積分計算機
定積分を数値的に計算し、曲線の下の符号付き面積を可視化
積分する関数
定積分
関数と下限a・上限bを入力し、「積分する」を押すと、値と曲線の下の塗られた面積が表示されます。
このツールについて
この積分計算機は、定積分をすべてブラウザ内で数値的に計算します。安全なパーサ（evalなし）で関数を式の木に変換し、区間[a, b]全体でサンプリングして、合成シンプソン則で曲線の下の面積を近似します（比較用に合成台形則も併記）。結果は符号付き面積です。x軸より上の領域は正、下の領域は負として数え、可視化ではこれらを色分けするため、数値の意味が一目で分かります。xや任意の変数で積分でき、関数と範囲の両方でpiやeなどの定数が使え、上下の範囲を逆にもできます（符号が反転）。数値計算なので、答えは閉形式の原始関数ではなく非常に精度の高い近似です。記号的な計算には微分計算機と併用してください。
使い方
- 1 積分する関数を入力します（例: x^2、sin(x)、1/x）。
- 2 変数（既定はx）を設定し、下限aと上限bを入力します。piやeも使えます。
- 3 「積分する」を押すと、シンプソン則で計算した定積分の値が得られます。
- 4 シンプソン則と台形則の比較で精度を確認し、曲線の下の塗られた面積を観察しましょう。
仕組み
計算機はまず式を抽象構文木に解析し、区間[a, b]を多数の小区間（既定1000分割）に分けて寄与を足し合わせ、∫f(x)dxを近似します。合成シンプソン則は2小区間ごとに放物線を当てはめ、滑らかな関数に対して4次の精度を持ちます。台形則はサンプル点を直線で結びます。2つの値の近さ（収束の目安として表示）は推定の信頼度を示し、滑らかな関数では多数桁まで一致します。符号付き面積は正直に計算され、x軸より下の部分は合計から差し引かれます。端点が無限に評価される場合はわずかに内側で評価し、区間内に特異点があれば誤った有限値を返さず「定義されない」と報告します。
よくある質問
結果は厳密ですか、それとも近似ですか？
数値近似です。記号的な原始関数を求めるのではなく、関数を多数の点でサンプリングして面積を足し合わせます。滑らかな関数では小数点以下多数桁まで正確で、手計算よりはるかに良い結果になりますが、閉形式の式ではなくあくまで推定値です。
シンプソン則と台形則の違いは何ですか？
台形則は連続するサンプル点を直線で結んで台形を足し合わせる方法で、単純ですが精度は劣ります。シンプソン則は小区間の対ごとに放物線を当てはめ、曲がりを捉えてはるかに速く（4次で）収束します。両方を表示するので一致を確認でき、その差は手軽な収束チェックになります。
特異点や発散する積分はどう扱われますか？
端点で関数が発散する場合は、区間のわずかに内側で評価して除去可能なケースに対応します。ただし区間内で関数が定義されない・無限になる場合（例: 0をまたぐ1/x）は、誤った有限値を返さず「定義されない」と報告します。無限に大きくなる積分は発散として表示されます。
これは定積分ですか、不定積分ですか？
これは定積分を計算します。aからbまでの曲線とx軸の間の符号付き面積に等しい1つの数値です。不定積分（+C付きの記号的な原始関数）は出力しません。記号的な微積分には微分計算機を、数値の定積分にはこのツールを使ってください。
piやe、上下を逆にした範囲は使えますか？
はい。関数にも範囲にもpiとeを書けます（例: sin(x)を0からpiまで積分）。下限が上限より大きい場合は符号を反転して計算し、∫a→b = −∫b→aの慣習に正確に従います。
関連ツールと用途
定積分は蓄積量を測ります。面積、速度からの移動距離、仕事、確率などです。微分計算機と併用して微分と積分が逆の操作であることを確かめ、グラフ計算機で面積を測る曲線を見て、科学計算機で出てきた数値を評価しましょう。