्रयोग कर सकते हैं, और सीमाओं को उलट सकते हैं (जिससे चिह्न बदल जाता है)। चूँकि यह संख्यात्मक है, उत्तर बंद-रूप प्रति-अवकलज के बजाय अत्यंत सटीक सन्निकटन होता है — सांकेतिक कार्य के लिए इसे अवकलज कैलकुलेटर के साथ प्रयोग करें।
कैसे उपयोग करें
- 1 समाकलित करने वाला फलन लिखें, जैसे x^2, sin(x) या 1/x।
- 2 चर निर्धारित करें (मूल रूप से x) और निचली सीमा a तथा ऊपरी सीमा b दर्ज करें। आप pi या e प्रयोग कर सकते हैं।
- 3 «समाकलित करें» दबाएँ ताकि सिम्पसन नियम से गणना किए गए निश्चित समाकलन का मान मिले।
- 4 विश्वास हेतु सिम्पसन बनाम समलंब की तुलना देखें और वक्र के नीचे रंगे क्षेत्रफल का अध्ययन करें।
यह कैसे काम करता है
कैलकुलेटर पहले आपके व्यंजक को अमूर्त वाक्य-विन्यास वृक्ष में विश्लेषित करता है, फिर अंतराल [a, b] को कई छोटे उप-अंतरालों (मूल रूप से 1000) में बाँटकर और योगदान जोड़कर ∫f(x)dx का सन्निकटन करता है। संयुक्त सिम्पसन नियम हर दो उप-अंतरालों पर एक परवलय फिट करता है, जिससे चिकने फलनों के लिए चतुर्थ-कोटि सटीकता मिलती है, जबकि समलंब नियम नमूना बिंदुओं को सरल रेखाओं से जोड़ता है। दोनों मानों की निकटता (अभिसरण आँकड़े के रूप में दिखाई गई) बताती है कि अनुमान कितना विश्वसनीय है — चिकने फलनों के लिए वे कई अंकों तक मेल खाते हैं। चिह्न-सहित क्षेत्रफल ईमानदारी से गिना जाता है: x-अक्ष के नीचे के भाग कुल में से घटते हैं। जिन सिरों पर मान अनंत बनता है उन्हें थोड़ा भीतर खिसका दिया जाता है, और यदि अंतराल के भीतर फलन में विचित्रता हो तो उपकरण भ्रामक परिमित संख्या देने के बजाय बताता है कि समाकलन अपरिभाषित है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
परिणाम यथार्थ है या सन्निकटन?
यह एक संख्यात्मक सन्निकटन है। उपकरण फलन को कई बिंदुओं पर मूल्यांकित करके क्षेत्रफल जोड़ता है, न कि सांकेतिक प्रति-अवकलज खोजता है। चिकने फलनों के लिए परिणाम कई दशमलव स्थानों तक सटीक होता है — आमतौर पर हाथ से किए गए की तुलना में कहीं बेहतर — फिर भी यह अनुमान है, बंद-रूप व्यंजक नहीं।
सिम्पसन नियम और समलंब नियम में क्या अंतर है?
समलंब नियम लगातार नमूना बिंदुओं को सरल रेखाओं से जोड़कर समलंब जोड़ता है, जो सरल पर कम सटीक है। सिम्पसन नियम उप-अंतराल युग्मों पर परवलय फिट करता है, वक्रता को पकड़ता है और कहीं तेज़ी से (चतुर्थ-कोटि) अभिसरित होता है। हम दोनों दिखाते हैं ताकि आप उनका मेल देख सकें; उनका अंतर अभिसरण जाँच का सरल उपाय है।
यह विचित्रताओं या अपसरित समाकलनों को कैसे संभालता है?
यदि फलन किसी सिरे पर बहुत बढ़ जाता है, तो उपकरण हटाने योग्य मामलों के लिए अंतराल के ठीक भीतर मूल्यांकन करता है। पर यदि फलन अंतराल के भीतर अपरिभाषित या अनंत है — जैसे 0 के पार समाकलित 1/x — तो यह झूठी परिमित संख्या देने के बजाय बताता है कि समाकलन अपरिभाषित है। असीमित रूप से बढ़ने वाले समाकलन अपसरित के रूप में चिह्नित किए जाते हैं।
यह निश्चित समाकलन है या अनिश्चित?
यह निश्चित समाकलन निकालता है — एक एकल संख्या जो a से b तक वक्र और x-अक्ष के बीच चिह्न-सहित क्षेत्रफल के बराबर है। यह अनिश्चित समाकलन (+C सहित सांकेतिक प्रति-अवकलज) नहीं देता। सांकेतिक कलन के लिए अवकलज कैलकुलेटर प्रयोग करें; संख्यात्मक निश्चित समाकलन इस उपकरण की विशेषता है।
क्या मैं pi, e या उलटे क्रम की सीमाएँ प्रयोग कर सकता हूँ?
हाँ। आप फलन और सीमाओं दोनों में pi और e लिख सकते हैं (जैसे sin(x) को 0 से pi तक समाकलित करना)। यदि निचली सीमा ऊपरी से बड़ी हो, तो समाकलन उलटे चिह्न के साथ निकाला जाता है, जो ∫a→b = −∫b→a परिपाटी से ठीक मेल खाता है।
संबंधित उपकरण और उपयोग
निश्चित समाकलन संचित मात्राओं को मापते हैं: क्षेत्रफल, वेग से दूरी, कार्य, प्रायिकता आदि। इसे अवकलज कैलकुलेटर के साथ प्रयोग करें ताकि अवकलन और समाकलन को व्युत्क्रम संक्रियाओं के रूप में देखें, ग्राफ कैलकुलेटर से उस वक्र को देखें जिसका क्षेत्रफल आप माप रहे हैं, और वैज्ञानिक कैलकुलेटर से निकले अंकों का मूल्यांकन करें।