微積分公式集
必要な導関数と積分をひとつの整理された表に — べき乗・指数・対数・三角関数・逆三角関数・双曲線関数の公式まで網羅。インタラクティブな微分ソルバー・積分ソルバーへのワンタップリンク付きで、自分の問題をすぐに解けます。
基本的な導関数
べき乗と根
- d/dx(c)=0
- d/dx(x)=1
- d/dx(xⁿ)=n·xⁿ⁻¹
- d/dx(√x)=1/(2√x)
指数・対数
- d/dx(eˣ)=eˣ
- d/dx(aˣ)=aˣ·ln a
- d/dx(ln x)=1/x
- d/dx(logₐx)=1/(x·ln a)
三角関数
- d/dx(sin x)=cos x
- d/dx(cos x)=−sin x
- d/dx(tan x)=sec²x
- d/dx(cot x)=−csc²x
- d/dx(sec x)=sec x·tan x
- d/dx(csc x)=−csc x·cot x
逆三角関数
- d/dx(arcsin x)=1/√(1−x²)
- d/dx(arccos x)=−1/√(1−x²)
- d/dx(arctan x)=1/(1+x²)
公式・法則
- (f ± g)′=f′ ± g′
- (c·f)′=c·f′
- (f·g)′=f′g + fg′
- (f/g)′=(f′g − fg′)/g²
- (f(g(x)))′=f′(g(x))·g′(x)
双曲線関数
- d/dx(sinh x)=cosh x
- d/dx(cosh x)=sinh x
- d/dx(tanh x)=sech²x
これらは標準的な基本公式です。すべての積分は、その答えを微分して元の関数に戻ることで確認できます — 例えば d/dx(−cos x) = sin x は ∫sin x dx = −cos x + C を裏づけます。
基本的な導関数
べき乗と根
- d/dx(c) = 0
- d/dx(x) = 1
- d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹
- d/dx(√x) = 1/(2√x)
指数・対数
- d/dx(eˣ) = eˣ
- d/dx(aˣ) = aˣ·ln a
- d/dx(ln x) = 1/x
- d/dx(logₐx) = 1/(x·ln a)
三角関数
- d/dx(sin x) = cos x
- d/dx(cos x) = −sin x
- d/dx(tan x) = sec²x
- d/dx(cot x) = −csc²x
- d/dx(sec x) = sec x·tan x
- d/dx(csc x) = −csc x·cot x
逆三角関数
- d/dx(arcsin x) = 1/√(1−x²)
- d/dx(arccos x) = −1/√(1−x²)
- d/dx(arctan x) = 1/(1+x²)
公式・法則
- (f ± g)′ = f′ ± g′
- (c·f)′ = c·f′
- (f·g)′ = f′g + fg′
- (f/g)′ = (f′g − fg′)/g²
- (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)
双曲線関数
- d/dx(sinh x) = cosh x
- d/dx(cosh x) = sinh x
- d/dx(tanh x) = sech²x
基本的な積分
べき乗と根
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1)
- ∫1/x dx = ln|x| + C
- ∫1 dx = x + C
指数・対数
- ∫eˣ dx = eˣ + C
- ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C
- ∫ln x dx = x·ln x − x + C
三角関数
- ∫sin x dx = −cos x + C
- ∫cos x dx = sin x + C
- ∫sec²x dx = tan x + C
- ∫csc²x dx = −cot x + C
- ∫sec x·tan x dx = sec x + C
- ∫tan x dx = −ln|cos x| + C
- ∫cot x dx = ln|sin x| + C
逆三角関数
- ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C
- ∫1/√(1−x²) dx = arcsin x + C
- ∫1/(a²+x²) dx = (1/a)·arctan(x/a) + C
公式・法則
- ∫(f ± g) dx = ∫f dx ± ∫g dx
- ∫c·f dx = c·∫f dx
- ∫u dv = u·v − ∫v du
微積分公式集について
これは学生が最もよく参照する微積分のチートシートです。基本的な導関数と不定積分を、授業で教わるとおりに整理しました。「導関数」と「積分」のタブを切り替え、種類ごとのカードを見ていけます — べき乗・根の公式(d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹ や ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C を含む)、指数・対数の公式、6つの三角関数とその逆関数、微分・積分の法則(積・商・連鎖律・線形性・部分積分)、そして基本的な双曲線関数の導関数まで。すべての公式は画像ではなくクリーンなUnicode表記で書かれているため、そのままノートにコピーでき、支援技術やAIにも読みやすくなっています。このページが静的なPDFと違うのは、UnitConvのインタラクティブな計算機とつながっている点です。必要な公式を見つけたら「自分の関数を微分する」または「自分の関数を積分する」をタップすれば、ステップ解説付きのソルバーが開き、実際の問題を解けます。宿題の参考書として、試験対策の復習リストとして、あるいは問題を解いている最中の素早い確認に使ってください。
この公式集の使い方
- 1 調べたい内容に応じて「導関数」または「積分」のタブを選びます。
- 2 種類ごとのカード(べき乗・指数・対数・三角関数・逆三角関数・法則・双曲線関数)から公式を見つけ、あなたの計算に写します。
- 3 「自分の関数を微分する」または「自分の関数を積分する」をタップして、インタラクティブな計算機を開き、自分の関数を計算します。
微分と積分のつながり
微分と積分は互いに逆の演算であり、それこそが微積分学の基本定理の核心です。F′(x) = f(x) ならば ∫f(x) dx = F(x) + C です。だからこそ積分表のすべての項目は、その答えを微分することで検証できます: • ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C は d/dx(xⁿ⁺¹/(n+1)) = (n+1)·xⁿ/(n+1) = xⁿ だから(n ≠ −1 で成立。欠けるケース ∫1/x dx = ln|x| + C がそこを埋めます)。 • ∫sin x dx = −cos x + C は d/dx(−cos x) = sin x だから。∫cos x dx = sin x + C は d/dx(sin x) = cos x だから。 • ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C は d/dx(arctan x) = 1/(1+x²) だから。 不定積分に積分定数「+ C」が付くのは、どんな定数を微分しても0になるためで、原始関数はその定数の分だけ不定に決まります。微分の法則(積・商・連鎖律)とその積分側の対応(線形性と部分積分 ∫u dv = u·v − ∫v du、これは積の法則を逆向きに使ったものです)を用いれば、これらの基本要素をほぼあらゆる初等関数へと拡張できます。
よくある質問
暗記すべき最も基本的な導関数は?
必須なのは、べき乗の法則 d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹、指数・対数の法則 d/dx(eˣ) = eˣ と d/dx(ln x) = 1/x、そして三角関数の導関数 d/dx(sin x) = cos x、d/dx(cos x) = −sin x、d/dx(tan x) = sec²x です。これらを積・商・連鎖律と組み合わせれば、初級の微積分で出会うほぼすべての初等関数を微分できます。
なぜすべての不定積分に「+ C」が付くの?
定数を微分すると0になるため、同じ関数の2つの原始関数は定数の分しか違いません。したがって不定積分は1つの関数ではなく、積分定数「+ C」を付けて表す関数の族全体です。例えば ∫cos x dx = sin x + C であり、sin x + 3 も sin x − 7 も正しい原始関数です。この定数は、初期条件があるか定積分を計算するときにだけ確定します。
積分が正しいかどうかはどう確認するの?
答えを微分してください — 元の被積分関数に戻れば、その積分は正しいです。これは微分と積分が互いに逆の演算だからです。例えば ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C を確かめるには右辺を微分します: d/dx(xⁿ⁺¹/(n+1)) = (n+1)·xⁿ/(n+1) = xⁿ、これはまさに被積分関数です。この自己チェックは間違いを見つける最速の方法です。
部分積分とは?
部分積分は積の法則の積分側の対応で、∫u dv = u·v − ∫v du です。被積分関数が異なる種類の関数の積であるとき — 例えば x·eˣ や x·ln x — に使い、残る積分 ∫v du が元より簡単になるように u と dv を選びます。u の選び方の目安としてよく使われるのが LIATE の順序(対数・逆三角関数・代数関数・三角関数・指数関数)です。
関連ツール
これらの公式を、UnitConv上で実際に解いた解答に変えましょう: 微分計算機で関数をステップごとに微分し、積分計算機で原始関数や定積分を求め、途中で必要になる三角関数の公式を調べ、科学的記数法コンバーターで大きい数や小さい数を整えられます。