कैलकुलस — सूत्र
आपके ज़रूरी हर अवकलज और समाकलन को एक व्यवस्थित सारणी में — घात, चरघातांकी, लघुगणकीय, त्रिकोणमितीय, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय और अतिपरवलयिक नियम — हमारे इंटरैक्टिव अवकलज और समाकलन हल-कर्ताओं के लिए एक-टैप लिंक के साथ, ताकि आप तुरंत अपनी समस्या पर काम कर सकें।
सामान्य अवकलज
घात और मूल
- d/dx(c)=0
- d/dx(x)=1
- d/dx(xⁿ)=n·xⁿ⁻¹
- d/dx(√x)=1/(2√x)
चरघातांकी और लघुगणक
- d/dx(eˣ)=eˣ
- d/dx(aˣ)=aˣ·ln a
- d/dx(ln x)=1/x
- d/dx(logₐx)=1/(x·ln a)
त्रिकोणमितीय
- d/dx(sin x)=cos x
- d/dx(cos x)=−sin x
- d/dx(tan x)=sec²x
- d/dx(cot x)=−csc²x
- d/dx(sec x)=sec x·tan x
- d/dx(csc x)=−csc x·cot x
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय
- d/dx(arcsin x)=1/√(1−x²)
- d/dx(arccos x)=−1/√(1−x²)
- d/dx(arctan x)=1/(1+x²)
नियम
- (f ± g)′=f′ ± g′
- (c·f)′=c·f′
- (f·g)′=f′g + fg′
- (f/g)′=(f′g − fg′)/g²
- (f(g(x)))′=f′(g(x))·g′(x)
अतिपरवलयिक
- d/dx(sinh x)=cosh x
- d/dx(cosh x)=sinh x
- d/dx(tanh x)=sech²x
ये मानक प्रारंभिक परिणाम हैं। हर समाकलन को उसके उत्तर का अवकलन करके मूल फलन प्राप्त कर जाँचा जा सकता है — उदाहरण के लिए d/dx(−cos x) = sin x यह पुष्टि करता है कि ∫sin x dx = −cos x + C।
सामान्य अवकलज
घात और मूल
- d/dx(c) = 0
- d/dx(x) = 1
- d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹
- d/dx(√x) = 1/(2√x)
चरघातांकी और लघुगणक
- d/dx(eˣ) = eˣ
- d/dx(aˣ) = aˣ·ln a
- d/dx(ln x) = 1/x
- d/dx(logₐx) = 1/(x·ln a)
त्रिकोणमितीय
- d/dx(sin x) = cos x
- d/dx(cos x) = −sin x
- d/dx(tan x) = sec²x
- d/dx(cot x) = −csc²x
- d/dx(sec x) = sec x·tan x
- d/dx(csc x) = −csc x·cot x
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय
- d/dx(arcsin x) = 1/√(1−x²)
- d/dx(arccos x) = −1/√(1−x²)
- d/dx(arctan x) = 1/(1+x²)
नियम
- (f ± g)′ = f′ ± g′
- (c·f)′ = c·f′
- (f·g)′ = f′g + fg′
- (f/g)′ = (f′g − fg′)/g²
- (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)
अतिपरवलयिक
- d/dx(sinh x) = cosh x
- d/dx(cosh x) = sinh x
- d/dx(tanh x) = sech²x
सामान्य समाकलन
घात और मूल
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1)
- ∫1/x dx = ln|x| + C
- ∫1 dx = x + C
चरघातांकी और लघुगणक
- ∫eˣ dx = eˣ + C
- ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C
- ∫ln x dx = x·ln x − x + C
त्रिकोणमितीय
- ∫sin x dx = −cos x + C
- ∫cos x dx = sin x + C
- ∫sec²x dx = tan x + C
- ∫csc²x dx = −cot x + C
- ∫sec x·tan x dx = sec x + C
- ∫tan x dx = −ln|cos x| + C
- ∫cot x dx = ln|sin x| + C
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय
- ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C
- ∫1/√(1−x²) dx = arcsin x + C
- ∫1/(a²+x²) dx = (1/a)·arctan(x/a) + C
नियम
- ∫(f ± g) dx = ∫f dx ± ∫g dx
- ∫c·f dx = c·∫f dx
- ∫u dv = u·v − ∫v du
कैलकुलस सूत्र संदर्भ के बारे में
यह वही कैलकुलस चीट शीट है जिसकी ओर विद्यार्थी सबसे अधिक हाथ बढ़ाते हैं: सामान्य अवकलज और अनिश्चित समाकलन, ठीक उसी तरह व्यवस्थित जैसे उन्हें पढ़ाया जाता है। अवकलज और समाकलन टैब के बीच स्विच करें और प्रकार के अनुसार कार्ड देखें — घात और मूल नियम (d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹ और ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C सहित), चरघातांकी और लघुगणकीय नियम, छह त्रिकोणमितीय फलन और उनके प्रतिलोम, अवकलन और समाकलन के नियम (गुणनफल, भागफल, श्रृंखला, रैखिकता और खंडशः समाकलन), और मूल अतिपरवलयिक अवकलज। हर सूत्र साफ़ यूनिकोड संकेतन में लिखा गया है — कोई चित्र नहीं — ताकि यह आपके नोट्स में स्वच्छ रूप से कॉपी हो और सहायक तकनीक तथा AI के लिए पढ़ना आसान हो। यह पृष्ठ किसी स्थिर PDF से इसलिए अलग है क्योंकि यह UnitConv के इंटरैक्टिव कैलकुलेटरों से जुड़ा है: जब आपको ज़रूरी नियम मिल जाए, तो «अपना अवकलज हल करें» या «अपना समाकलन हल करें» पर टैप करके हमारे चरण-दर-चरण हल-कर्ता खोलें और अपनी वास्तविक समस्या चलाएँ। इसे गृहकार्य संदर्भ, परीक्षा दोहराव सूची, या कैलकुलस के प्रश्नों को हल करते समय त्वरित खोज के रूप में उपयोग करें।
इस संदर्भ का उपयोग कैसे करें
- 1 जो खोज रहे हैं उसके अनुसार अवकलज या समाकलन टैब चुनें।
- 2 समूहीकृत कार्डों में नियम खोजें — घात, चरघातांकी, लघुगणक, त्रिकोणमितीय, प्रतिलोम, नियम या अतिपरवलयिक — और उसे अपने काम में उतारें।
- 3 इंटरैक्टिव कैलकुलेटर खोलने और अपना फलन चलाने के लिए «अपना अवकलज हल करें» या «अपना समाकलन हल करें» पर टैप करें।
अवकलज और समाकलन कैसे जुड़ते हैं
अवकलन और समाकलन परस्पर प्रतिलोम संक्रियाएँ हैं, और यही कैलकुलस के मूल प्रमेय का सार है: यदि F′(x) = f(x), तो ∫f(x) dx = F(x) + C। इसीलिए समाकलन सारणी की हर प्रविष्टि को उसके उत्तर का अवकलन करके सत्यापित किया जा सकता है: • ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C क्योंकि d/dx(xⁿ⁺¹/(n+1)) = (n+1)·xⁿ/(n+1) = xⁿ (n ≠ −1 के लिए मान्य; छूटा हुआ मामला ∫1/x dx = ln|x| + C उस अंतराल को भरता है)। • ∫sin x dx = −cos x + C क्योंकि d/dx(−cos x) = sin x, और ∫cos x dx = sin x + C क्योंकि d/dx(sin x) = cos x। • ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C क्योंकि d/dx(arctan x) = 1/(1+x²)। अनिश्चित समाकलन में समाकलन अचर «+ C» इसलिए होता है क्योंकि किसी भी अचर का अवकलन शून्य होता है, अतः प्रतिअवकलज केवल उस अचर तक ही निर्धारित होता है। अवकलन के नियम (गुणनफल, भागफल और श्रृंखला) और उनके समाकलन समकक्ष (रैखिकता तथा खंडशः समाकलन, ∫u dv = u·v − ∫v du, जो केवल गुणनफल नियम को उलटा चलाने जैसा है) आपको इन आधारभूत खंडों को लगभग किसी भी प्रारंभिक फलन तक विस्तारित करने देते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
याद रखने योग्य सबसे सामान्य अवकलज कौन-से हैं?
मूल बातें हैं घात नियम d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹, चरघातांकी और लघुगणकीय नियम d/dx(eˣ) = eˣ तथा d/dx(ln x) = 1/x, और त्रिकोणमितीय अवकलज d/dx(sin x) = cos x, d/dx(cos x) = −sin x तथा d/dx(tan x) = sec²x। गुणनफल, भागफल और श्रृंखला नियमों के साथ मिलकर, ये आपको पहले कैलकुलस पाठ्यक्रम में मिलने वाले लगभग किसी भी प्रारंभिक फलन का अवकलन करने देते हैं।
हर अनिश्चित समाकलन में «+ C» क्यों होता है?
क्योंकि किसी अचर का अवकलन शून्य होता है, इसलिए एक ही फलन के कोई भी दो प्रतिअवकलज केवल एक अचर से भिन्न होते हैं। अतः अनिश्चित समाकलन कोई एकल फलन नहीं, बल्कि एक पूरा कुल है, जिसे समाकलन अचर «+ C» के साथ लिखा जाता है। उदाहरण के लिए ∫cos x dx = sin x + C, और sin x + 3 तथा sin x − 7 दोनों मान्य प्रतिअवकलज हैं। यह अचर तभी निश्चित होता है जब आपके पास कोई प्रारंभिक शर्त हो या आप कोई निश्चित समाकलन आकलित करें।
मैं कैसे जाँचूँ कि समाकलन सही है?
अपने उत्तर का अवकलन करें — यदि मूल समाकल्य वापस मिल जाए, तो समाकलन सही है। यह इसलिए काम करता है क्योंकि अवकलन और समाकलन परस्पर प्रतिलोम संक्रियाएँ हैं। उदाहरण के लिए, ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C की पुष्टि हेतु दाईं ओर का अवकलन करें: d/dx(xⁿ⁺¹/(n+1)) = (n+1)·xⁿ/(n+1) = xⁿ, जो ठीक समाकल्य है। यह स्व-जाँच गलती पकड़ने का सबसे तेज़ तरीका है।
खंडशः समाकलन क्या है?
खंडशः समाकलन गुणनफल नियम का समाकलन समकक्ष है: ∫u dv = u·v − ∫v du। इसका उपयोग तब करते हैं जब समाकल्य दो भिन्न प्रकार के फलनों का गुणनफल हो — जैसे x·eˣ या x·ln x — और u तथा dv को इस तरह चुनते हैं कि शेष समाकलन ∫v du मूल से सरल हो। u चुनने का एक सामान्य मार्गदर्शक LIATE क्रम है (लघुगणकीय, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय, चरघातांकी)।
संबंधित उपकरण
इनमें से किसी भी नियम को UnitConv पर एक हल की गई समस्या में बदलें: अवकलज कैलकुलेटर से किसी फलन का चरण-दर-चरण अवकलन करें, समाकलन कैलकुलेटर से प्रतिअवकलज और निश्चित समाकलन ज्ञात करें, रास्ते में ज़रूरी त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को देखें, और वैज्ञानिक संकेतन परिवर्तक से बड़ी या छोटी संख्याओं को व्यवस्थित करें।