Analysis-Formeln
Jede Ableitung und jedes Integral, das du brauchst, in einer geordneten Tabelle — Potenz-, Exponential-, Logarithmus-, trigonometrische, arkus- und hyperbolische Regeln — mit Ein-Tipp-Links zu unseren interaktiven Ableitungs- und Integrallösern, damit du deine eigene Aufgabe sofort bearbeiten kannst.
Häufige Ableitungen
Potenzen & Wurzeln
- d/dx(c)=0
- d/dx(x)=1
- d/dx(xⁿ)=n·xⁿ⁻¹
- d/dx(√x)=1/(2√x)
Exponential & Logarithmus
- d/dx(eˣ)=eˣ
- d/dx(aˣ)=aˣ·ln a
- d/dx(ln x)=1/x
- d/dx(logₐx)=1/(x·ln a)
Trigonometrisch
- d/dx(sin x)=cos x
- d/dx(cos x)=−sin x
- d/dx(tan x)=sec²x
- d/dx(cot x)=−csc²x
- d/dx(sec x)=sec x·tan x
- d/dx(csc x)=−csc x·cot x
Arkusfunktionen
- d/dx(arcsin x)=1/√(1−x²)
- d/dx(arccos x)=−1/√(1−x²)
- d/dx(arctan x)=1/(1+x²)
Regeln
- (f ± g)′=f′ ± g′
- (c·f)′=c·f′
- (f·g)′=f′g + fg′
- (f/g)′=(f′g − fg′)/g²
- (f(g(x)))′=f′(g(x))·g′(x)
Hyperbolisch
- d/dx(sinh x)=cosh x
- d/dx(cosh x)=sinh x
- d/dx(tanh x)=sech²x
Dies sind die elementaren Standardergebnisse. Jedes Integral lässt sich prüfen, indem man das Ergebnis differenziert und die ursprüngliche Funktion zurückerhält — zum Beispiel bestätigt d/dx(−cos x) = sin x, dass ∫sin x dx = −cos x + C gilt.
Häufige Ableitungen
Potenzen & Wurzeln
- d/dx(c) = 0
- d/dx(x) = 1
- d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹
- d/dx(√x) = 1/(2√x)
Exponential & Logarithmus
- d/dx(eˣ) = eˣ
- d/dx(aˣ) = aˣ·ln a
- d/dx(ln x) = 1/x
- d/dx(logₐx) = 1/(x·ln a)
Trigonometrisch
- d/dx(sin x) = cos x
- d/dx(cos x) = −sin x
- d/dx(tan x) = sec²x
- d/dx(cot x) = −csc²x
- d/dx(sec x) = sec x·tan x
- d/dx(csc x) = −csc x·cot x
Arkusfunktionen
- d/dx(arcsin x) = 1/√(1−x²)
- d/dx(arccos x) = −1/√(1−x²)
- d/dx(arctan x) = 1/(1+x²)
Regeln
- (f ± g)′ = f′ ± g′
- (c·f)′ = c·f′
- (f·g)′ = f′g + fg′
- (f/g)′ = (f′g − fg′)/g²
- (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)
Hyperbolisch
- d/dx(sinh x) = cosh x
- d/dx(cosh x) = sinh x
- d/dx(tanh x) = sech²x
Häufige Integrale
Potenzen & Wurzeln
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1)
- ∫1/x dx = ln|x| + C
- ∫1 dx = x + C
Exponential & Logarithmus
- ∫eˣ dx = eˣ + C
- ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C
- ∫ln x dx = x·ln x − x + C
Trigonometrisch
- ∫sin x dx = −cos x + C
- ∫cos x dx = sin x + C
- ∫sec²x dx = tan x + C
- ∫csc²x dx = −cot x + C
- ∫sec x·tan x dx = sec x + C
- ∫tan x dx = −ln|cos x| + C
- ∫cot x dx = ln|sin x| + C
Arkusfunktionen
- ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C
- ∫1/√(1−x²) dx = arcsin x + C
- ∫1/(a²+x²) dx = (1/a)·arctan(x/a) + C
Regeln
- ∫(f ± g) dx = ∫f dx ± ∫g dx
- ∫c·f dx = c·∫f dx
- ∫u dv = u·v − ∫v du
Über die Analysis-Formeln
Dies ist der Analysis-Spickzettel, zu dem Schüler und Studierende am häufigsten greifen: die gängigen Ableitungen und unbestimmten Integrale, genau so geordnet, wie sie unterrichtet werden. Wechsle zwischen den Reitern Ableitungen und Integrale und durchsuche die Karten nach Typ — Potenz- und Wurzelregeln (einschließlich d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹ und ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C), Exponential- und Logarithmusregeln, die sechs trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrungen, die Differentiations- und Integrationsregeln (Produkt-, Quotienten-, Kettenregel, Linearität und partielle Integration) sowie die grundlegenden hyperbolischen Ableitungen. Jede Formel ist in sauberer Unicode-Schreibweise verfasst — keine Bilder — sodass sie sich sauber in deine Notizen kopieren lässt und für Hilfstechnologien und KI gut lesbar ist. Was diese Seite von einem statischen PDF unterscheidet: Sie ist mit den interaktiven Rechnern von UnitConv verbunden. Wenn du die gesuchte Regel gefunden hast, tippe auf „Eigene Ableitung berechnen“ oder „Eigenes Integral berechnen“, um unsere Schritt-für-Schritt-Löser zu öffnen und deine tatsächliche Aufgabe zu rechnen. Nutze sie als Hausaufgabenhilfe, als Wiederholungsliste für die Prüfung oder zum schnellen Nachschlagen, während du eine Aufgabensammlung bearbeitest.
So nutzt du diese Referenz
- 1 Wähle je nach Nachschlagebedarf den Reiter Ableitungen oder Integrale.
- 2 Finde die Regel in den gruppierten Karten — Potenz, Exponential, Logarithmus, Trigonometrisch, Arkus, Regeln oder Hyperbolisch — und übernimm sie in deine Arbeit.
- 3 Tippe auf „Eigene Ableitung berechnen“ oder „Eigenes Integral berechnen“, um den interaktiven Rechner zu öffnen und deine eigene Funktion zu berechnen.
Wie Ableitungen und Integrale zusammenhängen
Differenzieren und Integrieren sind Umkehroperationen — das ist der Kern des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: Ist F′(x) = f(x), dann ist ∫f(x) dx = F(x) + C. Deshalb lässt sich jeder Eintrag der Integraltabelle durch Differenzieren des Ergebnisses überprüfen: • ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, weil d/dx(xⁿ⁺¹/(n+1)) = (n+1)·xⁿ/(n+1) = xⁿ (gültig für n ≠ −1; der fehlende Fall ∫1/x dx = ln|x| + C füllt die Lücke). • ∫sin x dx = −cos x + C, weil d/dx(−cos x) = sin x, und ∫cos x dx = sin x + C, weil d/dx(sin x) = cos x. • ∫1/(1+x²) dx = arctan x + C, weil d/dx(arctan x) = 1/(1+x²). Das unbestimmte Integral trägt eine Integrationskonstante „+ C“, weil das Differenzieren jeder Konstante null ergibt, sodass die Stammfunktion nur bis auf diese Konstante bestimmt ist. Die Differentiationsregeln (Produkt, Quotient und Kette) und ihre integralen Gegenstücke (Linearität und partielle Integration, ∫u dv = u·v − ∫v du, die einfach die rückwärts angewandte Produktregel ist) lassen dich diese Bausteine auf fast jede elementare Funktion erweitern.
Häufig gestellte Fragen
Welche Ableitungen sollte man am häufigsten auswendig können?
Unverzichtbar sind die Potenzregel d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹, die Exponential- und Logarithmusregeln d/dx(eˣ) = eˣ und d/dx(ln x) = 1/x sowie die trigonometrischen Ableitungen d/dx(sin x) = cos x, d/dx(cos x) = −sin x und d/dx(tan x) = sec²x. Zusammen mit Produkt-, Quotienten- und Kettenregel kannst du damit fast jede elementare Funktion ableiten, die dir in einem ersten Analysiskurs begegnet.
Warum hat jedes unbestimmte Integral ein „+ C“?
Weil das Differenzieren einer Konstante null ergibt, unterscheiden sich zwei Stammfunktionen derselben Funktion nur um eine Konstante. Das unbestimmte Integral ist daher keine einzelne Funktion, sondern eine ganze Familie, geschrieben mit der Integrationskonstante „+ C“. Zum Beispiel ist ∫cos x dx = sin x + C, und sowohl sin x + 3 als auch sin x − 7 sind gültige Stammfunktionen. Die Konstante wird erst festgelegt, wenn eine Anfangsbedingung vorliegt oder ein bestimmtes Integral berechnet wird.
Wie prüfe ich, ob ein Integral richtig ist?
Differenziere dein Ergebnis — erhältst du den ursprünglichen Integranden zurück, ist das Integral richtig. Das funktioniert, weil Differenzieren und Integrieren Umkehroperationen sind. Um etwa ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C zu bestätigen, differenziere die rechte Seite: d/dx(xⁿ⁺¹/(n+1)) = (n+1)·xⁿ/(n+1) = xⁿ, was genau der Integrand ist. Diese Selbstkontrolle ist der schnellste Weg, einen Fehler zu finden.
Was ist die partielle Integration?
Die partielle Integration ist das integrale Gegenstück zur Produktregel: ∫u dv = u·v − ∫v du. Du nutzt sie, wenn der Integrand ein Produkt zweier verschiedener Funktionstypen ist — zum Beispiel x·eˣ oder x·ln x — und wählst u und dv so, dass das verbleibende Integral ∫v du einfacher ist als das ursprüngliche. Eine gängige Hilfe zur Wahl von u ist die LIATE-Reihenfolge (logarithmisch, arkus, algebraisch, trigonometrisch, exponentiell).
Verwandte Tools
Verwandle jede dieser Regeln auf UnitConv in eine ausgearbeitete Lösung: differenziere eine Funktion Schritt für Schritt mit dem Ableitungsrechner, finde Stammfunktionen und bestimmte Integrale mit dem Integralrechner, schlage die trigonometrischen Identitäten nach, die du unterwegs brauchst, und bringe große oder kleine Zahlen mit dem Umrechner für wissenschaftliche Notation in Form.