التفاضل والتكامل
كل مشتقة وتكامل تحتاجه في جدول واحد منظّم — قواعد القوى والأسّية واللوغاريتمية والمثلثية والمثلثية العكسية والزائدية — مع روابط بلمسة واحدة إلى حلّالات المشتقات والتكاملات التفاعلية لدينا كي تعالج مسألتك على الفور.
المشتقات الشائعة
القوى والجذور
- d/dx(c)=0
- d/dx(x)=1
- d/dx(xⁿ)=n·xⁿ⁻¹
- d/dx(√x)=1/(2√x)
الأسّية واللوغاريتمية
- d/dx(eˣ)=eˣ
- d/dx(aˣ)=aˣ·ln a
- d/dx(ln x)=1/x
- d/dx(logₐx)=1/(x·ln a)
المثلثية
- d/dx(sin x)=cos x
- d/dx(cos x)=−sin x
- d/dx(tan x)=sec²x
- d/dx(cot x)=−csc²x
- d/dx(sec x)=sec x·tan x
- d/dx(csc x)=−csc x·cot x
المثلثية العكسية
- d/dx(arcsin x)=1/√(1−x²)
- d/dx(arccos x)=−1/√(1−x²)
- d/dx(arctan x)=1/(1+x²)
القواعد
- (f ± g)′=f′ ± g′
- (c·f)′=c·f′
- (f·g)′=f′g + fg′
- (f/g)′=(f′g − fg′)/g²
- (f(g(x)))′=f′(g(x))·g′(x)
الزائدية
- d/dx(sinh x)=cosh x
- d/dx(cosh x)=sinh x
- d/dx(tanh x)=sech²x
هذه هي النتائج الأساسية القياسية. يمكن التحقق من كل تكامل باشتقاق الناتج للعودة إلى الدالة الأصلية — فمثلاً d/dx(−cos x) = sin x يؤكّد أن ∫sin x dx = −cos x + C.
المشتقات الشائعة
القوى والجذور
- d/dx(c) = 0
- d/dx(x) = 1
- d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹
- d/dx(√x) = 1/(2√x)
الأسّية واللوغاريتمية
- d/dx(eˣ) = eˣ
- d/dx(aˣ) = aˣ·ln a
- d/dx(ln x) = 1/x
- d/dx(logₐx) = 1/(x·ln a)
المثلثية
- d/dx(sin x) = cos x
- d/dx(cos x) = −sin x
- d/dx(tan x) = sec²x
- d/dx(cot x) = −csc²x
- d/dx(sec x) = sec x·tan x
- d/dx(csc x) = −csc x·cot x
المثلثية العكسية
- d/dx(arcsin x) = 1/√(1−x²)
- d/dx(arccos x) = −1/√(1−x²)
- d/dx(arctan x) = 1/(1+x²)
القواعد
- (f ± g)′ = f′ ± g′
- (c·f)′ = c·f′
- (f·g)′ = f′g + fg′
- (f/g)′ = (f′g − fg′)/g²
- (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)
الزائدية
- d/dx(sinh x) = cosh x
- d/dx(cosh x) = sinh x
- d/dx(tanh x) = sech²x
التكاملات الشائعة
القوى والجذور
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1)
- ∫1/x dx = ln|x| + C
- ∫1 dx = x + C
الأسّية واللوغاريتمية
- ∫eˣ dx = eˣ + C
- ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C
- ∫ln x dx = x·ln x − x + C
المثلثية
- ∫sin x dx = −cos x + C
- ∫cos x dx = sin x + C
- ∫sec²x dx = tan x + C
- ∫csc²x dx = −cot x + C
- ∫sec x·tan x dx = sec x + C
- ∫tan x dx = −ln|cos x| + C
- ∫cot x dx = ln|sin x| + C
المثلثية العكسية
- ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C
- ∫1/√(1−x²) dx = arcsin x + C
- ∫1/(a²+x²) dx = (1/a)·arctan(x/a) + C
القواعد
- ∫(f ± g) dx = ∫f dx ± ∫g dx
- ∫c·f dx = c·∫f dx
- ∫u dv = u·v − ∫v du
حول مرجع التفاضل والتكامل
هذه هي ورقة المراجعة في التفاضل والتكامل التي يلجأ إليها الطلاب أكثر من غيرها: المشتقات الشائعة والتكاملات غير المحدودة، مرتّبة تمامًا كما تُدرَّس. بدّل بين تبويبَي المشتقات والتكاملات وتصفّح البطاقات حسب النوع — قواعد القوى والجذور (بما فيها d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹ و∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C)، والقواعد الأسّية واللوغاريتمية، والدوال المثلثية الست ومعكوساتها، وقواعد الاشتقاق والتكامل (الضرب والقسمة والسلسلة والخطّية والتكامل بالتجزئة)، والمشتقات الزائدية الأساسية. كل صيغة مكتوبة بترميز يونيكود نظيف — بلا صور — فتُنسَخ بدقّة إلى ملاحظاتك ويسهل على التقنيات المساعِدة والذكاء الاصطناعي قراءتها. ما يميّز هذه الصفحة عن ملف PDF ثابت أنها موصولة بحاسبات UnitConv التفاعلية: حين تجد القاعدة التي تحتاجها، اضغط «احسب مشتقتك الخاصة» أو «احسب تكاملك الخاص» لفتح الحلّالات خطوة بخطوة ومعالجة مسألتك الفعلية. استخدمها مرجعًا للواجبات، أو قائمة مراجعة للامتحان، أو بحثًا سريعًا وأنت تحلّ مجموعة تمارين.
كيفية استخدام هذا المرجع
- 1 اختر تبويب المشتقات أو التكاملات حسب ما تبحث عنه.
- 2 اعثر على القاعدة في البطاقات المجمّعة — القوى أو الأسّية أو اللوغاريتمية أو المثلثية أو العكسية أو القواعد أو الزائدية — وانقلها إلى حلّك.
- 3 اضغط «احسب مشتقتك الخاصة» أو «احسب تكاملك الخاص» لفتح الحاسبة التفاعلية ومعالجة دالتك الخاصة.
كيف يترابط الاشتقاق والتكامل
الاشتقاق والتكامل عمليتان عكسيتان، وهذا هو جوهر النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل: إذا كان F′(x) = f(x) فإن ∫f(x) dx = F(x) + C. لذلك يمكن التحقق من كل مدخل في جدول التكاملات باشتقاق الناتج: • ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C لأن d/dx(xⁿ⁺¹/(n+1)) = (n+1)·xⁿ/(n+1) = xⁿ (صالحة عند n ≠ −1؛ والحالة الناقصة ∫1/x dx = ln|x| + C تسدّ الفجوة). • ∫sin x dx = −cos x + C لأن d/dx(−cos x) = sin x، و∫cos x dx = sin x + C لأن d/dx(sin x) = cos x. • ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C لأن d/dx(arctan x) = 1/(1+x²). يحمل التكامل غير المحدود ثابت تكامل «+ C» لأن اشتقاق أي ثابت يساوي صفرًا، فلا تتحدّد الدالة الأصلية إلا بمقدار ذلك الثابت. وتتيح لك قواعد الاشتقاق (الضرب والقسمة والسلسلة) ونظائرها التكاملية (الخطّية والتكامل بالتجزئة ∫u dv = u·v − ∫v du، وهو مجرد قاعدة الضرب معكوسة) أن توسّع هذه اللبنات إلى أي دالة أوّلية تقريبًا.
الأسئلة الشائعة
ما أكثر المشتقات شيوعًا التي ينبغي حفظها؟
الأساسيات هي قاعدة القوى d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹، والقاعدتان الأسّية واللوغاريتمية d/dx(eˣ) = eˣ وd/dx(ln x) = 1/x، والمشتقات المثلثية d/dx(sin x) = cos x وd/dx(cos x) = −sin x وd/dx(tan x) = sec²x. ومع قواعد الضرب والقسمة والسلسلة، تمكّنك هذه من اشتقاق أي دالة أوّلية تقريبًا تصادفها في أول مقرر تفاضل وتكامل.
لماذا يحمل كل تكامل غير محدود «+ C»؟
لأن اشتقاق ثابت يساوي صفرًا، فإن أي دالتين أصليتين لنفس الدالة لا تختلفان إلا بمقدار ثابت. لذا فالتكامل غير المحدود ليس دالة واحدة بل عائلة كاملة، تُكتب بثابت التكامل «+ C». مثلاً ∫cos x dx = sin x + C، وكلٌّ من sin x + 3 وsin x − 7 دالتان أصليتان صحيحتان. ولا يتحدّد الثابت إلا عندما يتوفّر شرط ابتدائي أو تحسب تكاملاً محدودًا.
كيف أتحقّق من أن التكامل صحيح؟
اشتقّ ناتجك — فإذا استرجعت المُكامَل الأصلي، فالتكامل صحيح. وهذا ينجح لأن الاشتقاق والتكامل عمليتان عكسيتان. مثلاً، للتأكد من ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C، اشتقّ الطرف الأيمن: d/dx(xⁿ⁺¹/(n+1)) = (n+1)·xⁿ/(n+1) = xⁿ، وهو بالضبط المُكامَل. هذا الفحص الذاتي أسرع طريقة لاكتشاف خطأ.
ما هو التكامل بالتجزئة؟
التكامل بالتجزئة هو النظير التكاملي لقاعدة الضرب: ∫u dv = u·v − ∫v du. تستخدمه حين يكون المُكامَل حاصل ضرب نوعين مختلفين من الدوال — مثل x·eˣ أو x·ln x — فتختار u وdv بحيث يكون التكامل المتبقّي ∫v du أبسط من الأصلي. ودليل شائع لاختيار u هو ترتيب LIATE (لوغاريتمية، مثلثية عكسية، جبرية، مثلثية، أسّية).
أدوات ذات صلة
حوّل أيًّا من هذه القواعد إلى حلٍّ مُفصَّل على UnitConv: اشتقّ دالة خطوة بخطوة بحاسبة المشتقات، وأوجِد الدوال الأصلية والتكاملات المحدودة بحاسبة التكاملات، وابحث عن المتطابقات المثلثية التي ستحتاجها في الطريق، ونسّق الأعداد الكبيرة أو الصغيرة بمحوّل الترميز العلمي.