Cálculo — Fórmulas
Cada derivada e integral que necesitas en una tabla organizada — reglas de potencia, exponencial, logarítmica, trigonométrica, inversa trigonométrica e hiperbólica — con enlaces de un toque a nuestros solucionadores interactivos de derivadas e integrales para que resuelvas tu propio problema al instante.
Derivadas comunes
Potencias y raíces
- d/dx(c)=0
- d/dx(x)=1
- d/dx(xⁿ)=n·xⁿ⁻¹
- d/dx(√x)=1/(2√x)
Exponencial y logaritmo
- d/dx(eˣ)=eˣ
- d/dx(aˣ)=aˣ·ln a
- d/dx(ln x)=1/x
- d/dx(logₐx)=1/(x·ln a)
Trigonométricas
- d/dx(sin x)=cos x
- d/dx(cos x)=−sin x
- d/dx(tan x)=sec²x
- d/dx(cot x)=−csc²x
- d/dx(sec x)=sec x·tan x
- d/dx(csc x)=−csc x·cot x
Trigonométricas inversas
- d/dx(arcsin x)=1/√(1−x²)
- d/dx(arccos x)=−1/√(1−x²)
- d/dx(arctan x)=1/(1+x²)
Reglas
- (f ± g)′=f′ ± g′
- (c·f)′=c·f′
- (f·g)′=f′g + fg′
- (f/g)′=(f′g − fg′)/g²
- (f(g(x)))′=f′(g(x))·g′(x)
Hiperbólicas
- d/dx(sinh x)=cosh x
- d/dx(cosh x)=sinh x
- d/dx(tanh x)=sech²x
Estos son los resultados elementales estándar. Toda integral se puede comprobar derivando el resultado para recuperar la función original — por ejemplo, d/dx(−cos x) = sin x confirma que ∫sin x dx = −cos x + C.
Derivadas comunes
Potencias y raíces
- d/dx(c) = 0
- d/dx(x) = 1
- d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹
- d/dx(√x) = 1/(2√x)
Exponencial y logaritmo
- d/dx(eˣ) = eˣ
- d/dx(aˣ) = aˣ·ln a
- d/dx(ln x) = 1/x
- d/dx(logₐx) = 1/(x·ln a)
Trigonométricas
- d/dx(sin x) = cos x
- d/dx(cos x) = −sin x
- d/dx(tan x) = sec²x
- d/dx(cot x) = −csc²x
- d/dx(sec x) = sec x·tan x
- d/dx(csc x) = −csc x·cot x
Trigonométricas inversas
- d/dx(arcsin x) = 1/√(1−x²)
- d/dx(arccos x) = −1/√(1−x²)
- d/dx(arctan x) = 1/(1+x²)
Reglas
- (f ± g)′ = f′ ± g′
- (c·f)′ = c·f′
- (f·g)′ = f′g + fg′
- (f/g)′ = (f′g − fg′)/g²
- (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)
Hiperbólicas
- d/dx(sinh x) = cosh x
- d/dx(cosh x) = sinh x
- d/dx(tanh x) = sech²x
Integrales comunes
Potencias y raíces
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1)
- ∫1/x dx = ln|x| + C
- ∫1 dx = x + C
Exponencial y logaritmo
- ∫eˣ dx = eˣ + C
- ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C
- ∫ln x dx = x·ln x − x + C
Trigonométricas
- ∫sin x dx = −cos x + C
- ∫cos x dx = sin x + C
- ∫sec²x dx = tan x + C
- ∫csc²x dx = −cot x + C
- ∫sec x·tan x dx = sec x + C
- ∫tan x dx = −ln|cos x| + C
- ∫cot x dx = ln|sin x| + C
Trigonométricas inversas
- ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C
- ∫1/√(1−x²) dx = arcsin x + C
- ∫1/(a²+x²) dx = (1/a)·arctan(x/a) + C
Reglas
- ∫(f ± g) dx = ∫f dx ± ∫g dx
- ∫c·f dx = c·∫f dx
- ∫u dv = u·v − ∫v du
Sobre las fórmulas de cálculo
Esta es la chuleta de cálculo que los estudiantes consultan más: las derivadas comunes y las integrales indefinidas, organizadas exactamente como se enseñan. Cambia entre las pestañas Derivadas e Integrales y explora las tarjetas por tipo — reglas de potencia y raíz (incluidas d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹ y ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C), reglas exponenciales y logarítmicas, las seis funciones trigonométricas y sus inversas, las reglas de derivación e integración (producto, cociente, cadena, linealidad e integración por partes) y las derivadas hiperbólicas básicas. Cada fórmula está escrita en notación Unicode limpia — sin imágenes — para que se copie perfectamente en tus apuntes y sea fácil de leer para la tecnología de asistencia y la IA. Lo que distingue a esta página de un PDF estático es que está conectada con las calculadoras interactivas de UnitConv: cuando encuentres la regla que necesitas, toca «Resuelve tu propia derivada» o «Resuelve tu propia integral» para abrir nuestros solucionadores paso a paso y ejecutar tu problema real. Úsala como referencia de tareas, como lista de repaso para el examen o como consulta rápida mientras trabajas en una serie de cálculo.
Cómo usar esta referencia
- 1 Elige la pestaña Derivadas o Integrales según lo que busques.
- 2 Encuentra la regla en las tarjetas agrupadas — potencia, exponencial, logaritmo, trigonométricas, inversas, reglas o hiperbólicas — y cópiala en tu trabajo.
- 3 Toca «Resuelve tu propia derivada» o «Resuelve tu propia integral» para abrir la calculadora interactiva y ejecutar tu propia función.
Cómo se relacionan derivadas e integrales
La derivación y la integración son operaciones inversas, que es el sentido del teorema fundamental del cálculo: si F′(x) = f(x), entonces ∫f(x) dx = F(x) + C. Por eso cada entrada de la tabla de integrales se puede verificar derivando el resultado: • ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C porque d/dx(xⁿ⁺¹/(n+1)) = (n+1)·xⁿ/(n+1) = xⁿ (válido para n ≠ −1; el caso que falta ∫1/x dx = ln|x| + C llena el hueco). • ∫sin x dx = −cos x + C porque d/dx(−cos x) = sin x, y ∫cos x dx = sin x + C porque d/dx(sin x) = cos x. • ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C porque d/dx(arctan x) = 1/(1+x²). La integral indefinida lleva una constante de integración «+ C» porque derivar cualquier constante da cero, así que la antiderivada solo queda determinada salvo esa constante. Las reglas de derivación (producto, cociente y cadena) y sus contrapartes integrales (linealidad e integración por partes, ∫u dv = u·v − ∫v du, que es solo la regla del producto aplicada al revés) te permiten extender estos bloques básicos a casi cualquier función elemental.
Preguntas frecuentes
¿Cuáles son las derivadas más comunes que hay que memorizar?
Lo esencial es la regla de la potencia d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹, las reglas exponencial y logarítmica d/dx(eˣ) = eˣ y d/dx(ln x) = 1/x, y las derivadas trigonométricas d/dx(sin x) = cos x, d/dx(cos x) = −sin x y d/dx(tan x) = sec²x. Combinadas con las reglas del producto, del cociente y de la cadena, te permiten derivar casi cualquier función elemental que encuentres en un primer curso de cálculo.
¿Por qué toda integral indefinida lleva un «+ C»?
Como derivar una constante da cero, dos antiderivadas cualesquiera de la misma función difieren solo en una constante. Por eso la integral indefinida no es una única función, sino toda una familia, escrita con la constante de integración «+ C». Por ejemplo, ∫cos x dx = sin x + C, y tanto sin x + 3 como sin x − 7 son antiderivadas válidas. La constante solo se fija cuando tienes una condición inicial o evalúas una integral definida.
¿Cómo compruebo que una integral es correcta?
Deriva tu resultado — si recuperas el integrando original, la integral es correcta. Esto funciona porque la derivación y la integración son operaciones inversas. Por ejemplo, para confirmar ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, deriva el lado derecho: d/dx(xⁿ⁺¹/(n+1)) = (n+1)·xⁿ/(n+1) = xⁿ, que es exactamente el integrando. Esta autocomprobación es la forma más rápida de detectar un error.
¿Qué es la integración por partes?
La integración por partes es la contraparte integral de la regla del producto: ∫u dv = u·v − ∫v du. Se usa cuando el integrando es un producto de dos tipos distintos de función — por ejemplo x·eˣ o x·ln x — eligiendo u y dv de modo que la integral restante ∫v du sea más sencilla que la original. Una guía habitual para elegir u es el orden LIATE (logarítmica, inversa trigonométrica, algebraica, trigonométrica, exponencial).
Herramientas relacionadas
Convierte cualquiera de estas reglas en una solución resuelta en UnitConv: deriva una función paso a paso con la calculadora de derivadas, encuentra antiderivadas e integrales definidas con la calculadora de integrales, consulta las identidades trigonométricas que necesitarás por el camino y ordena números grandes o pequeños con el conversor de notación científica.